高等数学上练习题

1、一、一、 填空题：填空题：1 1、 函数函数)(xf 在在 ba ,上的定积分是积分和的极限，上的定积分是积分和的极限，即即 badxxf)(_ . .2 2、 定积分的值只与定积分的值只与_及及_有关，而与有关，而与_的记法无关的记法无关 . .3 3、 定积分的几何意义是定积分的几何意义是_ . .4 4、 区间区间 ba ,长度的定积分表示是长度的定积分表示是_ . .二、二、 利用定积分的定义计算由抛物线利用定积分的定义计算由抛物线,12 xy两直线两直线)(,abbxax 及横轴所围成的图形的面积及横轴所围成的图形的面积 . .三、三、 利用定积分的定义计算积分利用定积分的定义计算积

2、分 baxdx，)(ba . .练练 习习 题（一）题（一）5-1四、四、 利用定积分的几何意义，说明下列等式：利用定积分的几何意义，说明下列等式：1 1、41102 dxx ; ;2 2、 2022cos2cosxdxxdx ; ;五、五、 水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力，已知水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力，已知闸门上水的闸门上水的是是压强压强 P的的水深水深 h函数，且有函数，且有)(8 . 92米米千千米米hp ，若闸门高，若闸门高米米3 H，宽，宽米米2 L，求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水，求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水压力压力P（见教材图（见教材图 5-35-3）.

3、.一、一、1 1、 niiixf10)(lim ； 2 2、被积函数、被积函数, ,积分区间积分区间, ,积分变量；积分变量；3 3、介于曲线、介于曲线)(xfy , ,轴轴x, ,直线直线bxax ,之间之间 各部分面积的代数和；各部分面积的代数和；4 4、 badx. .二、二、abab )(3133. .三、三、)(2122ab . .五、五、88.2(88.2(千牛千牛).).练习题（一）答案练习题（一）答案一、一、 填空题：填空题：1 1、 如果积分区间如果积分区间 ba ,被点被点c分成分成 bcca,与与，则，则定积分的可加性为定积分的可加性为 badxxf)(_；2 2、 如果

4、如果 baxf,)(在在上的最大值与最小值分别为上的最大值与最小值分别为Mm与与，则，则 abdxxf)(有如下估计式：有如下估计式：_ _ _；3 3、 时时当当ba ，我们规定，我们规定 badxxf)(与与 abdxxf)(的关的关系是系是_；4 4、 积分中值公式积分中值公式 badxxf)()(,)(baabf 的几何意义是的几何意义是 _ _；练练 习习 题（二）题（二）5 5、 下列两积分的大小关系是：下列两积分的大小关系是：（1 1） 102dxx_ 103dxx（2 2） 21ln xdx_ 212)(lndxx（3 3）dxex 10_ 10)1(dxx二、二、 证明：证明

5、： babadxxfkdxxkf)()(（是常数是常数k）. .三、三、 估计下列积分估计下列积分 333cot xdxxarc的值的值 . .四、证明不等式：四、证明不等式： 2121dxx . .六、用定积分定义和性质求极限六、用定积分定义和性质求极限: :1 1、)21.2111(limnnnn ; ;2.2.、 40sinlim xdxnn. .七、设七、设)(xf及及 baxg,)(在在上连续，证明：上连续，证明：1 1、 若 在若 在 ba ,上上0)( xf, , 且且 badxxf0)(， 则 在， 则 在 ba ,上上0)( xf ；2 2、若在、若在 ba ,上，上，0)(

6、 xf , ,且且)(xf不不0恒等于恒等于，则，则 badxxf0)( ；3 3、 若在若在 ba ,上上)()(xgxf , ,且且 babadxxgdxxf)()(，则在，则在 )()(,xgxfba 上上 . .一、一、1 1、 bccadxxfdxxf)()(； 2 2、baabMdxxfabmba ,)()()(； 3 3、 badxxf)( abdxxf)(；4 4、曲边梯形各部分面积的代数和等于、曲边梯形各部分面积的代数和等于 为邻为邻与与abf )( 边的矩形面积；边的矩形面积； 5 5、(1)(1)； (2) (2)； (3). (3).三、三、1 1、 32arctan9

7、331 xdxx； 2 2、53arcsin24213210 xxxdx. .练习题（二）答案练习题（二）答案一一、 填填空空题题：1 1、 baxdxedxd22= =_ _ _ _ _ _ _ _ . .2 2、 xadxxfdxd)(_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . .3 3、 223)1ln(xdtttdxd_ _ _ _ _ _ _ _ . .4 4、 20)(dxxf_ _ _ _ _，其其中中 21,210,)(2xxxxxf . .5 5、设、设 ,coscos1nxdxmxI dxnxmx sinsin，练练 习习 题题5-2（1 1） 、当） 、当nm 时，时

