理论力学完整讲义

1、理论力学一静力学（平衡问题）01力的投影与分力02约束与约束力03二力构件04平面汇交力系的简化05力矩与力偶理论06平面一般力系的简化：主矢和主矩07平面一般力系的平衡方程08零杆的简易判断方法09刚体系统的平衡问题10考虑摩擦时的平衡问题01力的投影与分力基本概念：刚体：在力的作用下大小和形状都不变的物体。平衡：物体相对于惯性参考系保持静止或均速直线运动的状态 力的三要素：力的大小、方向、作用点。集中力：力在物体上的作用面积很小，可以看做是一个作用点，单位：No分布力：小车的重力均匀分布在桥梁上面，这种力称为分布力（也称为均布荷载），常用q表示，单位N/m ,若均布荷载q作用的桥梁的长度是

2、 L,则均布荷载q的合力就等 于qx L,合力的作用点就在桥梁的中点位置。力的投影和分力1而直角坐标系：投影（标量）:Fx FeosFy Feos分力（矢量）uurunrFx F eos iFy F eos j2而斜坐标系：投影(标量):Fx F cosFyF cos( )分力(矢量)uurFx (F cos F sin cot )iuurFysin rF - jsin02约束与约束力约束：对于研究对象起限制作用的其他物体。约束力方向：总是与约束所能阻止物体运动的方向相反，作用在物体和约束的接触点 处。约束力大小：通常未知，需要根据平衡条件和主动力求解。(1)柔索约束：柔索约束：由绳索、皮带、

3、链条等各种柔性物体所形成的约束，称为柔索约束。特点：只能承受拉力，不能承受压力。约束力：作用点位接触点，作用线沿拉直方向，背向约束物体。(2)光滑面约束光滑面约束：由光滑面所形成的约束称为光滑面约束。约束性质：只能限制物体沿接触面公法线趋向接触面的位移。特点：只能受压不能受拉，约束力F沿接触面公法线指向物体。原图受力图(3)中间钱链约束中间钱链约束：若相联的两个构件均无固定，则称为中间较链连接，简称中间较。约束力特点：通过销钉中心，在垂直于销钉轴线的平面内方向待定，通常用两个正交 的分力Fx和Fy表示。(4)固定较链支座固定较链支座：物体与固定的地基或机架上的支座有相同直径的孔，用一圆柱形销钉

4、 连接起来，这种构造称为固定较支座。约束力特点：约束反力通过接触点并垂直于销钉轴线，由于接触点的位置不能确定， 故其反力的方向也不能确定，通常用两个正交的分力Fx和Fy表示。（5）辐动支座（活动较支座）辐动支座（活动较支座）:若在固定较支座的下面放一排辐轴，支座便可以沿支承面移 动，又称为活动较支座。约束力性质：只能限制物体与支座接触处向着或者离开支撑面的运动，不限制物体的 转动和沿接触面切向的移动。约束力特点：约束力垂直于支撑面通过较链中心。（6）固定端约束固定端约束：既能限制移动，也能限制转动。技巧：在平面力系情况下，刚体的移动方向有 2个（X轴和Y轴方向的移动），刚体 的转动面只有1个（

5、刚体所在平面）。故在绘制约束力时，如果能限制 X方向的移动，则 有Fx,如果能限制 Y方向的移动，则有 Fy,如果能限制转动，则有 Mo03二力构件二力平衡条件：作用在刚体上的两个力，使刚体保持平衡的充要条件是：这两个力的大小相等，方向相反，且作用在同一直线上，如图所示，若AB杆件平衡，则：Fab Fba在两个力作用下保持平衡的构件。二力构件二力构件可以是直杆，也可以是曲杆。受力特点：二力的作用线必通过作用点的连线。结论：两端是钱链连接，两端之间没有别的力作用的杆件，一定是二力构件；二力的作用线必通过两个作用点的连线。gC不是二力构件：C(A)04平面汇交力系的简化力系的基本概念：作用在同一刚

