第五章 时变电磁场和平面电磁波

1、第4章电磁场基础电磁场基础1 本章内容本章内容 5.1 时谐电磁的场复数表示时谐电磁的场复数表示 5.2 复数形式的麦克斯韦方程组复数形式的麦克斯韦方程组 5.3 复坡印廷矢量和坡印廷定理复坡印廷矢量和坡印廷定理 5.4 理想介质中的平面波理想介质中的平面波 5.5 电磁波的极化电磁波的极化第4章电磁场基础电磁场基础2 时谐电磁场的概念时谐电磁场的概念 如果场源以一定的角频率随时间呈时谐（正弦或余弦）变化，如果场源以一定的角频率随时间呈时谐（正弦或余弦）变化，则所产生电磁场也以同样的角频率随时间呈时谐变化。这种以一则所产生电磁场也以同样的角频率随时间呈时谐变化。这种以一定角频率作时谐变化的电磁

2、场，称为时谐电磁场或正弦电磁场定角频率作时谐变化的电磁场，称为时谐电磁场或正弦电磁场。也就是电场和磁场的每一个坐标分量，都随时间以相同频率作正也就是电场和磁场的每一个坐标分量，都随时间以相同频率作正弦变换弦变换5.1 时谐电磁场的复数表示时谐电磁场的复数表示例如：例如：( , , , )( , , )cos( , , ) +( , , )cos( , , ) +( , , )cos( , , )xxmxyymyzzmzE x y z te Ex y ztx y ze Ex y ztx y ze Ex y ztx y z则称电场则称电场 为正弦电场或时谐电场。为正弦电场或时谐电场。( , , ,

3、 )E x y z t第4章电磁场基础电磁场基础3 研究时谐电磁场具有重要意义研究时谐电磁场具有重要意义 在工程上，应用最多的就是时谐电磁场。在工程上，应用最多的就是时谐电磁场。广播、电视和通信广播、电视和通信 的载波等都是时谐电磁场。的载波等都是时谐电磁场。 任意的时变场在一定的条件下可通过傅立叶分析方法展开为不任意的时变场在一定的条件下可通过傅立叶分析方法展开为不 同频率的时谐场的叠加。同频率的时谐场的叠加。第4章电磁场基础电磁场基础45.1.1 时谐电磁场的复数表示时谐电磁场的复数表示复数复数a定义为定义为即即(cossin)ajaaaajaa eajcosRe ResinIm Imaa

4、jajaaaaa eaaaa e 时谐电磁场可用复数方法来表示，使得大多数时谐电磁场问时谐电磁场可用复数方法来表示，使得大多数时谐电磁场问题得分析得以简化。题得分析得以简化。 设设 是一个以角频率是一个以角频率 随时间随时间t t 作正弦变化作正弦变化的时谐量，的时谐量，即，即，它与时间的关系可以表示成它与时间的关系可以表示成式中的式中的A0为振幅、为振幅、 为与坐标有关的相位因子。为与坐标有关的相位因子。实数表示法或实数表示法或瞬时表示法瞬时表示法( )A t0( )cosA tAt 第4章电磁场基础电磁场基础5其中其中时间因子时间因子 空间相位因子空间相位因子复数表示法复数表示法复振幅复振

5、幅0( )ReRe ejtj tA tA eA0ejAA另外：另外：利用三角公式，它可用一个复数的实数部分来表示，即：利用三角公式，它可用一个复数的实数部分来表示，即：式中的式中的 称为称为 的复数形式。的复数形式。 0ejAA0( )cosA tAt00()2000( )cos()sin()cos()Re2ReRejtjj tj tA tAtAtttAtA ej A e ejAe 可见，时谐量对时间的可见，时谐量对时间的一阶导数，等价于时谐一阶导数，等价于时谐量的复数形乘以量的复数形乘以jwjw。即：。即：( )A tjAt第4章电磁场基础电磁场基础复矢量复矢量把一个随时间作正弦变化的矢量的

6、各个分量都用复数表示，即把一个随时间作正弦变化的矢量的各个分量都用复数表示，即得：得：( )cos()+cos()+cos() =Re(e+ee)e =Re e xzxxmxyymyzzmzjjj yj txxmyymzzmj tA te Ate Ate Ate Ae Ae AA 矢量的复数形式式中式中称为矢量称为矢量 的复振幅矢量，简称复振幅。的复振幅矢量，简称复振幅。e+eexzjjj yxxmyymzzmAe Ae Ae A ( )A t 那么对于电场强度的复矢量可写为：那么对于电场强度的复矢量可写为： ( )( )( )( )( )( )( )yxzjrjrjrmxxmyymzzmEr

7、e Er ee Er ee Er e( )( , )Re( )eReijtrj tiiimE r tE rE e第4章电磁场基础电磁场基础7 复数式只是数学表示方式，不代表真实的场复数式只是数学表示方式，不代表真实的场 真实场是复数式的实部，即瞬时表达式真实场是复数式的实部，即瞬时表达式 由于时间因子是默认的，有时它不用写出来，只用与坐标有关由于时间因子是默认的，有时它不用写出来，只用与坐标有关 的部份就可表示复矢量的部份就可表示复矢量 有关复数表示的进一步说明有关复数表示的进一步说明第4章电磁场基础电磁场基础8 例例5.1.1 将下列场矢量的瞬时值形式写为复数形式将下列场矢量的瞬时值形式写为