8、， 1I= =_ , ,2I= =_ _ ，（2 2） 、当） 、当nm 时，时，1I= =_ ,_ ,2I= =_ . . 6 6、设、设,sincos nxdxmx（1 1） 、当） 、当nm 时，时，3I= =_ _ , ,（2 2） 、当） 、当nm 时，时，3I= =_ . . 7 7、 94)1(dxxx_ . . 8 8、 33121xdx_ . . 9 9、 xdttxx020coslim_ . .二、二、 求导数：求导数：1 1、 设函数设函数)(xyy 由方程由方程0cos00 xyttdtdte所确所确定，求定，求dxdy ；2 2、 设设 12122,ln,lnttud

9、uuyuduux)1( t, ,求求22dxyd ；3 3、 xxdttdxdcossin2)cos( ；4 4、设、设 2031)(xxdxxg，求，求)1(g . . 三、三、 计算下列各定积分：计算下列各定积分：1 1、 2122)1(dxxx; 2; 2、 212121xdx; ;3 3、 012241133dxxxx; 4; 4、 20sindxx . .四、四、 求下列极限：求下列极限：1、 xtxtxdtedte022022)(lim; 2、2502021)cos1(limxdttxx .五、五、 设设)(xf为连续函数，证明为连续函数，证明: : xxtdtduufdttxtf

10、000)()( . .六、六、 求函数求函数 xdttttxf02113)(在区间在区间 1,0上的最上的最大值与最小值大值与最小值 . .七、七、 设设 时，时，或或，当，当时，时，当当 xxxxxf000,sin21)( 求求 xdttfx0)()（ 在在),( 内的表达式内的表达式 . .八、八、 设设 baxf,)(在在上连续且上连续且,0)( xf xaxbtfdtdttfxF)()()( , ,证明：证明： （1 1） 、） 、2)( xF ; ; （2 2） 、方程） 、方程0)( xF在在),(ba内有且仅有一个根内有且仅有一个根 . .一、一、1 1、0 0； 2 2、)()

11、(afxf ； 3 3、)1ln(23 xx ； 4 4、65； 5 5、(1)(1) ,； (2)0,0 (2)0,0； 7 7、;6145 8 8、6 ； 9 9、1.1.二、二、1 1、1sincos xx； 2 2、tt ln212 ； 3 3、)sincos()cos(sin2xxx ； 4 4、2 . .三、三、 1 1、852； 2 2、3 ； 3 3、14 ； 4 4、4.4.练习题答案练习题答案四、四、1 1、0 0； 2 2、101. .六、六、335 , 0., 0.七、七、 xxxxx,10,)cos1(210,0)(. .一、一、 填空题：填空题：1 1、 3)3si

12、n(dxx_；2 2、 03)sin1(d_；3 3、 2022dxx_ _；4 4、 2121221)(arcsindxxx_；5、 55242312sindxxxxx_ .练练 习习 题（一）题（一）5-3二、二、 计算下列定积分：计算下列定积分：1 1、 203cossin d； 2 2、 31221xxdx；3 3、 14311xdx； 4 4、 223coscosdxxx；5 5、 02cos1dxx； 6 6、 224cos4 dx；7 7、 112322)11(dxxxxx；8 8、 203,maxdxxx；9 9、 20dxxx （为参数为参数 ）. .三、三、 设设 时，时，

13、当当时，时，当当0,110,11)(xexxxfx求求 20)1(dxxf. .四、设四、设 baxf,)(在在上连续，上连续， 证明证明 babadxxbafdxxf)()(. .五、五、 证明：证明： 1010)1()1(dxxxdxxxmnnm. .六、证明：六、证明： aaadxxfxfdxxf0)()()(, , 并求并求 44sin1xdx. .七、设七、设 1,0)(在在xf上连续，上连续， 证明证明 2020)cos(41)cos(dxxfdxxf.练习题答案（一）练习题答案（一）一、一、1 1、0 0； 2 2、34 ； 3 3、2 ； 4 4、323 ； 5 5、0 0.