6、体上的两个或两个以上的力所组成的系统，记为:（E、F2>L、Fn）平面汇交力系：平面力系中所有的力的作用线汇交于同一点平面任意力系：平面力系中所有的力的作用线不汇交于同一点。平面任意力系平面汇交力系1）几何法（平面汇交力系）作用在物体上同一点的两个力，可以合成为一个合力。合力的作用点也在该点，合力 的大小和方向，由这两个力为边构成的平行四边形的对角线确定。2）解析法合力在X轴上的投影：FrxFxi合力在丫轴上的投影：FRyFyi合力：FRFrx FRy平面汇交力系的平衡方程：若平面汇交力系（Fl、F2、L、Fn）为平衡力系，则其合力Fr 0,则可得其平衡方程Fxi =0Fyi=0平衡条件

7、：力多边形自行封闭。05力矩与力偶理论力对点之距：力的大小（F）与距心O到力的作用线的距离（力臂h）的乘积称为力 F对O点之距，记做Mo（F）：Mo（F）Fh （单位：Ngm）方向：逆时针转动为正，顺时针转动为负。合力矩定理：合力对平面内任意一点之距，等于所有分力对同一点之距的代数和:若：Fr F1 F2 L Fn则：Mo(Fr) Mo(Fi) Mo(F2)L Mo(Fn)(注：逆时针方向转动为正，顺时针方向转为负，方向不同要抵消)力偶：力偶定义：大小相等、方向相反、作用线互相平行、但不在同一直线上的两个力组成的力系，记为(F、f )。力偶中两个力的作用线间的距离d称为力偶臂，两个力所在的平面

8、称为力偶的作用, , * .面，力F与力偶臂d的乘积称为力偶(F、F)的力偶距，记为 M:（F、F ）= F d方向：逆时针转动为正，顺时针转动为负。部工用夫统F力偶的表示法:F2Fd0.5dF力偶系的概念：力偶的等效:力偶系：由两个或两个以上的力偶所组成的系统平面力偶系：力偶系中各力偶均作用在同一平面。平面力偶系的合成：作用在同一刚体上若干平面力偶的转 动效应可以用一个和力偶的转动效应代替，力力偶系可以合成 为一个合力偶。M Mi力偶系的平衡条件：物体在平面力偶系作用下平衡的充要条件：平面力偶系中各力偶矩的代数和等于0,即：M Mi 006平面一般力系的简化：主失和主矩1）加减平衡力系原理：

9、在作用于刚体的已知力系中，加上或减去任意平衡力系，都不会改变原力系对刚体的 运动效应。2）力向一点平移定理作用在物体上的一个力可以向刚体上任意一点平移，而不改变它对刚体的作用效应, 但前提是必须附加一个力偶，这个附加力偶的力偶距等于原作用力对新作用点之距。M（F、F ）= m =F d3）主失的概念作用在刚体上的力系（Fl、F2、L、Fn）中所有力的矢量和，称为该力系的主失，用FrFr Fi F2 L Fn注：主失Fr的求法仍可以利用力的平行四边形法则。4）主矩的概念力系（弓、F2、L、Fn）中所有的力对于同一点 O之距的矢量和，称为该力系的主矩，用Mo表示：Mo= Mo（Fi）注：一个力系的

10、主失是唯一的，主失和矩心位置的选择无关；主矩可有很多个，主矩 与矩心的位置选择一般是有关的。5）平面一般力系向任一点简化根据力向一点平移定理，可以将平面任意力系（Fq F2、L、Fn）中的每一个力平移到作用面内任一点 O （O点称简化中心），可得到一个平面汇交力系（FF2、L、Fn）和一个平面力偶系（mp m2、L、mn):FrFiF2LFnFiF2 LFnFi （即原力系的主失）Momim2L mnmO（Fi）（即原力系对O点的主矩）结论：平面任意力系向一点简化可得到一个主失Fr和主矩Mo。07平面一般力系的平衡方程平面任意力系向一点简化可得到一个主失Fr和主矩MO,而主失表征的是力系对刚体