8、复数形式（2）解：（解：（1）由于）由于（1）所以所以( , )cos()sin()xxmxyymyE z te Etkze Etkz00( , , )()sin()sin()cos()cos()xzaxH x z te H kkztaxe Hkzta( , )cos()cos()2xxmxyymyE z te Etkze Etkz(/2)()Reeeyxjt kzjt kzxxmyyme Ee E(/2)()( )eeyxjkzjkzmxxmyymEze Ee E()eyxjjjkzxxmyyme E ee jE e第4章电磁场基础电磁场基础9（2）因为）因为 故故 所以所以 cos()co

9、s()kzttkzsin()cos()cos()22kztkzttkz00( , , )()sin()sin()cos()cos()xzaxH x z te H kkztaxe Hkzta00()sin()cos()2cos()cos()xzaxe H ktkzaxe Htkza200( , )()sin()ecos()ejkzjjkzmxzaxxHx ze H ke Haa第4章电磁场基础电磁场基础10 例例5.5.2 已知电场强度复矢量已知电场强度复矢量解解其中其中kz和和Exm为实常数。写出电场强度的瞬时矢量为实常数。写出电场强度的瞬时矢量( )cos()mxxmzEze jEk z()

10、2( , )Recos()eRecos()ej txxmzjtxxmzE z te jEk ze Ek zcos()cos()2xxmze Ek ztcos()sin()xxmze Ek zt 第4章电磁场基础电磁场基础11以电场旋度方程以电场旋度方程 为例，代入相应场量的矢量，可得为例，代入相应场量的矢量，可得t Re 将将 、 交换次序，得交换次序，得上式对任意上式对任意 t 均成立。令均成立。令 t0 ，得，得5.2 复数形式的的麦克斯韦方程复数形式的的麦克斯韦方程令令t/2 ，得，得即即BEt Re(e)Re(e)j tj tmmEBt Re(e)Re(e)Reej tj tj tmm

11、mEBj Bt ReRemmEj B ReRe ()mmjEjj BImIm()mmEj BmmEj B Ret与第4章电磁场基础电磁场基础12从形式上讲，只要把微分算子从形式上讲，只要把微分算子 用用 代替，就可以把时谐电磁代替，就可以把时谐电磁场的场量之间的关系，转换为复矢量之间关系。因此得到复矢量场的场量之间的关系，转换为复矢量之间关系。因此得到复矢量的麦克斯韦方程的麦克斯韦方程t 略去略去“.”和下标和下标mtjjt0tt DHJBEBD0mmmmmmmmHJj DEj BBD0H J j DEj BDB 第4章电磁场基础电磁场基础13 例题例题：已知正弦电磁场的电场瞬时值为：已知正弦

12、电磁场的电场瞬时值为式中式中 解：解：（1）因为）因为故电场的复矢量为故电场的复矢量为试求：（试求：（1）电场的复矢量）电场的复矢量;（2）磁场的复矢量和瞬时值。）磁场的复矢量和瞬时值。12( , )( , )( , )E z tE z tE z t8182( , )0.03sin(10)( , )0.04cos(10/3)xxE z tetkzEz tetkz888888(10/2)(10/3)(/2)(/3)( , )0.03sin(10)0.04cos(10/3)0.03cos(10)0.04cos(10/3)2Re 0.03e Re 0.04eRe0.03e0.04eexxxxjt k

13、zjt kzxxj kzj kzjxxE z tetkzetkzetkzetkzeeee810t/2/3( )0.030.04ejjjkzxE zeee第4章电磁场基础电磁场基础14（2）由复数形式的麦克斯韦方程，得到磁场的复矢量）由复数形式的麦克斯韦方程，得到磁场的复矢量磁场强度瞬时值磁场强度瞬时值0032054321( )( )0.03e0.04ee7.6 10 e1.01 10 eexyjjjkzyjjjkzyEjH zE zejzkee k 58( , )Re( )e7.6 10sin(10)j tyH z tH ze ktkz481.01 10cos(10)3tkz第4章电磁场基础电

14、磁场基础155.3 复坡印廷矢量和复坡印廷定理复坡印廷矢量和复坡印廷定理 复复坡印廷坡印廷矢量矢量 任意场点处的坡印廷矢量任意场点处的坡印廷矢量2( )( )( ) (/)tttWmSEH 代表该点瞬时的电磁场功率的能流密度代表该点瞬时的电磁场功率的能流密度 对于时谐场，对于时谐场， 都是随时间做周期性的变化。因此，都是随时间做周期性的变化。因此，坡印廷矢量的平均值坡印廷矢量的平均值 ？( )( )tt和EHavS( )Re1/ 2jwtjwtjwttEeEeE eE 场量的瞬时值用复数表示场量的瞬时值用复数表示( )Re1/ 2jwtjwtjwtH tH eH eH e 第4章电磁场基础电磁

15、场基础16222( )( )( ) 1/ 2 1/ 2 1/ 4 1/ 2Rejwtjwtjwtjwtj wtj wtj wttttEeE eH eH eE HEHE H eEH eE HE H e SEH0201( )11 Re2TavTj wtt dtTE HE H edtT SS1Re2avE H S12SE H 令1ReRe 2avE HS S,E H H 为与时间t无关的复矢量2Re=cos(2)j wtewt在一个周期在一个周期T内的积内的积分等于分等于0复坡印廷矢量复坡印廷矢量第4章电磁场基础电磁场基础17 复坡印廷矢量物理意义：复坡印廷矢量的实部等于（一个周复坡印廷矢量物理意义

