（辅导班）2026年新高三数学暑假讲义(基础班)第08讲 解三角形（原卷版）

第⑤在中，内角成等差数列．知识点三：实际应用（1）仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图①）．（2）方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）．（3）方向角：相对于某一正方向的水平角．（1）北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向（如图③）．（2）北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．（3）南偏西等其他方向角类似．（4）坡角与坡度（1）坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角）．（2）坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，i为坡度）．坡度又称为坡比．【解题方法总结】1、方法技巧：解三角形多解情况在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式解的个数一解两解一解一解无解2、在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：（1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；（2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；（3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；（4）代数变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到．3、三角形中的射影定理在中，；；．题型一：正弦定理的应用【例题1-1】在中，角所对的边分别为，若，则（

）A．B．C．D．【例题1-2】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若且，，则（

）A．B．C．8D．4【变式1-1】在中，内角的对边分别是，若，且，则（

）A．B．C．D．【变式1-2】在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若，则的值为（

）A．B．C．1D．题型二：余弦定理的应用【例题2-1】已知的内角所对的边分别为满足且，则（

）A．B．C．D．【例题2-2】在中，角的对边分别为，若，则（

）A．B．C．或D．或【变式2-1】设△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则（

）A．B．C．D．【变式2-2】在中，角的对边分别为，且，则的值为（

）A．1B．C．D．2题型三：判断三角形的形状【例题3-1】在中内角的对边分别为，若，则的形状为（

）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【例题3-2】在中，若，则的形状为（

）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【变式3-1】已知的三个内角所对的边分别为．若，则该三角形的形状一定是（

）A．钝角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．锐角三角形【变式3-2】设的内角，，所对的边分别为，，，若，则的形状为（

）A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等边三角形题型四：正、余弦定理与的综合【例题4-1】锐角是单位圆的内接三角形，角的对边分别为，且，则等于（

）A．2B．C．D．1【例题4-2】已知的三个角，，的对边分别为，，，且．(1)若，求；(2)求的值．【变式4-1】在中，，则（

）A．B．C．D．【变式4-2】在中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若的面积是，则（

）A．B．C．D．题型五：解三角形的实际应用【例题5-1】山东省科技馆新馆目前成为济南科教新地标（如图1），其主体建筑采用与地形吻合的矩形设计，将数学符号“”完美嵌入其中，寓意无限未知､无限发展､无限可能和无限的科技创新.如图2，为了测量科技馆最高点A与其附近一建筑物楼顶B之间的距离，无人机在点C测得点A和点B的俯角分别为75°，30°，随后无人机沿水平方向飞行600米到点D，此时测得点A和点B的俯角分别为45°和60°（A，B，C，D在同一铅垂面内），则A，B两点之间的距离为______米.【变式5-1】如图，为了测量两点间的距离，选取同一平面上的，两点，测出四边形各边的长度（单位：km）：，，，，且四点共圆，则的长为_________.【变式5-2】山西应县木塔（如图1）是世界上现存最古老、最高大的木塔，是中国古建筑中的瑰宝，是世界木结构建筑的典范．如图2，某校数学兴趣小组为测量木塔的高度，在木塔的附近找到一建筑物，高为米，塔顶在地面上的射影为，在地面上再确定一点（，，三点共线），测得约为57米，在点处测得塔顶的仰角分别为30°和60°，则该小组估算的木塔的高度为__________米．题型六：倍角关系【例题6-1】记的内角的对边分别为，已知.(1)证明：；(2)若，求的面积.【例题6-2】已知分别是的角的对边，.(1)求证：；(2)求的取值范围.【变式6-1】已知分别为锐角ABC内角的对边，．(1)证明：；(2)求的取值范围．【变式6-2】已知中角的对边分别为，．(1)求；(2)若，且的面积为，求周长．第08讲解三角形1．在中，若，则一定是（

）A．正三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形D．等腰三角形2．在中，角的对边分别是，若，则（

）A．B．C．D．3．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（

）A．B．C．D．4．抚松县第一中学全体师生为庆祝2023年高考圆梦成功，选定大方鼎雕塑为吉祥物，为高考鼎立助威.若在处分别测得雕塑最高点的仰角为和，且，则该雕塑的高度约为（

）（参考数据）

A．4.93B．5.076C．6.693D．7.1775．在中，若，，则（

）A．B．C．D．6．我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设的三个内角所对的边分别为，，，面积为S，则“三斜求积”公式为，若，，则用“三斜求积”公式求得的面积为（

）A．B．C．D．17．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则（

）A．B．