11、的移动效应，主矩表征的是力系对刚体的转动效应。故力系平衡的条件：力系的主失和力系对任一点的主矩都等于零。FrFi 0 Momo（Fi） 0i）一矩式（两个力一个力矩）Fx 0FyMo2）二矩式（一个力两个力矩）Fx 0MamA（Fi） 0MbmB（Fi） 00mo(Fi) 0Fy 0或 M AmA(Fi) 0MbmB(Fi) 0前提条件：AB两点的连线不能垂直 X （Y）轴。平面静定桁架的平衡问题1）节点法：取节点为研究对象，根据平面汇交力系平衡方程求杆件内力。2感面法：用一假想截面将桁架截开，再考虑其中的一部分平衡建立静力学平衡方程 求杆件的内力。用节点法求下列各杆的内力，一直 P=10kN

12、。取整体：求得：FAy FBy 5kN , FBx 0。取节点A和节点D,求得：Fi10kN, F2 8.66kN , F3 10kN。根据对称性可知：F410kN , F5 8.66kN。用截面法求13杆的轴力。已知PE10kN , PG 7kN各杆长度均为1m。取整体用mn截面截开原图取整体：求得FAx 0, FAy9kN , FBy 8kN 。用截面法，取桁架左边部分:Fi10.4kN, F22.31kN , F3 11.555kN o08零杆的建议判断方法零杆的判断：受力为 0的杆件称之为“ 0杆”常规判断方法：节点法：根据节点建立平面汇交力系平衡方程求杆件内力截面法：根据所截取部分建

13、立静力学平衡方程求杆件的内力。1） “L”型节点：只连接两根杆（不在同一直线上）且节点不受别的力作用，此两根 杆必为“ 0”杆。2） “T”型节点：连接三根杆（其中两根杆在同一直线上）且节点不受别的力作用， 则另一根杆必为“ 0”杆。注意：当节点上作用有外力时，可以用一根杆来代替外力，如图中的节点5,节点5上作用了一个外力 F,可用一根向右的杆件代替 F,故根据节点的简易判断方法可知5为T型节点，即可判断杆件 57为零杆。57杆为零杆AD DE CD HG CG BG6 个杆为零杆09刚体系统的平衡问题实际工程结构大多是由两个或两个以上构件通过一定的约束方式连接起来的系统，称 之为刚体系统。分

14、析刚体系统平衡问题的基本原则与处理单个刚体的平衡问题是一致的， 关键在于选择合适的研究对象。10考虑摩擦时的平衡问题摩擦：两个表面粗糙的物体，当其接触表面之间有相对滑动（趋势）时，彼此作用有 阻碍相对滑动（趋势）的阻力，即滑动摩擦力。1）静摩擦力：静摩擦力：当滑块静止时，滑块与地面之间的摩擦力称为静摩擦力，用 Fs表示。方向：沿接触处的公切线，与相对滑动趋势反向。大小：0 Fs Fmax最大静摩擦力：Fmax fsFN。0摩擦定律或库伦摩擦定律）式中：fs为静摩擦因数，Fn为滑块作用在地面上的正压力。2）滑动摩擦力动摩擦力：当滑块滑动时，滑块与地面之间的摩擦力称为动摩擦力，用 Fs表示。滑动摩

15、擦力大小：Fd fdFN。式中：fd为静摩擦因数，Fn为滑块作用在地面上的正压力。对于大多数材料来说：fd fs,即动摩擦力小于最大静摩擦力。3）摩擦角：若Fra表示全约束力，包括支撑力 Fn和摩擦力Fs。又0 Fs Fmax,所以：全约束力作用线与接触面公法线成一偏角，且处于一定变化范围。当Fs Fmax时，此时交角达到最大，称为摩擦角， 用 f表不：FmaxfsFN,tan ffsFnFn实验测定摩擦系数的方法，把物体放在斜面上，逐渐从0起增大斜面的倾角直到物体刚开始下滑为止，这时的就是对应的摩擦角，求得摩擦系数为：fs tan4）自锁与反自锁现象自锁现象：如果作用于物体的全部主动力的合力