16、：复坡印廷矢量的实部等于（一个周期内）平均功率流密度，即实功率密度。期内）平均功率流密度，即实功率密度。需要需要注意注意的两点问题的两点问题 的共轭复矢量。的共轭复矢量。 与坡印廷矢量瞬时值形式不同，这里出现了因子与坡印廷矢量瞬时值形式不同，这里出现了因子1/21/2，这里，这里 是因为是因为E,HE,H都代表振幅最大值，平均功率在数值上等于都代表振幅最大值，平均功率在数值上等于 场场量是复数式时量是复数式时，求坡印廷矢量瞬时值时，应，求坡印廷矢量瞬时值时，应先取实部先取实部再再 代入代入，即，即“先取实后相乘先取实后相乘” 如复数形式的场量中没有时间因子，取实前先补充时间因子如复数形式的场量

17、中没有时间因子，取实前先补充时间因子HH 是1Re2EH 第4章电磁场基础电磁场基础18则平均能流密度矢量为则平均能流密度矢量为 如果电场和磁场都用复数形式给出，即有如果电场和磁场都用复数形式给出，即有 时间平均值与时间无关时间平均值与时间无关 例如某正弦电磁场的电场强度和磁场强度例如某正弦电磁场的电场强度和磁场强度都用实数形式给出都用实数形式给出00( , )cos( ),( , )cos( )ttttE rErH rHr2000000111()dcos ( )d2TTavttrtTTSEHEHEH( )0( )0( )e( )ejjrrE rEH rH001Re( e)Re(e)2j tj

18、 tavavSEHEH*1Re()2avSEH( )( )000011Reee22jjrrEHEH第4章电磁场基础电磁场基础19 具有普遍意义，不仅适用于正弦电磁场，也适用于其它具有普遍意义，不仅适用于正弦电磁场，也适用于其它 时变电磁场；而时变电磁场；而 只适用于时谐电磁场。只适用于时谐电磁场。 在在 中，中， 和和 都是实数形式且是都是实数形式且是 时间的函数，所以时间的函数，所以 也是时间的函数，也是时间的函数，反映的是能流密度反映的是能流密度 在某一个瞬时的取值在某一个瞬时的取值；而；而 中的中的 和和 都是复矢量，与时间无关，所以都是复矢量，与时间无关，所以 也与时间无也与时间无 关

19、，关，反映的是能流密度在一个时间周期内的平均取值反映的是能流密度在一个时间周期内的平均取值。( , ) tS r( )E r( )H r( )avSr 利用利用 ，可由，可由 计算计算 ，但不能直，但不能直 接由接由 计算计算 ，也就是说，也就是说( , ) tS r( )avSr( )avSr( , ) tS r( , ) tS r( )avSr 关于关于 和和 的几点说明的几点说明( , ) tS r( , ) tS r( , ) tS r( , ) tS r( )avSr( )avSr( )avSr( )avSr( )avSr( , ) tS r( , )( , )( , )tttS r

20、E rH r1( )Re( )( )2avSrE rHr( , )Re( )ej tavtS rSr( , ) tE r( )E r( , ) tH r( )H r01( )( , )dTavttTSrS r第4章电磁场基础电磁场基础20 例例5.3.4已知无源的自由空间中，电磁场的电场强度复矢量已知无源的自由空间中，电磁场的电场强度复矢量为为 ，其中，其中k 和和 E0 为常数。求：为常数。求：（1）磁场强度复矢）磁场强度复矢量量H ；（；（2）瞬时坡印廷矢量）瞬时坡印廷矢量S ；（；（3）平均）平均坡印廷矢量坡印廷矢量Sav 。 解解：（1）由得）由得（2）电场和磁场的瞬时值为）电场和磁场

21、的瞬时值为0( )ejkzyzEEe0j EH000000011( )( )() (e)1(e)ejkzzyjkzjkzxxzzEjjzkEEjz HEeeee0( , )Re( )ecos()j tyz tzEtkzEEe00( , )Re( )ecos()j txkEz tztkz HHe第4章电磁场基础电磁场基础21 （3）平均坡印廷矢量为）平均坡印廷矢量为或直接积分，得或直接积分，得瞬时坡印廷矢量为瞬时坡印廷矢量为000cos() cos()yxkEEtkztkz SEHee2200cos ()zkEtkze0002200001Ree(e) 221Re()2zjkzjkzavyxzkE

22、EkEkE Seeee2002222000001dd2cos ()d22TavzzttTkEktkztE SSSee第4章电磁场基础电磁场基础22 例例5.3.5 已知真空中电磁场的电场强度和磁场强度矢量分别为已知真空中电磁场的电场强度和磁场强度矢量分别为解解:(1)由于由于(2)所以所以其中其中E0、H0 和和 k 为常数。求：为常数。求：(1) w 和和 wav ；(2) S 和和 Sav。00( , )cos(),( , )cos()xyz tEtkzz tHtkzEeHe22002222000011()()221cos ()cos ()2emwwwEHEtkzHtkz E DB H*0

