高考数学(文数)二轮复习查漏补缺练习：专题突破训练1 《导数与不等式》(教师版)

1、专题突破训练(一)导数与不等式时间 / 45分钟分值 / 72分基础热身1.已知f(x)=-x2-3,g(x)=2xln x-ax.(1)若函数f(x)与g(x)的图像在x=1处的切线平行,求函数g(x)的图像在点(1,g(1)处的切线方程;(2)当x(0,+)时,若g(x)-f(x)0恒成立,求实数a的取值范围.2.设f(x)=2xln x+1.(1)求f(x)的最小值;(2)证明:f(x)x2-x+1x+2ln x.能力提升3.已知函数f(x)=ex-ax,aR.(1)若f(x)在定义域内无极值点,求实数a的取值范围;(2)求证:当0<a<1,x>0时,f(x)>1

2、恒成立.4.已知函数f(x)=3ex+x2,g(x)=9x-1.(1)求函数(x)=xex+4x-f(x)的单调区间;(2)比较f(x)与g(x)的大小,并加以证明.5.已知函数f(x)=x-aln x-1,曲线y=f(x)在点(1,0)处的切线经过点(e,0).(1)证明:f(x)0;(2)若当x1,+)时,f1x(lnx)2p+lnx,求p的取值范围.难点突破6.已知函数f(x)=axlnx.(1)当a=2时求函数f(x)的单调递减区间;(2)若方程f(x)=1有两个不相等的实数根x1,x2,证明:x1+x2>2e.专题突破训练(一)1.解:(1)f'(x)=-2x,g

3、9;(x)=2ln x+2-a,因为函数f(x)与g(x)的图像在x=1处的切线平行,所以f'(1)=g'(1),解得a=4,所以g(1)=-4,g'(1)=-2,所以函数g(x)的图像在点(1,g(1)处的切线方程为2x+y+2=0.(2)当x(0,+)时,由g(x)-f(x)0恒成立得,2xln x-ax+x2+30恒成立,即a2ln x+x+3x恒成立.设h(x)=2ln x+x+3x,则h'(x)=x2+2x-3x2=(x+3)(x-1)x2(x>0),当x(0,1)时,h'(x)<0,h(x)单调递减,当x(1,+)时,h'

4、(x)>0,h(x)单调递增,所以h(x)min=h(1)=4,所以a4,即a的取值范围为(-,4.2.解:(1)f'(x)=2(ln x+1).当x0,1e时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x1e,+时,f'(x)>0,f(x)单调递增.所以当x=1e时,f(x)取得极小值,也是最小值,最小值为f1e=1-2e.(2)证明:令F(x)=x2-x+1x+2ln x-f(x)=x(x-1)-x-1x-2(x-1)ln x=(x-1)x-1x-2lnx.令g(x)=x-1x-2ln x,则g'(x)=1+1x2-2x=(x-1)2x20,所以

5、g(x)在(0,+)上单调递增,又因为g(1)=0,所以当0<x<1时,g(x)<0,F(x)>0,当x>1时,g(x)>0,F(x)>0,当x=1时,F(x)=0,所以F(x)=(x-1)x-1x-2lnx0,即f(x)x2-x+1x+2ln x.3.解:(1)f(x)的定义域为x|x0,对函数f(x)=ex-ax求导,得f'(x)=ex(x-1)+ax2.令g(x)=ex(x-1)+a,则g'(x)=x·ex,当x<0时,g'(x)<0,则g(x)在(-,0)上单调递减,当x>0时,g'(

6、x)>0,则g(x)在(0,+)上单调递增.因为g(0)=a-1,且f(x)在定义域内无极值点,所以a1.(2)证明:f'(x)=ex(x-1)+ax2,由(1)可知g(x)=ex(x-1)+a在(0,+)上单调递增,又当0<a<1时,g(0)=a-1<0,g(1)=a>0,所以存在x0(0,1),使得g(x0)=0,即f'(x0)=0,且当0<x<x0时,f'(x)<0,当x>x0时,f'(x)>0,故f(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,+)上单调递增,所以f(x)f(x0).由g(x0)=e