16、的作用线在摩擦角之内，则无论这个 力怎样大，物体必保持静止。这种现象称为自锁现象。反自锁现象：如果作用于物体的全部主动力的合力的作用线在摩擦角之外，则无论这 个力怎样小，物体一定会运动。自锁现象反自锁现象5）斜面自锁和螺母自锁当：a f（ f）,滑块/螺母自锁（也称静止、平衡）。当：af （f）,滑块/螺母处于临界平衡状态（依然输入静止、平衡）。当：af （f）,滑块/螺母往下滑动。滑面自锁螺母自锁二运动学（只有运动没有力）11矢量法、直角坐标系12自然法13直角坐标系与自然法之间的联系14刚体的平移15刚体的定轴转动11矢量法、直角坐标系点的运动学：是描述点在某参考系中的位置随时间变化的规律

17、，只研究点运动的几何 性质，包括点的运动方程、运动轨迹、速度、加速度等几何特征。点的运动学研究方法有 三种：矢量法、直角坐标法、自然法 。参考体：研究物体的机械运动选取的一个参考物体。参考系：与参考体相固连的坐标系。通常情况下，取与地面固连的坐标系为参考系。1)矢量法O向动失径：取参考系中某一点为坐标原点，自点r r点M作矢量r,则：r r(t)。r速度：v加速度:r dr(t)2rd2r(t)2 °dt2dtrr dv(t) a dt如：当点运动时，若位置矢大小保持不变，方向可变，则其运动轨迹为圆。2)直角坐标法r设动点在瞬时t的位置M的坐标为：(x、v、z),它的矢径r的关系为：

18、r r r r r xi x j zkx x(t)轨迹：以直角坐标表示的运动方程：y y(t),消去时间t,即可得到动点 M的轨z z(t)迹方程：f(x、v、z)= 0r速度：根据矢量法可知：v qrg生史;曳4); dz"k dt dtdtdt由此可知，速度在直角坐标轴x、y、z方向的投影分别为:vyvzdx(t)dtdy ,则合速度 dtdz(t)dt为：v Jv2 V2 V2。加速度：根据矢量法可知：dvd 2r(t)dvxdVydvzd2x(t)d2y(t)d2z(t)a -2- 2-2-2-dt 出 dt dt 出 出 dt 出由此可知，加速度在直角坐标系x、y、z方向的

19、投影分别为:axdvx2d x(t)dtdt2dvyd2y(t)aydt.2dtazdvzd2z(t)dtdt2则全加速度为：aJOa一aj。12自然法3）自然法（弧坐标法）弧坐标法（自然法）：利用点的运动轨迹建立弧坐标和自然轴系，并用他们来分析和 描述点的运动的方法。在点的运动轨迹上任取一点 O为参考点，点 O的右侧为正，则动点 M在轨迹上的位 置可以用弧长确定，称它为点M的弧坐标。以弧坐标表示的点的运动方程：S f（t）。ds 以弧坐标表木的点的速度：v 一。速度的大小等于动点的弧坐标对时间的一阶倒dt数的绝对值。速度加速度加速度：切向加速度：adv d2s2-， 出dt22v法向加速度：

20、an 一。式中：为曲线的曲率半径，对于圆来说即是圆的半径。切向加速度用来改变速度的大小，法向加速度用来改变速度的方向。常用运动方程匀速运动动：设初速度为 Vo,经过时间t后走过的路程： S Vot o均加速度运动：设初速度为 V0,切向加速度为 a ,经过时间t后走过的路程:12S vot -a t 。213直角坐标系与自然法之间的联系。4）直角坐标系和自然法的转换直角坐标系加速度为:a自然法加速度：anaxayazdvdt2vdvxdtdvydtdvzdtd2s dt2直角坐标系与自然坐标系的联系:2d x(t)dt2"P ,则全加速度为:dt2d2z(t)dt2则全加速度为:22

