高等数学下复旦大学出习题十答案详解

1、习题十1. 根据二重积分性质，比较与的大小，其中：（1）D表示以（0，1），（1，0），（1，1）为顶点的三角形；（2）D表示矩形区域.解：（1）区域D如图10-1所示，由于区域D夹在直线x+y=1与x+y=2之间，显然有图10-1从而 故有 所以 （2）区域D如图10-2所示.显然，当时，有.图10-2从而 ln(x+y)>1故有 所以 2. 根据二重积分性质，估计下列积分的值：（1）;（2）;（3）.解：（1）因为当时，有, 因而 .从而 故 即而 （为区域D的面积），由=4得 .(2) 因为，从而故 即而所以（3）因为当时，所以故 即 而 所以 3. 根据二重积分的几何意义，确定下

2、列积分的值：（1）（2）解：（1）在几何上表示以D为底，以z轴为轴，以（0，0，a）为顶点的圆锥的体积，所以（2）在几何上表示以原点（0，0，0）为圆心，以a为半径的上半球的体积，故4. 设f(x，y)为连续函数，求.解：因为f(x，y)为连续函数，由二重积分的中值定理得，使得又由于D是以（x0，y0）为圆心，r为半径的圆盘，所以当时，于是：5. 画出积分区域，把化为累次积分：（1）;(2) (3) 解：（1）区域D如图10-3所示，D亦可表示为.所以(2) 区域D如图10-4所示，直线y=x-2与抛物线x=y2的交点为（1，-1），（4，2），区域D可表示为 . 图10-3 图10-4所以（

3、3）区域D如图10-5所示，直线y=2x与曲线的交点(1，2)，与x=2的交点为(2，4),曲线与x=2的交点为（2，1），区域D可表示为图10-5所以.6. 画出积分区域，改变累次积分的积分次序：（1）; (2) ;(3) ; (4) ;(5) .解：（1）相应二重保健的积分区域为D：如图10-6所示.图10-6D亦可表示为： 所以(2) 相应二重积分的积分区域D：如图10-7所示.图10-7D亦可表示为： 所以(3) 相应二重积分的积分区域D为：如图10-8所示.图10-8D亦可看成D1与D2的和，其中D1：D2：所以.(4) 相应二重积分的积分区域D为：如图10-9所示.图10-9D亦可

4、看成由D1与D2两部分之和，其中D1：D2：所以(5) 相应二重积分的积分区域D由D1与D2两部分组成，其中D1： D2：如图10-10所示.图10-10D亦可表示为：所以7. 求下列立体体积：（1）旋转抛物面z=x2+y2,平面z=0与柱面x2+y2=ax所围；（2）旋转抛物面z=x2+y2,柱面y=x2及平面y=1和z=0所围.解：（1）由二重积分的几何意义知，所围立体的体积V=其中D：由被积函数及积分区域的对称性知，V=2，其中D1为D在第一象限的部分.利用极坐标计算上述二重积分得.(2) 由二重积分的几何意义知，所围立体的体积其中积分区域D为xOy面上由曲线y=x2及直线y=1所围成的

5、区域，如图10-11所示.图10-11D可表示为：所以8. 计算下列二重积分：（1）(2) D由抛物线y2=x,直线x=0与y=1所围；（3） D是以O(0,0)，A(1，-1)，B(1，1)为顶点的三角形;(4) .解：（1）(2) 积分区域D如图10-12所示.图10-12D可表示为：所示(3) 积分区域D如图10-13所示.图10-13D可表示为：所以9. 计算下列二次积分：解：（1）因为求不出来，故应改变积分次序。积分区域D：0y1, yx，如图10-14所示。图10-14D也可表示为：0x1,x2yx.所以(2)因为求不出来，故应改变积分次序。积分区域D分为两部分，其中如图10-15

