平面向量数系的扩充与复数的引入理北师大版

1、金版新学案高三一轮总复习B师大数学理科高效测评卷（四）第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入【说明】 本试卷分为第i、n卷两部分，请将第I卷选择题的答案填入答题格内，第 n卷可在各题后直接作答，共150分，考试时间120分钟.第I卷（选择题共60分）题号123456789101112答案、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 ）1.已知x R, i为虚数单位，若(1 2i)( x+ i) = 4 3i，则x的值等于()A. 6B. 2C. 2D. 62.在梯形 ABCDK AB/ CD 且 |AB =入 | DC，设XB= a, XD

2、= b,则 AC=(A.入 a + b1C.a+ b入B. a + 入 b1D. a+ b入3.复数l+2i?+i- 2等于5C.5iD.5-2i4. 已知向量 a= (1,2) , b= (0,1)，设 u = a+ kb, v = 2a b,若 u/v，则实数 k 的值为()B.1A. 1D. 15. 在厶 ABC中，点 P在 BC上,且 BF 2PC,点 Q是 AC的中点，若PA (4,3) , PQ= (1,5),则BC=()A. ( 2,7)B. ( 6,21)C. (2 , 7)D. (6 , 21)6. 已知a, b是非零向量且满足(a 2b)丄a, (b 2a)丄b,贝U a与

3、b的夹角是()C.2nTD.5 n67 .已知 A 1,0) , B(1,0)，点 P满足 PA- PB- 1，则 I 陥 Eb 等于()A. 2 2B. 2C. 2D. 1&在 ABC中，AB- 2, BC= 3，/ ABC= 60, AD为BC边上的高，O为AD的中点，若AO=入 AB BC 贝V 入 +A. 11B. 21C.39.已知向量a (cos2 a , sina ) , b= (1,2sina 1) , a 则tana + 4的值为(2B.71A.3 1C. 710. 下列各式:|a| a - a；0 / a且 0丄a； 在任意四边形 ABCD中，M为AD的中点，N为BC的中点

4、，贝U AB+ DC= 2MN a= (cos a , sin a ), b= (cos 3 , sin 3 )，且 a 与 b 不共线，则(a+ b)丄(a b).其中正确的个数有()A. 2B. 3C. 4D. 511. 点M是边长为2的正方形ABC呐或边界上一动点，N是边BC的中点，贝U XN- AM勺 最大值是()A. 2B. 4C. 5D. 612. 设 a= (a1, a2), b= (b, b).定义一种向量积: a?b= (a, a2)?(b, b) (ab, a2b2).已知m= 2, 1 ,门=专,0，点P(x, y)在y= sin x的图象上运动，点Q在y= f (x)

5、的图象上运动，满足 OQ= m?OPF n(其中O为坐标原点)，贝U y= f(x)的最大值 A及最小正周 期T分别为()A. 2, nB. 2,4 nC.f, 4 nD.1，n题号第I卷第n卷总分-二二171819202122得分第n卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.请把正确答案填在题中横线上)13. 若平面向量a,b满足| a+b| = 1,a+ b平行于y轴，a=(2 , 1)，则b=.14. 已知复数 乙=3 i , Z2是复数一1 + 2i的共轭复数，则复数 丄一壬的虚部等于Zi 415. 如图，在平面四边形 ABC中，若AC= 3 ,BD= 2

6、,则(昭环( XC+ BD) =.16. 设集合D= 平面向量，定义在D上的映射f,满足对任意x D,均有 f(x)=入 x(入 R且入工0).若 | a| = | b| 且 a、b不共线，则(f(a) f(b) ( a+ b) =;若 A(1,2) , B(3,6 ), C(4,8)，且 f (BC) = AB 贝U 入=.三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17. (12 分)已知平面向量 a= (1 , x) , b= (2x + 3, x) , x R(1)若a丄b,求x的值；若 a/ b,求| a b|.18. (12 分)已知 A(

