空间几何体的内切球与外接球问题

1、空间几何体的内切球与外接球问题1 2016 ·全国卷 体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ( )A12B.332C8 D4解析 A 因为正方体的体积为 8，所以正方体的体对角线长为2 3，所以正方体的外接球的半径为 3，所以球的表面积为 4·( 3)2 12.22016 全·国卷 在封闭的直三棱柱 ABC - A1B1C1内有一个体积为 V 的球若 ABBC，AB6， BC8，AA13，则 V 的最大值是 ( )9 32A 4B. 2C 6D. 3解析 B 当球与三侧面相切时，设球的半径为r1，ABBC，AB6，BC8，8r16r1 10，

2、解得 r12，不合题意；当球与直三棱柱的上、下底面相切时，设球的半径为r2，则 2r23，即 r 2 23.球的最大半径为 32，故 V 的最大值为 34× 2 29.3. 2016 郑·州模拟 在平行四边形 ABCD 中， CBA 120°， AD 4，对角线 BD2 3， 将其沿对角线 BD 折起，使平面 ABD 平面 BCD ，若四面体 ABCD 的顶点在同一球面上，则该球的体积为 答案： 203 5；解析：因为 CBA 120°，所以 DAB60°，在三角形 ABD 中，由余弦 定理得 (2 3)242AB22×4·

3、AB·cos 60°，解得 AB 2，所以 ABBD.折起后平面 ABD 平面 BCD，即有 AB平面 BCD ，如图所示，可知 A，B，C，D 可看作一个长方体中的四个顶点， 长方体的体对角线AC 就是四面体 ABCD 外接球的直径，易知 AC 22422 5，所以球的体积为4. 2016 山·西右玉一中模拟 球 O 的球面上有四点 S，A，B，C，其中 O，A，B，C 四点共 面， ABC 是边长为 2 的正三角形，平面 SAB平面 ABC ，则棱锥 S-ABC 的体积的最大 值为 ()A. 33B. 3C2 3D 4选 A；解析 (1)由于平面 SAB平面

4、ABC，所以点 S在平面 ABC 上的射影 H 落在 AB上， 根据球的对称性可知， 当 S在“最高点”， 即 H 为 AB的中点时， SH最大，此时棱锥 S-ABC 的体积最大因为 ABC 是边长为 2 的正三角形，所以球的半径 rOC23CH32× 23×2 233.3 3 2 3在 Rt SHO中， OH21OC 33，235. 2016 赣·州模拟 如图 7-38-19 所示，设 A，B，C，D 为球 O 上四点， AB ，AC，AD 两两 垂直，且 ABAC 3，若 AD R(R 为球 O的半径 )，则球 O的表面积为 ( )A B2 C4 D 8选 D

5、；解析：因为 AB，AC，AD 两两垂直，所以以 AB， AC，AD 为棱构建一个长方体，如 图所示，则长方体的各顶点均在球面上，ABAC 3，所以 AE 6，ADR，DE 2R，则有 R26(2R)2，解得 R 2，所以球的表面积 S 4R28 .6. 2016 安·徽皖南八校三联 如图所示，已知三棱锥 A-BCD 的四个顶点 A，B，C，D 都在球 O的表面上， AC平面 BCD，BCCD，且 AC 3，BC2，CD 5，则球 O 的表面积B 7C9 D 为()A12 解析 A 由 AC平面 BCD，BCCD 知三棱锥 A-BCD 可以补成以 AC，BC，CD 为三条棱 的长方体

6、，设球 O 的半径为 R，则有 (2R)2AC2BC2CD234512，所以 S 球4 R2 12 .72016 福·建泉州质检 已知 A，B，C 在球 O 的球面上， AB1，BC2，ABC60°， 且点 O到平面 ABC的距离为 2，则球 O 的表面积为 答案： 20 解析 在ABC 中用余弦定理求得 AC 3，据勾股定理得 BAC 为直 角，故 BC 的中点 O1即为 ABC 所在小圆的圆心， 则 OO1平面 ABC ，在直角三角形 OO1B 中可求得球的半径 r 5，则球 O 的表面积 S 4r2 20.8. 2016 河·南中原名校一联 如图 K38 -

