知识点总结矩阵的初等变换与线性方程组

1、第一节 矩阵的初等变换初等行变换1对调两行，记作(rih)。2以数k 0乘以某一行的所有元素，记作(ri k) o3把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去，记作(ri krj)。初等列变换：把初等行变换中的行变为列，即为初等列变换，所用记号是把“ r”换成“c”。扩展矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换，初等变换的逆变换仍为初等变换 ，且类型相同。矩阵等价如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A与B等价。等价关系的性质(1)反身性AA(2)对称性若A - B，则B A;(3)传递性 若 AB,BC,则 A -Co (课本P59)行阶梯形矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全为

2、零， 每个台阶只有一行， 台阶数即是非零 行的行数阶梯线的竖线(每段竖线的长度为一行)后面的第一个元素为非零元，也是非零行 的第一个非零元。行最简形矩阵：行阶梯矩阵中非零行的第一个非零元为1,且这些非零元所在的列的其他元素都为0.标准型：对行最简形矩阵再施以初等列变换，可以变换为形如ErO的矩阵，称m n为标准型。标准形矩阵是所有与矩阵A等价的矩阵中形状最简单的矩阵。初等变换的性质 设A与8为皿 n矩阵，那么(1)A: B存在m阶可逆矩阵P,使PA B;c(2)A- B存在n阶可逆矩阵Q,使AQ B;(3)A: B存在m阶可逆矩阵P,及n阶可逆矩阵Q,使PAQ B;初等矩阵：由单位矩阵经过一次

3、初等变换得到的方阵称为初等矩阵。初等矩阵的性质设A是一个mx n矩阵，则(1)对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的 m阶初等矩阵；r即AB存在m阶可逆矩阵P,使PA B;(2)对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的 n阶初等矩阵；c里AB存在n阶可逆矩阵Q,使AQ B;(3)AB存在m阶可逆矩阵P,及n阶可逆矩阵Q,使PAQ B;(4)方阵A可逆的充分必要条件是存在有限个初等方阵P,P2,L ,P,使A P1P2L P/r(5) A可逆的充分必要条件是AE。(课本P?初等列变换EA 1初等变换的应用(1)求逆矩阵：(A | E)初等行变换E | A 1或E | A 1

4、B ,则 P=A1 Bo 或r/一(2)求 A1B ： A(A,B) (E,P),即(A|B)行A初等列变换EBBA1 .第二节矩阵的秩矩阵的秩 任何夕！阵Am n ,总可以经过有限次初等变换把它变为行阶梯形，行阶梯形矩阵中非零行的行数是唯一确定的。(非零行的行数即为矩阵的秩)矩阵的秩 在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D,且所有r + 1阶子式(如果存在的 话)全等于0,那么D称为矩阵A的最高阶非零子式。数r称为矩阵A的秩，记作R(A). 规定零矩阵的秩，R(0)=0.说明1. 矩阵 Amxn,则 RA) <min m n;2. R(A) = R(AT);3. RA)r的充分必要条件是

5、至少有一个r阶子式不为零；4. RA) &r的充分必要条件是所有r + 1阶子式都为零.满秩和满秩矩阵矩阵Aa0，若R(A) m,称a为行满秩矩阵；若R(A) n,m n称A为列满秩矩阵； 若A为n阶方阵，且R(A) n,则称A为满秩矩阵。若n阶方阵A两秩，即R(A) n A 0;A 1必存在；A为非奇异阵；A必能化为单位阵En,即AEn.矩阵秩的求法定理1矩B$ A经过有限次行(歹U)初等变换后其秩不变。即若AB,则R(A)=R(B)o矩阵Anxn,经过有限次初等行变换可变为行阶梯形，则非零行的行数就是A的秩。(证明课本P?)推论若P、Q可逆，则R(PAQ) R(A)(课本P?)矩阵

6、秩的性质总结(1) 0 R(Amn) minm,n (2) R(AT) R(A) (3)若 AB,则 RA R B 若P、Q可逆，则R(PAQ) R(A) maxR(A), R(B) R(A,B) R(A) R(B)特别当B b为非零列向量时，有 R(A) R(A,b) R(A) 1.(6) R(A B) R(A) R(B)(7) R(AB) min R(A), R(B).若AmnBni O,则 R(A) R(B) n.设AB=O,若A为列满秩矩阵，则B=O (矩阵乘法的消去率)。(课本P71)第三节线性方程组的解现送乳乂？ L amXn4a？i Xi aXo L a? nxn bo线性方程组

7、21 122 2 2n 2如果有解，则称其为相容的，否则称为不相容L L L L L L L Lamixl am2X2 L amn xn bm定理2 n元齐次线性方程组Ax=0(1) R(A) = n Ax=0有唯一解，零解(2) R(A) < n Ax=0 有非零解.定理3 n元非齐次线性方程组 Ax b(1) 无解的充分必要条件是R(A) R(A, b)(2) 有唯一解的充分必要条件是R(A) R(A,b) n(3) 有无限多接的充分必要条件是R(A) R(A,b) n (证明课本P71)基础解系齐次线性方程组Ax0的通解具有形式xc11C22(C1,C2为任意常数)，称通解式x C1 1 C2 2 C1,C2为任意常数 中向量1, 2构成该齐次线性方程组的基础解一 系。线性方程组的解法 齐次线性方程组：将系数矩阵A化成行阶梯形矩阵，判断是否有非零解.若有非零解，化成 行最简形矩阵，写出其解；齐次线性方程组的基础解系含有的向量个数为 n-F(A),齐次线 性方程组的通解可以表成基础解系的“线性组合”。非齐次线性方程组： 将增广矩阵B=(A,b)化成行阶梯形矩阵，判断其是否有解.若有解，化 成行最简形矩阵，写出其解；在求解过程中，一般取行最简形矩阵中非零行的第一个非零元 对应的未知量为非自由的。非齐次线性万程组解的通解具有形式x G 1c2 2(Ci,