23、00000e,e,e,ejkzjkzjkzjkzxxyyEEHHEeDeHeBe*22000011Re()()44aveavmavwwwEH E DB H200( , )( , )cos ()zz tz tE HtkzSEHe*0011Re()22avzE HSEHe第4章电磁场基础电磁场基础23例例5.3.6 已知截面为已知截面为 的矩形金属波导中电磁场的复矢量为的矩形金属波导中电磁场的复矢量为 式中式中H0 、都是常数。试求：（都是常数。试求：（1）瞬时坡印廷矢量；）瞬时坡印廷矢量；（2）平均坡印廷矢量。）平均坡印廷矢量。 解：解：（1） 和和 的瞬时值为的瞬时值为000sine(sinc

24、os)ej zyj zxzaxEe jHaaxxHe jHe Haa a b0( , , )Re esinsin()j tyaxE x z tEeHtza0( , , )Re esinsin()j txaxH x z tHeHtza 0coscos()zxe HtzaEH 第4章电磁场基础电磁场基础24（2）平均坡印廷矢量）平均坡印廷矢量所以瞬时坡印廷矢量所以瞬时坡印廷矢量202220( , , )( , , )( , , )2sin()sin(22)4()sin()sin ()xzx z tE x z tH x z taxeHtzaaxeHtzaS*222011Re()sin ()22avz

25、axEHeHaS第4章电磁场基础电磁场基础25EHz波传播方向波传播方向 均匀平面波均匀平面波波阵面波阵面xyo 均匀平面波的概念均匀平面波的概念 波阵面波阵面：空间相位相同的点构成的曲面，即等相位面：空间相位相同的点构成的曲面，即等相位面 平面波平面波：等相位面为无限大平面的电磁波：等相位面为无限大平面的电磁波 均匀平面波均匀平面波：等相位面上电场和：等相位面上电场和磁场的方向、振幅都保持不变的平面波磁场的方向、振幅都保持不变的平面波 均匀平面波是电磁波的一种理想均匀平面波是电磁波的一种理想 情况，其分析方法简单，但又表情况，其分析方法简单，但又表 征了电磁波的重要特性。征了电磁波的重要特性

26、。5.4 理想介质中的均匀平面波理想介质中的均匀平面波第4章电磁场基础电磁场基础26由于由于5.4.1 一维波动方程的均匀平面波解一维波动方程的均匀平面波解 设在无限大的无源空间中，充满线性、各向同性的均匀理想设在无限大的无源空间中，充满线性、各向同性的均匀理想介质。均匀平面波沿介质。均匀平面波沿 z 轴传播，则电磁强度和磁场强度均不是轴传播，则电磁强度和磁场强度均不是 x和和 y 的函数，即的函数，即同理同理 结论：结论：均匀平面波的电场强度和磁场强度都垂直于波的传播均匀平面波的电场强度和磁场强度都垂直于波的传播 方向方向 横电磁波（横电磁波（TEM波）波）0,0 xyxyEE222222d

27、d0,0ddkkzzEE0yxzEEExyzE0zEz0zE 0yxzHHHHxyz0zH 2220zzEk Ez第4章电磁场基础电磁场基础27设电场只有设电场只有x 分量，即分量，即其解为：其解为：可见，可见， 表示沿表示沿 +z 方向传播的波。方向传播的波。 的波形的波形)cos(1kztEEmx 解的物理意义解的物理意义 第一项第一项 第二项第二项沿沿 -z 方向方向传播的波传播的波( )( )xxze EzE222d( )( )0dxxEzk Ezzk 12( )eejkzjkzxEzAA1111( )eeexjjkzjkzxxmEzAE11111( , )Reeeecos()xjjk

28、zj txxmxmxEz tEEtkz1ejkzA2222( )eeexjjkzjkzxxmEzAE22222( , )Reeeecos()xjjkzj txxmxmxEz tEEtkz第4章电磁场基础电磁场基础28由由 ，可得，可得 其中其中 称为媒质的称为媒质的本征阻抗本征阻抗。在真空中。在真空中 相伴的磁场相伴的磁场 同理，对于同理，对于磁场与电场相互磁场与电场相互垂直，且同相位垂直，且同相位 结论：结论：在理想介质中在理想介质中，均匀平面波的电场强度与磁场强度相均匀平面波的电场强度与磁场强度相 互垂直，且同相位。互垂直，且同相位。111111xyyxzxxzEjkeeEee EeEzH

29、11( )xyEH000120377222ejkzxxxEAEee221()zeEHj EH第4章电磁场基础电磁场基础291、均匀平面波的传播参数、均匀平面波的传播参数周期周期T ：时间相位变化：时间相位变化 2的时间间隔，即的时间间隔，即（1）角频率、频率和周期）角频率、频率和周期角频率角频率 ：表示单位时间内的相位变化，单位为：表示单位时间内的相位变化，单位为rad/s 频率频率 f ： t T o xE 的曲线的曲线tEtEmxcos), 0(5.4.2 理想介质中均匀平面波的传播特点理想介质中均匀平面波的传播特点2T2(s)T1(H )2fzT第4章电磁场基础电磁场基础30（2）波长和