21、a qa a。aa22 an222xayaz °例1:已知动点的运动方程为x t t,则点的运动轨迹及t 1s时的法向加速度y 2t为：解：,0.1,、 I 2将 t 5 y 代入 x,得：y 2y 4x 0。根据题目知:V合= JvxvyVxvydt以2 出axayd 2x dt2 d2y dt274P4t5 , a合=声1a2 2。又：a 0 18t 4=. 0.897m/s2（t 1s日t）。出 2、.4t2 4t 5所以：ana| a2 1.789m/s2。14刚体的平移工程实例：气缸内活塞的运动、电梯的运动等。刚体的平移：如果在刚体内任取一直线段，在运动过程中这条直线始终平

22、行于初始位 置，这种运动称为平移运动，简称平移。平移的特征：刚体平移时，其上各点的轨迹不一定是直线，也可能是曲线。当刚体平移时，其上各点的轨迹形状相同；在每一瞬时，各点的速度相同，加速度 也相同。因此，研究刚体的平移，可以归结为研究刚体内任一点的移动，即点的运动学问 题。15刚体的定轴转动刚体的定轴转动。工程实例：开门时门绕轴的转动。刚体的定轴转动：刚体在运动时，刚体始终绕一根定轴转动，简称刚体的转动。 定轴称为刚体的转轴或轴线，简称轴。如图，取刚体的转轴为 Z轴，过Z轴做一固定平面I及一动平面n ,其中动平面n与 刚体固结。转角：两个平面间的夹角称为刚体的转角：=f（t）。转角 的正负号：自

23、Z轴正端往负端看，从固定面起按逆时针转向计算角，取正 值，按顺时针转向取负值。上述绕定轴转动的刚体，只要用一个参变量转角可以决定其位置，这样的刚体，称其具有一个自由度。自由度：对于点的平面运动，要确定其位置，需要知道坐标（x, y）,即动点的平面运动的自由度为2;同理，对于点的空间运动，要确定其位置，需要知道坐标（x、y、z）,即动点的空间运动自由度为 3。定轴转动图定轴转动（2个自由度）d 角速度：=,单位：rad / s °dt，、 dw d2. . 2角加速度： 2-,单位：rad / s 。dt dt注：当角加速度 与角速度 的方向（正负号）一致时，为加速转动；如果异号，则为

24、 减速转动。对于同一定轴转动刚体来说，刚体上各点的角速度和角加速度是相同的。定轴转动刚体各点的速度和加速度：当刚体作定轴转动时，刚体内任意一点都作圆周 运动，圆心在轴线上，圆周所在的平面与轴线垂直，圆周的半径R等于该点到轴线的垂直距离，因此采用自然法研究各点的运动。点的运动方程：s R速度：v 查 dtdRdtRdt切线加速度：adv dRdt dtR 。dR Rdt法向加速度:(R )2全加速度：a轮系的传动比：工程上，常利用轮系传动提高或降低机械的转速，最常用的有齿轮传动，带轮传动。2 ,半径为R2。则根据大小设大齿轮的角速度为1,半径为R1 ；小齿轮的角速度为齿轮的齿合点A和B的线速度相

25、等，可得：Va Vb,即：iR2R2。1 R22 Ri即轮系的角速度比（传动比）等于半径的反比。三动力学（运动和力的结合）16牛顿第二定律17动量定理18动量距定理19动能定理20达朗贝尔原理21质点的直线振动16牛顿第二定律质点：具有一定质量而几何形状和尺寸大小忽略的物体。质点系：由几个或无数个相互有联系的质点所组成的系统。刚体：是质点系的一种特殊情形，其中任意两个质点的距离保持不变，也称为不变的 质点系。牛顿第二定律：（力与加速度之间的关系定律）：Fx maxF ma公式：F ma ,直角坐标系中为：Fy may ,自然坐标系中为：Fn manFz maz即：哪个方向用牛顿第二定律，就考虑