7、1,0),耳0,1) , C(2sin0 , cos 0 ).(1) 若 | AC = | B(C ,求 tan 0 的值；(2) 若(OA+ 2B S(C= 1,其中O为坐标原点，求 sin 2 0的值.19.(12分)设在平面上有两个向量a = (cos a , sin a )(0 w a v 3 60 ), b =(1)求证：向量a+ b与a b垂直； 当向量.3a+ b与a 3b的模相等时，求 a的大小.20. (12 分)已知 A 1,0) , B(0,2) , q 3,1)，且AB- AD= 5, |A2= 10.(1)求D点的坐标;用AB爪D表示AC21.(12分)在厶ABC中,

8、角A B, C所对的边分别为a,b, c,已知m=n =sinA，且满足 | n| = _ 3.(1)求角A的大小;(2) 若 | AC + |云B = .3|丽，试判断厶ABC的形状.【解析方法代码108001058】22. (14 分)已知 O为坐标原点，向量 OA= (sin a , 1) , OB= (cos a , 0), OC= ( sin a , 2)，点 P 满足 AB= BP(1) 记函数f ( a ) = PB- CA a -8，于，讨论函数f( a )的单调性，并求其值域；(2) 若O P, C三点共线，求|弘 OB的值.【解析方法代码108001059】 答案：一、选择

9、题1. C 依题意(1 2i)( x+ i) = x+ 2+ (1 2x)i = 4 3i，贝U x + 2= 4,解得 x = 2,故 选C.2. C AC= AD+ DG= b+ 辰 b + 】a.故选 C.52故选B.入入3. Bl+?i 2+i 2+ 4i + i + 2i2 = _5i_2=2i=274. B / u= (1,2) + k(0,1) = (1,2 + k) , v = (2,4) (0,1) = (2,3)，又 u II v,.1X31=2(2 + k)，得 k =.故选 B.5. B AQ= PQ-PA= ( 3,2), AC= 2AQ= ( 6,4).PC=PA+

10、 AC= ( 2,7), BC= 3PC= ( 6,21) 故选 B.6. B / (a 2b)丄a,2- (a 2b) - a = a 2a - b= 0, 即 a = 2a - b./ (b 2a)丄 b,- (b 2a) - b = b 2a - b= 0, 即 b2= 2a - b. a2 = b2 = 2a - b. cos a, ba b a b 1 2 I a|b| a 2.n又a, b 0 , n , -3.37. A 设点P 的坐标为(x,y)，则PA-PB= ( 1 x,- y) (1 x,- y) x即 1 2sin 2 a + 2sin 2 a sin 1 + y21,

11、整理可得x2+ y2 2，即点P的轨迹是以原点 O为圆心，半径为2的圆, I 陥 PB |2PO 2 2.& d AD XB+ BD XB+ -eC3T 1T 1TAO= ：AB+ ; BC2 6, 112,故入+卩一&+ .故选D.2639. C 由 a b 2得:5cos 2 a + sin a (2sin1)525,又 cos 2 a 1 2sin a ,有 sin a35,则 sin a3，所以 a 257t2 , n ,则 ta n a若 a *,故选C.10. D | a| Fa a正确;(a b) c工a (b c)；OA-tb= BA正确;如下图所示，ItMN= MB- DC

12、CN且MN= MA AB+ BN两式相加可得2MN= AB 3C即命题正确；a, b不共线，且 | a| = |b| = 1, a+ b, a- b为菱形的两条对角线，即得(a + b)丄(a-b).命题正确.11. D以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则 N(2,1) , B(2,0) , D0,2) , C(2,2).设点 M坐标为(x, y)，则AM AN= (x, y) - (2,1) = 2x+ y. 当直线2x+ y= 0平移到点C时，Zmax= 2X 2+ 2 = 6.故选D.12. C 设 Qxo, yo) , OQ= (xo, yo) ,

13、OP= (x, y),MQ= m?MF- n,. (xo, yo) = 2,舟？(x, y) + -3 , 0=2x，2 + 亍，oc nxo= 2x + 3,7ty = 2yo.代入y = sin x中， 得2yo= sin茲卡,1所以最大值为，周期为4n ,选C.二、填空题13.解析:由a+ b平行于y轴设b= ( 2, y)，因为| a + b| = 1,2所以(y 1) = 1,故 y=o 或 2. 所以 b= ( 2,0)或 b= ( 2,2). 答案： (一2,0)或(一2,2)14.解析:i Z2 i乙 43 i1 2i 3i 14=101 2i43 + 16i20 ，4其虚部为