30、相位常数）波长和相位常数k 的大小等于空间距离的大小等于空间距离2内所包含内所包含的波长数目，因此也称为的波长数目，因此也称为波数波数。波长波长 ：空间相位差为空间相位差为2 的两个波阵面的间距，即的两个波阵面的间距，即相位常数相位常数 k ：表示波传播单位距离的相位变化表示波传播单位距离的相位变化 o xE l lz的曲线的曲线zcos)0 ,(kEzEmx2kl21(m)kfl2(rad/m)kl第4章电磁场基础电磁场基础31（3）相速（波速）相速（波速）真空中真空中：由由相速相速v：电磁波的等相位面在空间电磁波的等相位面在空间 中的移动速度中的移动速度相速只与媒质参数相速只与媒质参数有关

31、，而与电磁波有关，而与电磁波的频率无关的频率无关故故得到得到均匀平面波的相速为均匀平面波的相速为tkzCdd0tk zd1(m s)dzvtk 87900113 10 m/s14101036vc 第4章电磁场基础电磁场基础322、能量密度与能流密度、能量密度与能流密度由于由于，于是有于是有能量的传输速度等于相速能量的传输速度等于相速故故电场能量与磁场能量相同电场能量与磁场能量相同1zeHE221122emwEHw22emwwwEH221( , )( , )cos ()2zmxz tz teEtkzSEH221122avmmwEH*211Re ( )( )22avzmzzeESEH2112zma

32、veEw v第4章电磁场基础电磁场基础333、理想介质中的均匀平面波的传播特点、理想介质中的均匀平面波的传播特点xyzEHo理想介质中均匀平面波的理想介质中均匀平面波的 和和EH 电场、磁场与传播方向之间相互垂直，是横电磁波（电场、磁场与传播方向之间相互垂直，是横电磁波（TEM 波）波） 无衰减，电场与磁场的振幅不变无衰减，电场与磁场的振幅不变 波阻抗为实数，电场与磁场同相位波阻抗为实数，电场与磁场同相位 电磁波的相速与频率无关，无色散电磁波的相速与频率无关，无色散 电场能量密度等于磁场能量密度，电场能量密度等于磁场能量密度， 能量的传输速度等于相速能量的传输速度等于相速 根据前面的分析，可总

33、结出理想介质中的均匀平面波的传播根据前面的分析，可总结出理想介质中的均匀平面波的传播特点为：特点为：第4章电磁场基础电磁场基础34 例例5.4.1 频率为频率为9.4GHz的均匀平面波在聚乙烯中传播，设其的均匀平面波在聚乙烯中传播，设其为无耗材料，相对介电常数为为无耗材料，相对介电常数为r =2.26。若磁场的振幅为若磁场的振幅为7mA/m，求相速、波长、波阻抗和电场强度的幅值。求相速、波长、波阻抗和电场强度的幅值。 解解：由题意：由题意因此因此 92.26,9.4 10 Hzrf8001.996 10m/s2.26rvvv891.996 102.12m9.4 10vfl03772512.26

34、r37 102511.757V/mmmEH第4章电磁场基础电磁场基础35 解：解：以余弦为基准，直接写出以余弦为基准，直接写出 例例5.4.2 均匀平面波的磁场强度的振幅为均匀平面波的磁场强度的振幅为 A/m，以相位常，以相位常数为数为30 rad/m 在空气中沿在空气中沿 方向传播。当方向传播。当t = 0 和和 z = 0时，若时，若 取向为取向为 ，试写出，试写出 和和 的表示式，并求出频率和波长。的表示式，并求出频率和波长。 zeH因因 ，故，故则则 1( , )cos()A/m3yH z tetz 0( , )( , ) ()40cos()V/mzxE z tH z teetz 22

35、0.21m ,30l8893 1045101.43 10 Hz/15cfl81( , )cos(90 1030 )A/m3yH z tetz 8( , )40cos(90 1030 )V/mxE z tetz13HHEyeze30 rad/m第4章电磁场基础电磁场基础36 例例54.3 频率为频率为100Mz的均匀电磁波，在一无耗媒质中沿的均匀电磁波，在一无耗媒质中沿 +z方方向传播，其电场向传播，其电场 。已知该媒质的相对介电常数。已知该媒质的相对介电常数r = 4、相对、相对磁导率磁导率r =1 ，且当，且当t = 0、z =1/8m时，电场幅值为时，电场幅值为104 V/m。 试试求电场

36、强度和磁场强度的瞬时表示式。求电场强度和磁场强度的瞬时表示式。 解：解：设电场强度的瞬时表示式为设电场强度的瞬时表示式为对于余弦函数，当相角为零时达振幅值。考虑条件对于余弦函数，当相角为零时达振幅值。考虑条件t = 0、z =1/8m 时，电场达到幅值，得时，电场达到幅值，得式中式中xxEEe4( , )10cos()xxxz tEtkzEee82210rad/sf8821044rad/m3 103rrkc 41386kz第4章电磁场基础电磁场基础37 所以所以磁场强度的瞬时表示式为磁场强度的瞬时表示式为式中式中因此因此484( , )10cos(210)36xz ttzEe484110cos

37、210()V/m38xtze11zyxEHeEe060r481041( , )cos210()A/m6038yz ttzHe第4章电磁场基础电磁场基础38 解解：电场强度的复数表示式为：电场强度的复数表示式为自由空间的本征阻抗为自由空间的本征阻抗为故得到该平面波的磁场强度故得到该平面波的磁场强度于是，平均坡印廷矢量于是，平均坡印廷矢量垂直穿过半径垂直穿过半径R =2.5m的圆平面的平均功率的圆平面的平均功率 例例5.4.4 自自由空间中平面波的电场强度由空间中平面波的电场强度求在求在z =z0处垂直穿过半径处垂直穿过半径R =2.5m的圆平面的平均功率。的圆平面的平均功率。50cos()V/m

