现代控制理论习题集

1、现代控制理论习题集序为了帮助同学们更好地学习现代控制理论这门大学自动化专业的主干基础课程，在王整风老师的指导下，我们共同编写了这本基于刘豹版本教材的习题集，希望能让大家拥有做题不仅仅注重题目答案，更关注解题过程的意识。本书第一章由张胜编写，第二章由何新礼编写，第三章由刘洋编写，第四章由邢雅琪编写，第五章由孙峰编写，由宋永康和王彦明统稿，在此向王老师和以上同学表示感谢。由于时间仓促，本习题集难免有不当之处，个别题目的解法并不唯一，解题过程难免有错误、疏漏的地方，恳请大家批评指正。 编者 2013年6月目录第一章 控制系统的状态空间表达式1第二章 控制系统状态空间表达式的解13第三章 线性控制系统

2、的能控性和观性21第四章 稳定性与李亚普诺夫方法33第五章 线性定常系统综合38第一章 控制系统的状态空间表达式 张胜1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。解：直接对系统方块结构图转化得系统的模拟结构图如下：可得系统的状态方程：故系统的状态空间表达式为：1-2 有电路如图1-28所示。以电压u(t)为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻上的电压作为输出量的输出方程。解：易得系统为3维单输入单输出系统：假定流过上的电流向下，对图中的两个回路由KVL得 ：解得 转化成矩阵形式为：1-4 两输入，两输出的系统。其结构模拟图如图1.30所示，

3、试求其状态空间表达式和传递函数阵。解：令前向通道上积分号后的状态变量分别为；前向通道上积分号后的状态变量分别为。由于系统为四维，两输入，两输出系统，故系统阵A为44阶，输入阵B为42阶，输出阵C为24阶。由图得，系统的状态空间表达式如下：由 可求得系统传递函数阵。易得， 1-5 系统的动态特性由下列微分方程描述列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。相应的模拟结构图如下：其中前向通道的积分器后的状态变量分别为。1-6 已知系统传递函数：（2）试求出系统的约旦标准型的实现，并画出相应的模拟结构图。由系统的并联型实现中特征根具有重根的情况，可得系统的约旦标准型实现如下：相应的系统模拟结

4、构图如下： -3 -4 u-10/3 y-3-3 -2-1/3 1-8 求下列矩阵的特征矢量，由，得，由，得，得综上，系统的特征矢量为1-9 试求下列状态空间表达式化成约旦标准型（并联分解）： （2）解：易得A的特征方程：解得，由得解得，令 ，得由于有的重根，由广义特征矢量，得解得 令得 当时，由得 得 故系统阵A的特征矢量令 作为转换阵设变换完成后的约旦标准型形式如下：易得 综上，可得系统状态空间表达式约旦标准型为： 1-10 已知两个子系统的传递函数阵和分别为： 试求两个系统串联连接和并联连接时，系统的传递函数阵，并讨论所得结果。解：当系统与串联联接时，系统的传递函数阵：当系统与并联联接时

5、，系统的传递函数阵：1-11 已知如下图所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为 u 求系统的闭环传递函数阵。解：易得系统的闭环传递函数为可得第二章 控制系统状态空间表达式的解 何新礼2-1 试证明同维方阵A和B，当AB=BA时，而当时，。证明：由可得：所以当AB=BA时，又因为所以只有当AB=BA时2-3矩阵试用拉氏反变换法求。解：状态转移矩阵由下式确定：由于其逆矩阵为即因此2-4 用三种方法计算以下矩阵指数函数。（1）方法一：定义法：由得: 方法二：拉氏反变换法：所以经过拉氏反变换得：方法三：变换A为约旦标准型解得当时，特征矢量由，得可得当时由，得可得则变换阵，得：（2）解:定义法:

6、拉氏反变换法变换A为约旦标准型解：令则解得由可求得可求则2-5 下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求与之对应的的A阵。（1）解：由于，所以该矩阵不满足状态转移矩阵的条件（2）解：因为，所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件对计算出的A阵检验其是否满足，验证过程如下：（3）解：因为，所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件对计算出的A阵检验其是否满足，验证过程同（2）（4）解：因为，所以该矩阵不满足状态转移矩阵的条件 2-6 求下列状态空间表达式的解： 初始状态，输入u（t)是单位阶跃函数。解：，由于所以得 2-7 试证本章2.3节，在特定控制作用下，状态方程(2.25)的解、式（2.30）、式

7、（2.31）、式（2.32）成立。证明：已知（1） 证式（2.25）的解将方程式改写为在上式两边左乘,可得将上式在0到t上积得：（2） 证式（2.30）脉冲响应：，由状态方程的解为把带入时有把带入，得：（3） 证式(2.31)阶跃响应：由状态方程的解为把带入时有 = （4） 斜坡响应由状态方程的解为把带入有 2-9 有系统如图所示，试求离散化的状态空间表达式。设采样周期分别为T=0.1s和1s,而u1和u2为分段常数。 1 u1 x1 x2 y +2 将图化成模拟结构图 u21K u1 + x1 + x2 y 2 + 列出状态方程 则离散时间状态空间表达式为由 当T=1时 当T=0.1时 第三

8、章 线性控制系统的能控性和观性 刘洋 注：本章中中的dX= 3.1 判断下列系统的能控能观性系统中的a，b，c，d的取值对能观能控性是否有关若有关其取值条件如何？（1） 解：根据图示得该系统的状态空间表达式为 即 分析可知与u无关，因此状态不完全能控，为不可控系统，而系统不可观，系统中的a，b，c，d取值对能控性和能观性无关。（2） 解：根据图示得到系统的状态空间表达式为 即 可控性矩阵若可控则也即 分析可观性，由可观性矩阵即（3） 解：根据系统框图可得到系统的状态空间表达式为 由于A为约旦标准型矩阵，若使系统可控需使若使系统可观，应使3.2 时不变系统使用两种方法判别其能控性和能观性。解：法

9、1，可由时不变系统的状态空间表达式写出其能控性判别矩阵所以系统完全可观。法2，将系统的状态空间表达式转换为约旦标准型，其步骤如下写出特征多项式，求特征值 求出特征矢量： 经过线性变换可以得到系统的约旦标准型3.3确定使下列系统为状态完全能控和能观的待定常数的取值。（3）解：由系统的状态空间表达式得到系统的能控性矩阵取值范围为而系统的能观性判别阵为3-4线性系统的传递函数为（1）试确定a的取值范围，使系统为不能控或不能观的，（2）在上述a的取值条件下，求使系统为能控状态空间表达式，（3）在上述a的取值条件下，求使系统为能观的状态空间表达式。解：（1）系统的传函可变换为系统能控且可观的条件是C阵不

10、全为零，即当a=1，a=3或a=6时系统不完全能控或不完全可观。（2） 当a=1，a=3或a=6时系统可转化为能控标准1型（3） 根据对偶原理，当a=1，a=3或a=6时系统可转化为能观标准2型表达式为3.8已知能观性系统的A，b，c阵为，使将该状态状态空间表达式变换为能观标准型。解：求能观型判别阵N，系统可观故此系统可变换为能观标准I型：构造非奇异变换阵则经线性变换后的状态空间表达式为状态空间表达式的能观标准1型为将系统变换为能观标准2型：构造非奇异变换阵则经线性变换后的能观标准2型的表达式为：3.11试将下列系统按能控性进行结构分解。（2）解：由构造非奇异变换阵Rc则同理 则经过线性变换后的状态空间表达式为对系统按能控型进行结构分解，得到的能控制系统为不能控子系统为 3.12试将下列系统按能观性进行结构分解（2）解：由状态空间表达式可写出系统的能观性判别矩阵构造非奇异变换阵取经计算得：将系统原状态空间状态图进行如下线性变：变换后的状态空间表达式为对系统进行可观性分解，其可