6、所示：图10-15积分区域D亦可表示为：于是：10. 在极坐标系下计算二重积分：(1)(2)D为圆=1所围成的区域；(3)D是由=4, =1,及直线y=0,y=x所围成的在第一象限内的闭区域；(4)D是由曲线=x+y所包围的闭区域。解：(1)积分区域D如图10-16所示：图10-16D亦可采用极坐标表示为：r2, 02所以(2)积分区域D可用极坐标表示为：0r1, 02.所以：(3)积分区域D如图10-17所示.图10-17D可用极坐标表示为：0, 1r2.所以：(4)积分区域D如图10-18所示，图10-18D可用极坐标表示为：所以：11. 将下列积分化为极坐标形式，并计算积分值：解：（1）

7、积分区域D如图10-19所示.图10-19D亦可用极坐标表示为：所以：(2)积分区域D如图10-20所示.图10-20D可用极坐标表示为：于是：(3)积分区域D如图10-21所示.图10-21D也可用极坐标表示为：.于是：(4)积分区域D如图10-22所示.图10-22D可用极坐标表示为：于是:*12. 作适当坐标变换，计算下列二重积分：(1),其中D是由xy=2,xy=4,x=y,y=3x在第一象限所围平面区域；(2)(3)令x=v,x+y=u;(4)(5)(6)解：(1)积分区域D如图10-23所示： 图10-23令xy=u,则于是：(2)积分区域D如图10-24所示。图10-24令x+y

8、=u,x-y=v,则且 -1u1, -1v1.于是：（3）积分区域Dxy: 0x1, 1-xy2-x令x=v, x+y=u, 则y=u-v积分区域Dxy变为Duv:0v1, 1u2.且于是(4)令x=arcos, y=brsin则积分区域D变为Dr： 02, 0r1,于是：(5) 令x=rcos，y=rsin. 即作极坐标变换，则D变为：0r3, 02.于是：（6）积分区域D如图10-25所示：D可分为D1,D2D3,D4四个部分.它们可分为用极坐标表示为。图10-25D1: 0, 0r2sin,D2D3: 0, 2sinr2,D4: 2, 0r2于是：13. 求由下列曲线所围成的闭区域的面积

9、：(1)曲线所围（a>0,b>0）;(2)曲线xy=a2,xy=2a2,y=x,y=2x所围（x>0,y>0）.解：（1）曲线所围的图形D如图10-26所示：图10-26D可以表示为：所求面积为：(2)曲线xy=a2,xy=2a2,y=x,y=2x(x>0,y>0)所围图形D如图10-27所示：图10-27所求面积为令xy=u,则于是14. 证明：(1)(2),D为|x|+|y|1;(3),其中D为x2+y21且a2+b20.解：（1）题中所给累次积分的积分区域D为ayb, axy.如图10-28所示：图10-28D也可表示为axb，xyb，于是：(2)令x

10、+y=u,x-y=v，则,且-1u1,-1v1,于是(3)令,则当x2+y21时，于是15. 求球面x2+y2+z2= y2含在圆柱面x2+y2=ax内部的那部分面积。解：如图10-29所示：图10-29上半球面的方程为，由得由对称性知16. 求锥面z=被柱面z2=2x所割下部分的曲面面积。解：由z2=x2+y2,z2=2x两式消去z得x2+y2=2x，则所求曲面在xOy面上的投影区域D为：x2+y22x,而故所求曲面的面积为.17. 求底面半径相等的两个直交圆柱面x2+y2=R2及x2+z2=R2所围立体的表面积。解：由对称性知，所围立体的表面积等于第一卦限中位于圆柱面x2+y2=R2内的部

11、分面积的16倍，如图10-30所示。图10-30这部分曲面的方程为，于是所求面积为.18. 设薄片所占的闭区域D如下，求均匀薄片的重心。(1)D由所围成；(2)D是半椭圆形闭区域：;(3)D是介于两个圆r=acos,r=bcos(0<a<b)之间的闭区域。解：(1)闭区域D如图10-31所示。图10-31闭区域D的面积A为所求重心为.(2)因为闭区域D对称于y轴，所以=0,又闭区域D的面积。.所以：所求重心为.(3)闭区域D如图10-32所示：图10-32由于闭区域D关于x轴对称，所以,又故所求重心为19. 设平面薄片所占的闭区域D由抛物线y=x2及直线y=x所围成，它在点（x,y