38、,xtkzEe50ejkzxEe012005eA/ m12jkzyyEHee2115125Re()50W/ m221212avzzSEHee22125125d2.565.1W1212avavSPRSS第4章电磁场基础电磁场基础39沿沿+z方向传播的均匀平面波方向传播的均匀平面波5、沿任意方向传播的均匀平面波、沿任意方向传播的均匀平面波沿沿 传播方向的均匀平面波传播方向的均匀平面波 沿任意方向传播的均匀平面波沿任意方向传播的均匀平面波 波传播方向波传播方向 z y x o rne等相位等相位 面面 P(x,y,z)yzxo沿沿z方向传播的均匀平面波方向传播的均匀平面波P(x,y,z)波传播方向波

39、传播方向r等相位等相位 面面 ( )eezjke rjkzmmzEEE zke k0zme E1( )( )zH zezE()( )eexyznj k x k y k zjke rmmrEEE nxxyyzzke ke ke ke k0nme E1( )( )nH rerEne第4章电磁场基础电磁场基础40 解：解：（1）因为）因为 ，所以，所以则则 例例5.4.5 在空气中传播的均匀平面波的磁场强度的复数表示式在空气中传播的均匀平面波的磁场强度的复数表示式为为k式中式中A为常数。求：（为常数。求：（1）波矢量）波矢量 ；（；（2）波长和频率；（）波长和频率；（3）A的值；（的值；（4）相伴电

40、场的复数形式；（）相伴电场的复数形式；（5）平均坡印廷矢量。）平均坡印廷矢量。(43)(24)ejxzxyzHe Aee ejk rmHH24mxyzHeee ，43xyzk rk xk yk zxz403xyzkkk、，43xzkee22(3 )(4 )5k4355nxzkeeek第4章电磁场基础电磁场基础41（2 2）（3 3）（4 4）（5 5）222m55kl，883 107.5 10 Hz2/5cfl4 ()0 2340mA k H 3A 0( )( )nrreEH(43)(43)43120 (324)e()55120 ( 1.251.6)ejxzxyzxzjxzxyzeeeeeee

41、e*(43)(43) *21Re21Re 120 ( 1.251.6)e2(324)e1229 (43)W mavjxzxyzjxzxyzxz SE Heeeeeeee第4章电磁场基础电磁场基础425.5 导电媒质中的平面波导电媒质中的平面波 导电媒质的典型特征是电导率导电媒质的典型特征是电导率 0 电磁波在导电媒质中传播时，有传导电流电磁波在导电媒质中传播时，有传导电流 J = E 存在，同时存在，同时 伴随着电磁能量的损耗伴随着电磁能量的损耗 电磁波的传播特性与非导电媒质中的传播特性有所不同电磁波的传播特性与非导电媒质中的传播特性有所不同第4章电磁场基础电磁场基础43沿沿 z 轴传播的均匀

42、平面波解为轴传播的均匀平面波解为令令，则均匀平面波解为则均匀平面波解为5.5.1 导电媒质中的均匀平面波导电媒质中的均匀平面波 称为电磁波的称为电磁波的传播常数传播常数，单位，单位：1/m是是衰减因子衰减因子， 称为称为衰减常数衰减常数，单位：单位：Np/m（奈培（奈培/米）米）是是相位因子相位因子， 称为称为相位常数相位常数，单位：单位：rad/m（弧度（弧度/米）米）瞬时值形式瞬时值形式振幅有衰减振幅有衰减波动方程波动方程220ck()cck ( )( )ecjk zxxxxmzzeecjkj( )eeezzj zxxmxxmzee( , )ecos()zxxmz te EtzEezej

43、z第4章电磁场基础电磁场基础44本征阻抗本征阻抗HkEkHE导电媒质中的电场与磁场导电媒质中的电场与磁场非导电媒质中的电场与磁场非导电媒质中的电场与磁场 相伴的磁场相伴的磁场本征阻抗为复数本征阻抗为复数磁场滞后于电场磁场滞后于电场()11( )( )eezjzzyxmcczzHeEe( , )ecos()zxmycEz tetzHejccc第4章电磁场基础电磁场基础45相速不仅与媒质参数相速不仅与媒质参数有关，而与电磁波的有关，而与电磁波的频率有关频率有关 传播参数传播参数2222()()ccjkkj 2222()2jj2222 21 ()1 ,221 ()122211 ()12fl211 (

44、)12v第4章电磁场基础电磁场基础46平均坡印廷矢量平均坡印廷矢量 导电媒质中均匀平面波的传播特点导电媒质中均匀平面波的传播特点 电场强度电场强度E、磁场强度、磁场强度H与波的传播方向相互垂直，是横电与波的传播方向相互垂直，是横电 磁波（磁波（TEM波）；波）； 媒质的本征阻抗为复数，电场与磁场不同相位，媒质的本征阻抗为复数，电场与磁场不同相位，磁场滞后于磁场滞后于 电场电场 角角； 在波的传播过程中，电场与磁场的振幅呈指数衰减；在波的传播过程中，电场与磁场的振幅呈指数衰减； 波的传播速度（相度）不仅与媒质参数有关，而与频率有关波的传播速度（相度）不仅与媒质参数有关，而与频率有关 （有色散）。