14、.二、二、1 1、41； 2 2、3322 ； 3 3、2ln21 ； 4 4、34； 5 5、22； 6 6、 23； 7 7、4 ； 8 8、8 ； 9 9、417； 10 10、时时当当0 , , 238 ； 当当20 时时, , 32383 ； 当当2 时时, , 238 . .三、三、 )1ln(11 e. .六、六、 2 2. .一、一、 填空题：填空题：1 1、设、设 n n 为正奇数，则为正奇数，则 20sin xdxn_；2 2、设、设 n n 为正偶数，则为正偶数，则 20cos xdxn= =_；3 3、 dxxex10_；4 4、 exdxx1ln_；5、 10arct

15、an xdxx_ .二、二、 计算下列定积分：计算下列定积分：1 1、 edxx1)sin(ln； 2 2、 eedxx1ln；练练 习习 题（二）题（二）3 3、 0sin)(xdxxmJm， （m为自然数）为自然数）4 4、 01)1cos(sinxdxnxn. .三三、已已知知xxf2tan)( , ,求求 40)()(dxxfxf. .四四、若若 ,0)(在在xf 连连续续，,1)(,2)0( ff证证明明：3sin )()(0 xdxxfxf .一、一、1 1、! !)!1(nn ； 2 2、2! !)!1( nn； 3 3、e21 ； 4 4、)1(412 e； 5 5、23ln2

16、1)9341( . .二、二、1 1、211cos1sin ee； 2 2、)11(2e ；练习题答案（二）练习题答案（二） 3 3、 为奇数为奇数为偶数为偶数1,531)1(642,2642)1(531)(2mmmmmmmJ；4 4、 为正偶数时为正偶数时当当为正奇数时为正奇数时当当nnnn,! !)!1(2, 0；5 5、0.0.三、三、8.8.一、一、 填空题：填空题：1 1、 广义积分广义积分 1pxdx当当_时收敛；当时收敛；当_时时发散；发散；2 2、 广义积分广义积分 10qxdx当当_时收敛；当时收敛；当_时发时发散；散；3 3、 广义积分广义积分 2)(lnkxxdx在在_时

17、收敛； 在时收敛； 在_ 时发散；时发散； 4 4、广广义义积积分分 dxxx21= =_ _ _ _ _；练练 习习 题题5-45 5、 广广义义积积分分 1021xxdx_ _ _ _ _ _ _ _ _；6 6、 广广义义积积分分 xdttf)(的的几几何何意意义义是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .二二、 判判别别下下列列各各广广义义积积分分的的收收敛敛性性，如如果果收收敛敛，则则计计算算广广义义积积分分的的值值：1 1、 0coshtdtept )1(

18、p； 2 2、 222xxdx ；3 3、 0dxexxn（为为自自然然数数n） ；4 4、 202)1(xdx；5 5、 211xxdx； 6 6、 022)1(lndxxxx；7 7、 10ln xdxn. .三、三、 求当求当为何值时为何值时k，广义积分，广义积分)()(abaxdxbak 收敛？又收敛？又为何值时为何值时k，这广义积分发散？，这广义积分发散？四、四、 已知已知 xxxxxf2,120,210,0)(，试用分段函数表示，试用分段函数表示 xdttf)(. .一、一、1 1、1, 1 pp；2 2、1,1 qq； 3 3、1,1 kk；4 4、发散；、发散； 5 5、1 1

19、； 6 6、过点、过点轴轴平行于平行于 yx的直的直线左边线左边, ,曲线曲线)(xfy 轴轴和和 x所围图形的面积所围图形的面积 . .二、二、1 1、12 pp； 2 2、 ； 3 3、!n； 4 4、发散；、发散； 5 5、322； 6 6、0 0； 7 7、!)1(nn . .三、当三、当1 k时收敛于时收敛于kabk 1)(11； 当当1 k时发散时发散. .四、四、 xxxxxdttfx2,120,410,0)(2. .练习题答案练习题答案一、一、 填空题：填空题：1 1、 由曲线由曲线eyeyx ,及及y轴所围成平面区域的面积轴所围成平面区域的面积是是_ . .2 2、 由曲线由

20、曲线23xy 及直线及直线xy2 所围成平面区域的所围成平面区域的面积是面积是_ ._ .3 3、 由曲线由曲线 1,1,1,12 xxyxxy所围成所围成平面区域的面积是平面区域的面积是_ ._ .4 4、 计算计算xy22 与与4 xy所围的区域面积时，选用所围的区域面积时，选用_作变量较为简捷作变量较为简捷 . .5 5、 由曲线由曲线xxeyey ,与直线与直线1 x所围成平面区所围成平面区域的面积是域的面积是_ _ . .练练 习习 题（一）题（一）6-16 6 曲曲线线2xy 与与它它两两条条相相互互垂垂直直的的切切线线所所围围成成平平面面图图 形形的的面面积积S，其其中中一一条条