12、）处的面密度(x,y)=x2y，求该薄片的重心。解：闭区域D如图10-33所示：图10-33薄片的质量为从而 所求重心为.20. 设有一等腰直角三角形薄片，腰长为a，各点处的面密度等于该点到直角顶点的距离的平方，求这薄片的重心.解：建立直角坐标系如图10-34所示。图10-34由已知(x,y)=x2+y2,且从而 即所求重心为.21. 设均匀薄片（面密度为常数1）所占闭区域D如下，求指定的转动惯量：(1)D:，求Iy;(2)D由抛物线与直线x=2所围成，求Ix和Iy；(3)D为矩形闭区域：0xa, 0yb,求Ix和Iy.解：（1）令x=arcos ,y=brsin,则在此变换下D：变化为：r1

13、,即0r1, 02, 且,所以(2) 闭区域D如图10-35所示图10-35(3)22. 已知均匀矩形板（面密度为常量）的长和宽分别为b和h，计算此矩形板对于通过其形心且分别与一边平行的两轴的转动惯量。解：取形心为原点，取两旋转轴为坐标轴，建立坐标系如图10-36所示.图10-3623. 求直线与坐标轴围成的三角区域（a>0,b>0）对x轴及坐标原点的转动惯量（面为常数）.解：所围三角区域D如图10-37所示：图10-3724. 求面密度为常量的匀质半圆环形薄片：对位于z轴上点M0(0,0,a)(a>0)处单位质量的质点的引力F.解：由对称性知Fy=0，而故所求引力为：25.

14、 化三重积分为三次积分，其中积分区域分别是：(1)由双曲抛物面xy=z及平面x+y-1=0,z=0所围成的闭区域；(2)由曲面z=x2+y2及平面z=1所围成的闭区域；(3)由曲面z=x2+2y2及z=2-x2 所围成的闭区域;(4)由曲面cz=xy(c>0)，所围成的第I卦限内的闭区域。解：(1)积分区域如图10-38所示，图10-38可表示为：故 (2)积分区域如图10-39所示。图10-39可表示为：故 (3)由消去z得即，所以在xOy面的投影区域为x2+y21，如图10-40所示。图10-40可表示为：-1x1, , x2+2y2z2-x2故(4)积分区域如图10-41所示。可表

15、示为：图10-41故26. 在直角坐标系下计算三重积分：(1),其中是由曲面z=xy与平面y=x,x=1和z=0所围成的闭区域；(2)，其中为平面x=0,y=0,z=0,x+y+z=1所围成的四面体；(3)，是两个球：x2+y2+z2R2和x2+y2+z22Rz(R>0)的公共部分；(4),其中是由x=a(a>0),y=x,z=y,z=0所围成；(5),其中是由x2+z2-y2=1,y=0,y=2所围成；(6),其中是由所围成。解：(1)积分区域如图10-42所示。图10-42可表示为：(2)积分区域如图10-43所示，可表示为：图10-43故(3)积分区域如图10-44所示。图1

16、0-44由方程x2+y2+z2=R及x2+y2+z2=2Rz得两球的交线为：,且平面把积分区域分为两部分，且积分区域在z轴上的投影区间为0,R,记过上任意一点z的平行于xOy面的平面与相交的平面区域为D1(z),过上任意一点z的平行于xOy面的平面与的相交的平面区域为D2(z)，则(4)积分区域如图10-45所示。图10-45可表示为：故(5)积分区域如图10-46所示。图10-46在y轴上的投影区间为0,2，故(6) 积分区域如图10-47所示。图10-47可表示为：故27. 如果三重积分的被积函数f(x,y,z)是三个函数f1(x), f2(y), f3(z)的乘积，即f(x,y,z)=f

