平面向量测试题及详解

1、平面向量一、选择题1. 巳知向fia=(l,l), b=(2,圍，若a+b与4b2a平行，则实数x的值为()A. 一2 B 0C 1D 22. 巳知点川一1,0), 01,3),向量&=(2R1,2),若姑丄纠 则实数&的值为()A. 2 B1 C 1 D. 23. 如果向量a=(kfl)与乃=(6,丘+1)共线且方向相反，那么的值为()1 1A. 3 B. 2 C一*D 亍4. 在平行四边形朋CQ中，E、F分别是EG CQ的中点，DE交AF干H,记肋、咸汾»24242424别为、b,则Z=() A-afl4-bC. a+bD一；&o o o oo oo o5

2、. 巳知向量 a=(l,l),乃=(2, a),若a+b =a - b,则 n=()A3 B. 1 C. 1D 36. 巳知P是边长为2的正SBC边3C上的动点，则恥(姑+花)()A.最大值为8B.是定值6C.最小值为2D.与P的位直有关7. 设a, 6都是非零向量，那么命题“&与乃共线”是命题ua+b = a + bn的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件8巳知向量 a=(l,2), b=(-2, 4), |c|=&,若(a+b) c=*,则 a与 c的夹角为()A. 30° B. 60° C. 120° D.

3、 150°x2+yz-2x-2y+ 1 >0,1WX2,则动为l<y<2,取得最大值时，点3的个数是()A. 1 B. 2 C. 3 D.无数10a, b是不共线的向量，若花=dw+6 Ab=a+A2bA19 2R）,则力、B、C三点共线 的充要条件为（）A. Al=A2= IB A1=A2= 1C AY A2+ 1 = 0 D AYA21 = 011如图，在矩形Q4CE中，E和F分别是边力。和BO的点，满足AC=3AEy BC=3BF,若OC=aOE+“O贋中入R,则A+p是（）8 35A-B-C-D. 112.巳知非零向量肚与朮满足上空、為 bc=o9则力I花I

4、2的形状为（）A.等腰非等边三角形B.竽边三角形C.三边均不相等的三角形D.直角三角形第H卷（非选择题 共90分）二、填空题13. 平面向量&与乃的夹角为60° , &=（2,0）, |b| = l,则a+2b=.14. 巳知a=（2 + Af 1）, b=（3,刀，若&, b为钝角，则/的取值X围是.15. 巳知二次函数尸血）的图像为开口向下的抛物线，且对任意xR都有41+匈=彳1一必若向量&=（如,-l）,b=（如,一2）,则满足不等式 b）4- 1）的m的取值X围为.16. 巳知向量 &=（sin&,2=（cos8, 1）, c=

5、 （2,血满足&丄b且（a+b） II c,则实数山=三、解答题17巳知向量 a=( cosx, sinA), b=(cosx, a/5cosa),函数 心)=& b, x0,兀(1)求函数AM的果大值；（2）当函数彳刃取得最大值时，求向量&与b夹角的大小.18巳知双曲线的中心在原点，焦点用、尺在坐标轴上，离心率为、佗，且过点(4, 一15)求双曲线方程；若点M3,山)在双曲线上，求证砸能 =0.7119'ABC中，曰、b、c分别是角力、B C的对边，向量m=(2sin3,2 cos2日，n=(2sin2(-B+R,一 1), m丄口(1)求角£的大小

6、；(2)若&=羽,b= 1,求c的值.20.3x 3x巳知向B a= cos, sinx 鬥 cos/xTl-sin- , Kx-, n.求 口 乃及 |廿b ；求函数心) = &乃+|&+乃|的最大值，并求使函数取得最大值时汶的值.21.巳知场=(2日sin%, a), 曲=(1,2寸5sinACosx+1), O为坐标原点，曰工0,设 心)=为曲+b, b>a.(1)若Q0,写出函数y=4氏的单调递增区间；若函数y=心)的定义域为K,值域为2,5, XX数曰与b的值.设过点N的直线/交轨迹C干力，3两点，若学=肪恥乎，求直线/的斜率的取值X围.平面向量答案1

7、解a+Z>= (3, x+ 1), 4Z>2£=(6,4x2), Ta+Z?与 4b2a 平行,3 x+16 = 4x-29=2,故选Dk= 6/1k+1 A=12解曲=(2,3), 花丄$ 2(2丘一1) + 3X2 = O, :.k=-l,选 B.3解由条件知，存在实数加0,使a=Ab9血1) = (6厶(&+1)亦jk=_3,故选 A.4.解析 =b+|a,洗=&设曲=低、则H=Aa-Aby :.Ah= Ab+0H= Aa5.解析'：a-b= (3,1+n),|a+Z>|=z?+ 1=#n2 + 2n+ 10,又 a - b=2 + n

8、, / | a+b =a - b, -n24-2n+ 10 = n+2t 解之得 n=3t 故选 D.6解相设3C边中点为D,则筋(施+劝=筋(2劝=2|筋| - Ab cosZ4Z?=2 应|2 = 6.7解析a+b = a + b<a与乃方向相同，或&、乃至少有一个为0;而a与乃共线包 括&与b方向相反的情形，、乃都是非零向量，故选B.8.解析由条件知a =y5t b =25, a+b=(-lf 一2),| a+b| =&, / (a+ b) - c=-,:.ylsxyfs - cos&=才，其中 &为 a+b与 c的夹角，.8=60。. a+