26、哪个方向的作用力就行。17动量定理动量1）质点的动量（平移刚体动量）：质点的动量等于其质量与速度的乘积。K mv2）质点系的动量（定轴转动冈1J体动量）：K mvc力的冲量：力的冲量：作用在刚体上的力F与作用时间t的乘积称为力的冲量:I Ft冲量的单位和动量的单位是一样的，都是kg m/So动量定理：Ft mv2 mv1dv 、 一m%t，变形得Fdtmdv ,左右积分得:即：质点（或刚体）动量的变化量等于外力作用的冲量。推导过程根据牛顿第二定律：F mat 1 .v2 , 、-Fdt mdv,计算得：Ft mv2 mv10ViFxt mv2x mv1x直角坐标系中的动量定理：Fyt mv2y

27、 mv1yoFzt mv2z mv1 z18动量距定理动量距和力对点的距对比：力对点的距：力的大小（F）与矩形O到力的作用线的距离（力臂 h）的乘积称为力 对。点之距，记作Mo（F）。方向逆时针转动为正，顺时针转动为负。1）质点（平移刚体）动量距：质点对某固定点 O的动量距定义为：质点的动量对该点O之距。方向逆时针转动为正，顺时针转动为负。MO(mv) mv d力对点之距2）质点系的动量距质点系对某固定点 O的动量距等于各质点的动量对该点O之距的代数和。方向逆时针转动为正，顺时针转动为负。LoMo（mvi）3）定轴转动刚体的动量距刚体绕定轴O转动时，它对转轴 O的动量距Lo ：LOJO其中：为

28、刚体的角速度Jo为刚体对转轴 O轴的转动惯量。刚体的转动惯量：1）简单形状刚体的转动惯量（注：均对质心 C）对于长为l ,质量为m的均质细杆，设质心为 C,则细杆对C点的转动惯量公式 为：12JcmlJa12对于半径为 R,质量为m的均质圆板，设质心为式为：1ml23C,则圆板对质心C的转动惯量公Jc 1 mR22C,则圆环对C点的转动惯量对于外半径为 R,质量为m的均质薄圆环，设质心为 公式为：2Jc mR2）转动惯量的平行移轴定理刚体的质量为 m ,刚体对于质心的转动惯量公式为Jc , D点与质心C的距离为d , 则刚体对于D点的转动惯量公式为:2JD JC md均质圆板均质圆环动量距定理

29、：1)对于平移刚体：推导过程根据动量距定义：MO(mv)dMO(mv)dtMo(F)mv d ,两边同时对时间求导得:dMO(mv) d( mv d) dv- - md mda Fd M O( F)。dtdtdt2)对于定轴转动刚体：JzMo(F)推导过程根据动量距定义：M O (mv) JO,两边对同对时间求导得：dMo(mv) d( Jo). d JO JO mda Fd MO(F)。dt dt dt19动能定理做功：1)外力做功W F S当力F的方向与位移方向相同时，外力做正功，反之做负功。单位：N m J ,焦耳。2)重力做功：W mgh3)弹性力做功：1.21,2W k 1 k 22

30、2弹性力做功外力做功重力做功推导过程弹簧变形量x与弹性力的关系为(胡克定律)Fxkx式中：负号表示弹性力方向与质点位移方向相反。 弹簧的弹性势能为：Vx - kx2弹性力做正功，势能减小；弹性力做负功，势能增加。所以:12121212W(-k22-k12)(k12 k2)。2222质点系和刚体动能：1)质点的动能：设质点的质点为 m ,速度为v,则其动能T为：1 2T mv22)定轴转动刚体的动能：设刚体的质量为 m,绕定轴O轴转动的角速度为 ，刚体对定轴 O轴的转动惯量为(注：绕那根轴转动，转动惯量就是对哪根轴)，则定轴转动刚体的动能为:2Jo例题(2009 56):质量为m ,长为21的均质细杆初始位于水平水平位置，如图所示。A端脱落后，杆绕轴 B转动，当杆转动到铅锤位置时，AB杆角加速度的大小为:转动任意时刻题目解法1：动能定理:AB杆的初始时刻的动能：1 0,当杆转动到与初始位置夹角为的位置时，此时的动能为:T2B 2,其中12Jbm(2l)3T22mA 3外力做功:W-2 mgl sin根据动能定理:mgl sin-ml2 23时对时间