17、1(x)·f2(y)·f3(z)，积分区域为axb，cyd,lzm，证明,这个三重积分等于三个单积分的乘积，即证：28. 利用柱面坐标计算下列三重积分：(1) ,其中是由曲面及所围成的闭区域；(2) ,其中是由曲面及平面z=2所围成的闭区域.图10-48解：(1) 由及消去得,因而区域在xOy面上的投影区域为,如图10-48所示，在柱面坐标系下：可表示为：故 (2) 积分区域如图10-49所示，在柱面坐标系下，可表示为图10-49故 29. 利用球面坐标计算下列三重积分：(1) ，其中是由球面所围成的闭区域；(2) ，其中由不等式,所确定.解：（1） (2) 积分区域如图1

18、0-50所示，在球面坐标系下，可表示为图10-50故 30. 选用适当的坐标计算下列三重积分：(1) ，其中为柱面及平面z=1,z=0,x=0,y=0所围成的第I卦限内的闭区域；(2) ,其中是由球面所围成的闭区域;(3) ,其中是由曲面及平面z=5所围成的闭区域；(4) ，其中由不等式所确定。解：（1）积分区闭如图10-51所示.利用柱面坐标计算，在柱面坐标系下表示为：图10-51,0r1，0z1,故本题也可采用直角坐标计算，在直角坐标系下，可表示为：故 (2)积分区域如图10-52所示。用球面坐标计算，在球面坐标系下可表示为：图10-52故(3) 积分区域如图10-53所示。利用柱面坐标计

19、算，在柱面坐标系下，可表示为：图10-53故(4) 积分区域如图10-54所示。利用球面坐标计算，在球面坐标系下，可表示为：图10-54故31. 利用三重积分计算由下列曲面所围成的立体的体积：(1) z=6-x2-y2及；(2) x2+y2+z2=2az(a>0)及x2+y2=z2（含有z轴的部分）；(3)及z=x2+y2;(4) z=及x2+y2=4z.解：（1）曲面围成的立体如图10-55所示。在柱面坐标系下，可表示为：图10-55用柱面坐标可求得的体积（2）曲面围成的立体如图10-56所示。在球面坐标系下可表示为：图10-56利用球面坐标可求得的体积：（3）曲面围成的立体如图10-

20、57所示。在柱面坐标系下，可表示为：图10-57利用柱面坐标可求得的体积：(4) 曲面围成的立体如图10-58所示。在柱面坐标系下，可表示为：图10-58利用柱面坐标可求得的体积：*32. 选择坐标变换计算下列各题：（1）（2）解：（1）令则积分区域变为*：且故 (2) 坐标变换同（1）。33. 球心在原点，半径为R的球体，在其上任意一点的密度的大小与这点到球的距离成正比，求这球体的质量。解：利用球面坐标计算：则34. 利用三重积分计算下列由曲面所围立体的重心（设密度=1）;(1) z2=x2+y2,z=1;(2)(3)z= x2+y2,x+y=a,x=0,y=0,z=0.解：（1）两曲面所围

21、立体为一高和底面半径均为1的圆锥体（如图10-59所示），其体积v=.在柱面坐标系下，可表示为：rz1,0r1,02.图10-59又由对称性可知，重心在z轴上，故,所以，所围立体的重心为.(2)所围立体如图10-60所示。其体积.图10-60在球面坐标系下，可表示为：,又由对称性知，重点在z轴上，故,故所围立体的重心为(3) 所围立体如图10-61所示，在直角坐标系下，可以表示为图10-610xa, 0ya-x, 0zx2+y2.先求的体积V.故由关于平面y=x的对称性可知。.又故所围立体的重心为.35. 球体x2+y2+z22Rz内，各点处的密度的大小等于该点到坐标原点的距离的平方，试求这球