21、切切线线与与曲曲线线相相切切于于点点 ),(2aaA，0 a，则则当当 a_ _ _时时，面面积积S最最小小 . .二、二、 求由下列各曲线所围成的图形的面积：求由下列各曲线所围成的图形的面积：1 1、xy1 与直线与直线xy 及及2 x；2 2、 y2x与直线与直线xy 及及xy2 ；3 3、 )cos2(2 ar；4 4、摆线、摆线)cos1(,)sin(tayttax )20( t及及x轴；轴；5 5、 cos3 r及及 cos1 r的公共部分；的公共部分；6 6、笛卡尔叶形线、笛卡尔叶形线axyyx333 . .三、三、 求抛物线求抛物线342 xxy及其在点及其在点)3,0( 和和)

22、0,3(处的切线所围成的图形的面积处的切线所围成的图形的面积 . .四、四、 求位于曲线求位于曲线xey 下方，该曲线过原点的切线的下方，该曲线过原点的切线的左方以左方以轴轴及及 x上方之间的图形的面积上方之间的图形的面积 . .五、五、 求由抛物线求由抛物线axy42 与过焦点的弦所围成的图形与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值面积的最小值 . .一、一、1 1、1 1； 2 2、332； 3 3、2 2； 4 4、y； 5 5、21 ee； 6 6、21. .二、二、1 1、2ln23 ； 2 2、67； 3 3、2a ； 4 4、23 a ； 5 5、 45； 6 6、223a. .三、

23、三、49. . 四、四、2e. . 五、五、238a. .练习题（一）答案练习题（一）答案一、一、 填空题：填空题：1 1、 连续曲线连续曲线,)(xfy 直线直线ax ，bx 轴轴及及 x所所围图形围图形轴轴绕绕 x旋 转 一周 而成的 立体的体 积旋 转 一周 而成的 立体的体 积 v_，轴轴绕绕 y旋转一周而成的立体的旋转一周而成的立体的体体 v积积_；2 2、 badxxfv)(常用来表示常用来表示_立立体的体积；体的体积；3 3、 抛物线抛物线axy42 及直线及直线)0(00 xxx所围成的图所围成的图形形轴轴绕绕 x旋转而成的立体的体积旋转而成的立体的体积_；4 4、 0, 0,

24、cosh yaxxaxay所围成的图所围成的图x形绕形绕轴旋转而成的立体的轴旋转而成的立体的 v体积体积_；练练 习习 题（二）题（二）二、二、 有一铁铸件，它是由抛物线有一铁铸件，它是由抛物线、2101xy 11012 xy与直线与直线10 y围成的图形，围成的图形，轴轴绕绕 y旋旋转而成的旋转体，算出它的质量转而成的旋转体，算出它的质量（长度单位是厘（长度单位是厘米，铁的密度是米，铁的密度是38 . 7厘厘米米克克）. .三、三、 把星形线把星形线323232ayx 轴轴绕绕 x旋转，计算所得旋转旋转，计算所得旋转体的体积体的体积 . .四、四、 求摆线求摆线)sin(ttax ，)cos

25、1(tay 的一拱，的一拱，0 y，绕直线，绕直线ay2 旋转所成旋转体的体积旋转所成旋转体的体积. .五、五、 求求222ayx 绕绕)0( abbx旋转所成旋转旋转所成旋转体的体积体的体积 . .六、六、 设有一截锥体，其上，下底均为椭圆，椭圆的轴设有一截锥体，其上，下底均为椭圆，椭圆的轴长分别为长分别为和和BA 2,2ba 2,2, ,h高为高为，求这截锥体，求这截锥体的体积的体积 . .七、七、 设直线设直线baxy 与直线与直线0 x，1 x及及0 y所围所围成梯形面积等于成梯形面积等于A，试求，试求ba ,使这个梯形使这个梯形轴轴绕绕 y旋转所得体积最小旋转所得体积最小 . .一、

26、一、1 1、 badxxf)(2, , badxxxf)(2；2 2、已知平行截面面积的；、已知平行截面面积的； 3 3、202 ax ；4 4、2243sha . .二、二、 ( (克克) . ) . 三、三、310532a . . 四、四、327a . .五、五、ba222 . . 六、六、)(261bAaBABabh . .七、七、Aba ,0. .练习题（二）答案练习题（二）答案一、一、 填空题：填空题：1 1、 曲线曲线xyln 上相应于上相应于83 x的一段弧长为的一段弧长为_；2 2、 渐伸线渐伸线)sin(costttax ，)cos(sintttay 上相应于上相应于变到变到从从 0t 的一段弧长为的一段弧长为_；3 3、 曲 线曲 线1 r自自43 至至34 一 段 弧 长 为一 段 弧 长 为_ . .二、二、 计算半立方抛物线计算半立方抛物线32)1(32 xy被抛物线被抛物线32xy 截得的一段弧的长度截得的一段弧的长度 . .三、三、 计算星形线计算星形线tax3cos ，tay