7、x0(x0-1)+a=0知f(x0)=ex0>1,所以当0<a<1,x>0时,f(x)>1恒成立.4.解:(1)'(x)=(x-2)(ex-2),令'(x)=0,得x1=ln 2,x2=2.令'(x)>0,得x<ln 2或x>2;令'(x)<0,得ln 2<x<2.故(x)在(-,ln 2)上单调递增,在(ln 2,2)上单调递减,在(2,+)上单调递增.(2)f(x)>g(x).证明如下:设h(x)=f(x)-g(x)=3ex+x2-9x+1,因为h'(x)=3ex+2x-9为增函

8、数,且h'(0)=-6<0,h'(1)=3e-7>0,所以存在x0(0,1),使得h'(x0)=0.当x>x0时,h'(x)>0;当x<x0时,h'(x)<0.所以h(x)min=h(x0)=3ex0+x02-9x0+1,又h'(x0)=3ex0+2x0-9=0,所以3ex0=-2x0+9,所以h(x)min=-2x0+9+x02-9x0+1=x02-11x0+10=(x0-1)(x0-10).因为x0(0,1),所以(x0-1)(x0-10)>0,所以h(x)min>0,所以f(x)>g(x

9、).5.解:(1)证明:f'(x)=1-ax(x>0),由题知曲线y=f(x)在点(1,0)处的切线方程为y=f'(1)(x-1),即y=(1-a)(x-1),又切线经过点(e,0),所以0=(1-a)(e-1),解得a=1.所以f(x)=x-ln x-1,从而f'(x)=1-1x=x-1x(x>0).因为当x(0,1)时,f'(x)<0,当x(1,+)时,f'(x)>0,所以f(x)在区间(0,1)上是减函数,在区间(1,+)上是增函数,从而f(x)f(1)=0.(2)由题意知,当x1,+)时,p+ln x0,所以p>0,

10、从而当x1,+)时,p+ln x>0,由题意知1x+ln x-1(lnx)2p+lnx,即(p-1)x+1ln x-px+p0,其中x1,+).设g(x)=(p-1)x+1ln x-px+p,其中x1,+),设h(x)=g'(x),即h(x)=(p-1)ln x+1x-1,其中x1,+),则h'(x)=(p-1)x-1x2,其中x1,+).当p2时,因为当x1,+)时,h'(x)0,所以h(x)是增函数,从而当x1,+)时,h(x)h(1)=0,所以g(x)是增函数,从而g(x)g(1)=0.故当p2时符合题意.当1<p<2时,因为当x1,1p-1时,

11、h'(x)<0,所以h(x)在区间1,1p-1上是减函数,从而当x1,1p-1时,h(x)h(1)=0,所以g(x)在1,1p-1上是减函数,从而g1p-1<g(1)=0,故当1<p<2时不符合题意.当0<p1时,因为当x1,+)时,h'(x)<0,所以h(x)是减函数,从而当x1,+)时,h(x)h(1)=0,所以g(x)是减函数,从而g(x)g(1)=0,故当0<p1时不符合题意.综上,p的取值范围是2,+).6.解:(1)f(x)的定义域为(0,1)(1,+),当a=2时,f'(x)=2(lnx-1)(lnx)2,由f'(x)<0得x(0,1)(1,e),所以f(x)的单调递减区间是(0,1)和(1,e).(2)证明:由ln x2=ax2,ln x1=ax1,得ln x1-ln x2=a(x1-x2),ln x1+ln x2=a(x1+x2),得a=ln x1-ln x2x1-x2.因为x1+x2>2x1x2,所以要证x1+x2>2e,只需证x1x2>e2,即证ln x1+ln x2>2,即证ln x1+ln x2=a(x1+x2)=(x1+x2)·ln x1-ln x2x1-x2>2,不妨设x1>x2,则只需证ln x1x2>2(x1-x