22、体的重心。解：用球面坐标计算，在球面坐标系下球体可以表示为：0r2Rcos，0,02，球体密度=r2,由对称性可知重心在z轴上，故，又球体的质量从而故球体的重心为.36. 一均匀物体（密度为常量）占有的闭区域由曲面z=x2+y2和平面z=0,|x|=a,|y|=a所围成。（1）求物体的体积；（2）求物体的重心；（3）求物体关于z轴的转动惯量。解：（1）如图10-62所示。由对称性可知。图10-62(2)由对称性知，而故物体重心为.37. 求半径为a,高为h的均匀圆柱体对于过中心，而平行于母线的轴的转动惯量（设密度=1）.解：建立坐标系如图10-63所示，用柱面坐标计算。图10-6338. 求均

23、匀柱体：对于位于点M0（0，0，a）(a>h)处的单位质量的质点的引力。解：由柱体的对称性可知，沿x轴与y轴方向的分力互相抵消，故Fx=Fy=0,而39. 在均匀的半径为R的半圆形薄片的直径上，要接上一个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片，为了使整个均匀薄片的重心恰好落在圆心上，问接上去的均匀矩形薄片另一边的长度应是多少？解：如图10-64所示，因为闭区域D对称于y轴，所以重心必位于y轴上，即，要使重心恰好落在圆心上，必须使,于是必须,而图10-64由得.即均匀矩形薄片另一边长度应是.40.求由抛物线y=x2及直线y=1所围成的均匀薄片（面密度为常数）c对于直线y=-1的转动惯量。图

24、10-65解：*41. 试讨论下列无界区域上二重积分的收敛性：(1)(2),D为全平面；(3)当 时当 时解：（1） 故当m>1时，原积分收敛，当m1时发散。（2）由于被积函数是正的，并且关于x轴和y轴都对称，故由于,故积分当p>1时收敛，p<1时发散，p=1时显然也发散，因此.同理有：.由此可知仅当p>1且q>1时收敛，其他情形均发散。(3)由0<m<|(x,y)|M,可知积分与积分同时收敛同时发散。由于被积函数是正的，故由于，当0y1时，有 (若p0), (若p<0),故 (若p0),若p<0，则有相反的不等式。由于,故积分当时收敛，时

25、发散，而时，由知积分也发散。由此可知：积分，从而积分当时收敛，当时发散。*42. 计算积分解：由于而收敛，故收敛，从而，采用极坐标有：*43. 试讨论下列无界函数的二重积分的收敛性：(1);(2)解：(1)故当m<1时，原积分收敛，当m1时，原积分发散。（2）由于x2+xy+y2= (当(x,y)(0,0)时)故 (当(x,y)(0,0)时)再注意到广义重积分收敛必绝对收敛，即知积分与同敛散。由于(当(x,y)(0,0)时)，采用极坐标即得而为常义积分，其值为有限数，而由此可知：原积分当p<1时收敛，当p1时发散。44. 设A（0，0，a）为球体x2+y2+z2R2内一质量为1的质

26、点（0<a<R，球体密度为常数）,求球对A的吸引力。解:45. 计算下列对弧长的曲线积分：（1），其中L为圆周x=a cos t, y=a sin t (0t2);(2),其中L为连接（1,0）及（0，1）两点的直线段；(3),其中L为由直线y=x及抛物线y=x2所围成的区域的整个边界；(4)，其中L为圆周x2+y2=a2，直线y=x及x轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界；（5），其中为曲线x=etcost,y=etsint,z=et上相应于t从0变到2的这段弧；（6），其中为折线ABCD，这里A，B，C，D依次为点（0,0,0）,(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)；(7)，其中L为摆线的一拱x=a(t-sint)，y=a(1-cost)(0t2)；（8），其中L为曲线x=a(cost+tsint),y=a(sint-tcot), (0t2)；（9），其中为螺旋线，x=acost, y=asint, z=at (0t).解：（1）.(2)L的方程为y=1-x（0x1）.(3)L由曲线L1：y=x2(0x1),及L2：y=x(0x1)组成（如图1