45、（有色散）。*2211Re ( )( )ecos22zavzxmczzeESEH第4章电磁场基础电磁场基础47弱导电媒质弱导电媒质：5.5.2 弱导电媒质中的均匀平面波弱导电媒质中的均匀平面波 弱导电媒质中均匀平面波的特点弱导电媒质中均匀平面波的特点q 相位常数和非导电媒质中的相位常数大致相等；相位常数和非导电媒质中的相位常数大致相等；q 电场和磁场存在较小的相位差。电场和磁场存在较小的相位差。q 衰减小；衰减小；11/2(1)12xx 1/2(1)2jjj 2 1/2(1)(1)2ccjj1/2(1)12xx 第4章电磁场基础电磁场基础48良导体良导体：5.5.3 良导体中的均匀平面波良导体

46、中的均匀平面波 良导体中的参数良导体中的参数波长波长：相速相速：金、银、铜、铁、铝等金属金、银、铜、铁、铝等金属对于无线电波均是良导体。对于无线电波均是良导体。例如铜例如铜： 181.04 10ff1/f11 245(1)e(1)2jjjjj 2f2vf222ffl第4章电磁场基础电磁场基础49趋肤效应：趋肤效应：电磁波的频率越高，衰减系数越大，高频电磁波只能电磁波的频率越高，衰减系数越大，高频电磁波只能 存在于良导体的表面层内，称为趋肤效应。存在于良导体的表面层内，称为趋肤效应。 趋肤深度趋肤深度（ ）：）：电磁波进入良导体后电磁波进入良导体后， 其振幅下降到表面处振幅其振幅下降到表面处振幅

47、的的 1/e 时所传播的距离。即时所传播的距离。即本征阻抗本征阻抗良导体中电磁波的磁场强度的相位滞后于电磁强度良导体中电磁波的磁场强度的相位滞后于电磁强度45o。 趋肤深度趋肤深度 mEeEmo452e(1)jccjffjeemmEE11f第4章电磁场基础电磁场基础50铜：铜：70410 H/m ,75.8 10 S/m236.6 1050Hz9.33 10 m50f，2566.6 101MHz6.6 10 m10f，2796.6 1010GHz6.6 10 m10 10f，第4章电磁场基础电磁场基础51表表5.5.1一些金属材料的趋肤深度和表面电阻一些金属材料的趋肤深度和表面电阻材料名称材料

48、名称电导率电导率 /(S/m)趋肤深度趋肤深度 /m表面电阻表面电阻RS /银银6.17107 紫铜紫铜5.8107 铝铝3.72107 钠钠 2.1107 黄铜黄铜1.6107 锡锡0.87107 石墨石墨0.0110772.52 10f72.61 10f73.26 10f75.01 10f0.064/f0.066/f0.083/f0.11/f0.13/f0.17/f1.6/f第4章电磁场基础电磁场基础52 例例5.5.1 一沿一沿 x 方向极化的线极化波在海水中传播，取方向极化的线极化波在海水中传播，取+ z轴轴方向为传播方向。已知海水的媒质参数为方向为传播方向。已知海水的媒质参数为r =

49、 81、r =1、= 4S/m ，在，在z = 0处的电场处的电场Ex=100cos(107t ) V/m 。求：。求：（1）衰减常数、相位常数、本征阻抗、相速、波长及趋肤深度；）衰减常数、相位常数、本征阻抗、相速、波长及趋肤深度；（2）电场强度幅值减小为）电场强度幅值减小为z = 0处的处的1/1000时，波传播的距离时，波传播的距离（3）z = 0.8m处的电场强度和磁场强度的瞬时表达式；处的电场强度和磁场强度的瞬时表达式；（4） z = 0.8m处处穿过处处穿过1m2面积的平均功率。面积的平均功率。解解：（1） 根据题意，有根据题意，有所以所以此时海水可视为良导体。此时海水可视为良导体。

50、710rad/s65 10Hz2f 7941801110(10 ) 8036第4章电磁场基础电磁场基础53故衰减常数故衰减常数相位常数相位常数本征阻抗本征阻抗相速相速波长波长趋肤深度趋肤深度675 1041048.89 Np/mf 8.89 rad/m7744410410eee4jjjc76103.53 10 m/s8.89v220.707 m8.89l110.112 m8.89第4章电磁场基础电磁场基础54（2） 令令e-z1/1000， 即即ez1000，由此得到电场强度幅值减，由此得到电场强度幅值减小为小为z = 0处的处的1/1000时，波传播的距离时，波传播的距离故在故在z = 0.