9、d=a, :.a+b 与&方向相反，&与c的夹角为120° 9解析疋+护一2x2y+lA0,即(x1尸+少_ 1)2*1,画出不等式组表示的平面区域如 图，为=x+y,设“+尸r,则当直线y=-x平移到经过点C时，r取最大值，故这样 的点3有1个，即C点.10解相 A、B、C共线，花,题线,根据向量共线的条件知存在实数,1使得花=葫及1 =AAi即十心皿+切，由干a,方不共线，根据平面向量基本定理得消去佃山=1.11解析 3f= 曲+筋=曲+£劭，3e= 场+逾=场+£为,44333 3 3相加得庞+商 =§（场+曲=§晓，晓=

10、才庞+才朝久+“=才+才=312解析根据- £。=0知，角力的内角平分线与EC边垂直，说明三角形 dl ACAfeAXJ1是等腰三角形，根据数量积的定义及一 =厅可知4=120。故三角形是等腰非等I恥I I花I2边的三角形.113解析a b= | a | b cos60° =2 X 1 X= 1, | a+2b| 2= | a| 2 + 4 | b| 2 + 4a b=4+ 4 + 4X 1 = 12,|&+2乃|=2羽.314解析15, b为钝角，&方=3(2+刀+,1=4久+60,丿一刁 当&与&方向相反时，久=一3, .2<|且2

11、H3.15 解析由条件知心)的图象关于宜线x=l对称，M1) = 43),5&0,4b=m+2>2,由血 b)>4-l)得仙+2)>"3), v4aJ在1, +8)上为减函数,.山+2<3, /.zn<l,16 解析1T血丄b,. sin化os&+才=0,1.sin2&= 5)又:a+b= sin& +cos&, - , (a+ 刃/65.Msin&+cos6巧=0, 5=2 sincos& '/(sin &+cos&2= 14- sin2 &129/. sin &a

12、mp;+cos 8= ±"17.解析 彳a) = & b= cos%+羽sinACosx=15716n11x0, Ji,当时，XA)m«=l-Q=q1,设向量&与b夹角为n,则cosn=a bal I b21717T=仁石=夕a=§因此，两向量R与乃的夹角为18解析解：*=迈，可设取曲线方程为疋护=入过（4,丽）点，16-10=/1,即久=6,双曲线方程为疋一护=6证明：尺（一2羽，0）,尺（2羽，0）,砸= （ 3 2羽，-2/2）,砸=（3 + 2护，一山），诙 旋=一3 +出 又M点在双曲线上，9一山2 = 6,即nr-3 = 0,

13、诙 溉19 解析(l)*2n±22,m 22=0,/. 4sinE sin2cos2£2 = 0,兀 I2sin曰 1 cos» + 3J + cos23-2 = 0, /.2sinB+ 2sin2+ 1 2sin25 2 = 0,1 71 5 sin£=, .0<尽心 B=-或7兀.2 6 6.&=寸5, b= 1, :.a>bt :.此时方法一：由余荻定理得：b2 = a2 + cP 2accosJ39 /.c2 3c+2 = 0, /. c=2 或 c= 1.b a 1 、/5xl37i 2方法二：由正荻定理得尿歹后，丁盘，2&

14、quot;=专，0曲，或了,2Jl71Jt2271 7T若力=§,因为B=,所以角C=9 /.边c=2;若力=了，则角C=Ji-n-=-9la + b = p2 + 2cos2x边c=b、:. c= 1.综上c=2或c=l.=2 |cosjv| ,-, n, /.COSA<0, I a+ b= 2cosx.(13(2)4-) = a b+ | a+b| =cos2-y2cosx=2cos2x2cos-¥ 1 =2| cosa-|2兀2%+b,-xrC k, /. l<cos-¥<0,二当 cosx= 1,即 x=n 时仏心=3.21 解析(1)&

15、quot;刃=2asin2jv+ 2 羽曰 sinACOsx+ a+ d=2asinnjintiji*a>0,由 2271<2A-+-<27nr+得，Znr<x<2nt4-, ZrZ 么ONoOn k函数y=M的单调递増区间是悶一彳 加+ &(&Z)2曰+ b= 2a= 1'得,当 &<0 时，4a) a+ b, -2a+d|/曰 + b=5b=4a+ b=22a+b=5曰 + Z?a= 1a= 1,综上知，,c或b=3b=3a=lb=4nn 7n 13n(2)x-, it时，2x+e 9 JI6>1e-l, 3当 G>o 时，心) 2&+乩22解析设动点Ry 九 则Mp=(x_4,班 必V=( 3,0), Mr=(l-x,九由巳知得一3(*4) = 6 1衣2+ 一卩2,化简得3疋+ 4护=12,得于+专=1. 所以点戸的轨迹。是椭圆，C的方程为才+才=1.(2)由题意知，直线/的斜率必存在，不妨设过N的直线/的方程为尸AU1),设力，£