14、-.4答案：415.解析:(AbDq ( AC BD) = (DB-da da AC) (Ac BD) = (AC BD) -(XC- BD)=AC2- BD= 32 - 22 = 5.答案： 516. 解析： | a| = | b| 且 a、b 不共线，二(f (a) f (b) ( a+ b)=(入 a入 b) ( a2 2+ b)=入(| a| | b| ) = 0. BO(1,2) , f(BC)=入(1,2) , AB= (2,4) ,入=2.答案： 02三、解答题17. 解析：若 a丄 b,则 a b= (1 , x) (2 x+ 3, x) = 1 x (2 x + 3) + x

15、( x) = 0. 整理得 x2 2x 3= 0,解得x = 1或x = 3.(2)若 a/ b,则有 1x ( x) x(2x + 3) = 0,即 x(2x+ 4) = 0,解得x = 0或x= 2.当 x = 0 时，a = (1,0) , b= (3,0),|a b| = |(1,0) (3,0)|=|( 2,0)| =22+ 02= 2.当 x = 2 时，a= (1 , 2),b= ( 1,2),|a b| = |(1， 2) ( 1,2)| = |(2 , 4)1=.22+-1 2= 2 5.18解析：(1) T A(1,0) , B(0,1) , C(2sin0 , cos 0

16、 ), AC= (2sin0 1, cos 0 ),BC= (2sin0 , cos 0 1).T |AC = |BC,胃.【I 0 + cos 0=.2汀 02+ 淤 0 -12 ,1 2sin 0 = cos 0 , tan 0 =夕(2) t OA= (1,0) , OB- (0,1),OC= (2sin0 , cos 0 ),OAF 20B- (1,2)t (d)+ 2dB oc= 1, 2sin 0 + 2cos 0 = 1 ,1 sin 0 + cos 0 = 2,2 1 (sin 0 + cos 0 )=43 sin 2 0 =.419. 解析： 证明：因为(a+ b) ( a

17、b) = | a|2 | b| 2= ( cos2 a + sin 2 a ) 4 +1=0，故a+ b与a b垂直.(2)由 |3a+ b| = |a3b|，两边平方得 3|a|2+ 23ab+ | b|2= | a|2 23a b +23| b| ,所以 2(| a|2 |b|2) + 4 3a b= 0,而| a| = | b|，所以 a b= 0,贝y 2 cos a + f sin a = 0, 即卩 cos( a + 60 ) = 0, a + 60= k 180+ 90,即 a = k 180+ 30, k Z,又 0w a V 360,贝V a = 30 或 a = 210.2

18、0. 解析： 设 D(x, y)，则 AB= (1,2) , XD= (x+ 1, y). AB AD= x + 1 + 2y = 5,| AD2= (x+ 1)2+ y2= 10.联立，x= 2,x = 2,解之得 AC= AB+ AD当D点的坐标为(2,1)时，设AC= pAB qAD8 / 10或Jy= 3,y = 1. D点的坐标为(一2,3)或(2,1).(2)当 D点的坐标为(一2,3)时，AB= (1,2) , AD= ( 1,3),AC= ( 2,1),设 AC= mA+ nD则(2,1) = m(1,2) + n( 1,3).1 = 2m+ 3n,|n= 1.则(2,1) =

19、 p(1,2) + q(3,1),-2 = p+ 3q,p= 1,1 = 2p+ q.p= 1,.Xo= XB- Xb所以当D点的坐标为(一2,3)时，在一鯨XD；当D点的坐标为(2,1)时，ACAB-SD21 .解析：由 | n| = 3,得 m2+ n2+ 2nr n= 3,刚3AA3AA即 1 +1 + 2(cos cos+ sin sin= 3,1. cos A=，Ov Av n ,nA=亍.-1 AC +1XB = .3|BC ,.b+ c = 3a,.sin B+ sin C=.:.3sin A sinB+ sin 牛 D -k 3 丿1 即 2 in B+ 2cosB=F，sin B+ f =#，又 Ov Bv 2 nn n 亠2 n-B+n=n 或 t，7tnn当 B=7，C=?.故厶ABC是