7、 16 所示， ABCD-A1B1C1D1 是边长为 1 的正方体，S-ABCD 是高为 1 的正四棱锥，若点 S，A1， B1，C1，D1在同一个球面上，则该球的表面积 为()图 K38 - 169A.1625 49 81B.16 C.16 D.16 解析 如图所示作辅助线，易知球心 O在SG1上，设 OG1x，则 OB1SO2 x，同时由正方体的性质知 B1G1 22，则在 RtOB1G1 中，由勾股定理得 OB12G1B21 OG21，即（2 x）2x2 22 ，解得 x78，所以球的半径 R27898，所以球的表面积 S4R21861.1692013 课·标全国 如图，有一个

8、水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为500 3A. 3 cm1 372 3C. cm()866 3 B. 3 cm2 048 cmD.3即OBA解析： 设球半径为 R，由题可知 R，R2，正方体棱长一半可构成直角三角形，为直角三角形，如图BC2，BA4，OBR2，OAR，由 R2(R2)242，得 R5， 所以球的体积为 43× 53 5030 (cm3)，故选 A 项10已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为3 2，则这个四棱锥的外接球的表面积为( )A12B36

9、C72D108选 B；解析：依题意得，该正四棱锥的底面对角线长为 3 2× 26，高为因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该四棱锥的外接球的球心为底面正方形的中心，其外接球的半径为3，所以其外接球的表面积等于 4× 32 36.11 2014 石·家庄质检一 距离是球半径的一半，且已知球 O，过其球面上 A、B、 C三点作截面，若 O 点到该截面的ABBC2，B120°，则球 O 的表面积为 ( )16648A. 3 B. 3 C4 D. 9解析：如图，球心 O 在截面 ABC 的射影为 ABC 的外接圆的圆心 O.由题意知 OO1R2，OAR，其中

10、 R为球 O的半径在 ABC 中，2222×2× 2×AC AB2BC22AB·BC·cos120 ° 12 2 3.设ABC的外接圆半径为 r，则2rsinA1C20 °2 334，得r2，即OA2.在RtOO1A2中，OO21O1A2OA2，即R4 4R2，解得 R2 136 ，故球 O的表面积 S4R2 634，故选4 3 3A.答案： A122014 郑·州模拟 在三棱锥 A-BCD 中， ABCD6，ACBDADBC5，则该 三棱锥的外接球的表面积为 解析：依题意得， 该三棱锥的三组对棱分别相等， 因此可

11、将该三棱锥补形成一个长方体，a2b262，设该长方体的长、宽、高分别为a、b、c，且其外接球的半径为 R，则 b2 c2 52，得c2 a2 52，a2b2c243，即 (2R)2a2b2c243，易知 R 即为该三棱锥的外接球的半径，所以该 三棱锥的外接球的表面积为 4R2 43.答案： 434，底面边长为 2，13 2014·全国卷 正四棱锥的顶点都在同一球面上若该棱锥的高为 则该球的表面积为 ( )8127 A.B 16 C 9 D.44 答案： A ； 解析 如图所示， E 为 AC 与 BD 的交点因为正四棱锥的底面边长为2，所1以 AE2AC 2.设球心为 O，球的半径为

12、 R，则 OE4R， OAR.又因为 AOE 为直角 三角形，所以 OA2 OE2 AE2，即 R2(4R)2 2，解得 R 49，所以该球的表面积 S4R24 49 2814142016 ·湖南八校联考 如图 积为(A)8 B 16 C32是一个几何体的三视图， 则这个几何体外接球的表面答案： C； 解析 该几何体为一个四棱锥，其外接球的球心为底面正方形的中心，所以半 径为 2 2，表面积为 4 ×(2 2)2 32.15已知四棱锥 S -ABCD 的所有顶点在同一球面上，底面 面内，当四棱锥的体积取得最大值时，其表面积等于1616 3，则球 O 的体积等于 (64 2B. 3 C. 3 D. 3解析 由题意，当此四棱锥的体积取得最大值时，四棱锥为正四棱锥设球 则 AC2R，SOR，AB 2R，则有 ( 2R)2 4× 21× 2R· 1616 3，解得 R2 2，球 O 的体积是 43R3643 2. 16 2016·武汉调研 已知直三棱柱 ABC-A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若ABACAA12， BAC90°，则该球的体积等于 答案： 4 3； 解析 设该球的球心为 O， ABC 所在圆面的圆心为