51、8m 处，电场的瞬时表达式为处，电场的瞬时表达式为磁场的瞬时表达式为磁场的瞬时表达式为（3）根据题意，电场的瞬时表达式为）根据题意，电场的瞬时表达式为12.302ln10000.777 m8.89z8.897( , )100ecos(108.89 )zxz ttzEe8.89 0.877(0.8, )100ecos(108.89 0.8)0.082cos(107.11)V/mxxtttEee8.89 0.8771000.8,cos(108.89 0.8)40.026cos(101.61)A/mycyetttHee第4章电磁场基础电磁场基础55 （4）在）在z = 0.8m 处的平均坡印廷矢量处

52、的平均坡印廷矢量穿过穿过 1m2 的平均功率的平均功率 Pav = 0.75 mW 由此可知，电磁波在海水中传播由此可知，电磁波在海水中传播时衰减很快，尤其在高频时，衰减更时衰减很快，尤其在高频时，衰减更为严重，这给潜艇之间的通信带来了为严重，这给潜艇之间的通信带来了很大的困难。若为保持低衰减，工作很大的困难。若为保持低衰减，工作频率必须很低，但即使在频率必须很低，但即使在1kHz的低频下，衰减仍然很明显。的低频下，衰减仍然很明显。 (Hz)f(m)海水中的趋肤深度随频率海水中的趋肤深度随频率变化的曲线变化的曲线2222 8.89 0.821ecos2100ecos240.75mW/mzavz

53、xmczzE Seee第4章电磁场基础电磁场基础56 例例5.5.2 在进行电磁测量时，为了防止室内的电子设备受外在进行电磁测量时，为了防止室内的电子设备受外界电磁场的干扰，可采用金属铜板构造屏蔽室，通常取铜板厚度界电磁场的干扰，可采用金属铜板构造屏蔽室，通常取铜板厚度大于就能满足要求。若要求屏蔽的电磁干扰频率范围从到，试计大于就能满足要求。若要求屏蔽的电磁干扰频率范围从到，试计算至少需要多厚的铜板才能达到要求。铜的参数为算至少需要多厚的铜板才能达到要求。铜的参数为=0、=0、 = 5.8107 S/m。 解解：对于频率范围的低端：对于频率范围的低端 fL =10kHz ，有，有对于频率范围的

54、高端对于频率范围的高端 fH =100MHz ，有，有714495.8 101.04 10112101036L 710895.8 101.04 10112101036H 第4章电磁场基础电磁场基础57为了满足给定的频率范围内的屏蔽要求，故铜板的厚度为了满足给定的频率范围内的屏蔽要求，故铜板的厚度d至少应为至少应为由此可见，在要求的频率范围内均可将铜视为良导体，故由此可见，在要求的频率范围内均可将铜视为良导体，故477110.66 mm104105.8 10LLf877116.6m104105.8 10HHf53.3mmLd第4章电磁场基础电磁场基础585.7.1 极化的概念极化的概念 波的极化

55、表征在空间给定点上电场强度矢量的取向随时间变波的极化表征在空间给定点上电场强度矢量的取向随时间变 化的特性化的特性, 是电磁理论中的一个重要概念。是电磁理论中的一个重要概念。 在电磁波传播空间给定点处，电场强度矢量的端点随时间变在电磁波传播空间给定点处，电场强度矢量的端点随时间变化的轨迹。化的轨迹。 波的极化波的极化5.7 5.7 电磁波的极化电磁波的极化第4章电磁场基础电磁场基础59 一般情况下，沿一般情况下，沿+z+z方向传播的均匀平面波方向传播的均匀平面波 ，其中其中 电磁波的极化状态取决于电磁波的极化状态取决于Ex和和Ey的振幅之间和相位之间的关的振幅之间和相位之间的关系，分为：系，分

56、为：线极化、圆极化、椭圆极化线极化、圆极化、椭圆极化。 极化的三种形式极化的三种形式 线极化线极化：电场强度矢量的端点轨迹为一直线段：电场强度矢量的端点轨迹为一直线段 圆极化圆极化：电场强度矢量的端点轨迹为一个圆：电场强度矢量的端点轨迹为一个圆 椭圆极化椭圆极化：电场强度矢量的端点轨迹为一个椭圆：电场强度矢量的端点轨迹为一个椭圆xxyyEEEeecos()yymyEEtkzcos(),xxmxEEtkz第4章电磁场基础电磁场基础605.7.2 线极化波线极化波0yxyx随时间变化随时间变化0yx 条件条件： 或或 合成波电场的模合成波电场的模 合成波电场与合成波电场与+ x 轴的夹角轴的夹角

57、特点特点：合成波电场的大小随时间变化但其矢：合成波电场的大小随时间变化但其矢 端，轨端，轨 迹与迹与x轴的夹角始终保持不变。轴的夹角始终保持不变。 结论结论：任何两个同频率、同传播方向且极化方向互相垂直的：任何两个同频率、同传播方向且极化方向互相垂直的 线极化波，当它们的相位相同或相差为线极化波，当它们的相位相同或相差为 时，其时，其合合 成波为线极化波。成波为线极化波。常数常数2222(0, )(0, )cos()xyxmymxEEtEtEEtarctan()arctan()yymxxmEEEE 0 xy第4章电磁场基础电磁场基础615.7.3 圆极化波圆极化波则则 条件条件： 合成波电场的

58、模合成波电场的模常数常数 合成波电场与合成波电场与+ x 轴的夹角轴的夹角随时间变化随时间变化 特点特点：合成波电场的大小不随时间改变，但方向却随时间变：合成波电场的大小不随时间改变，但方向却随时间变 化，电场的矢端在一个圆上并以角速度化，电场的矢端在一个圆上并以角速度 旋转。旋转。 结论结论：任何两个同频率、同传播方向且极化方向互相垂直的：任何两个同频率、同传播方向且极化方向互相垂直的 线极化波，当它们的振幅相同、相位差为线极化波，当它们的振幅相同、相位差为/ 2 时，时， 其合成波为圆极化波。其合成波为圆极化波。/ 2xmymmxyEEE 、(0, )cos()sin()2ymxmxEtEtEt