电磁场导论恒定电场

1、第三章恒定电场1第三章第三章 恒定电场恒定电场3-1 导电媒质中的恒定电场导电媒质中的恒定电场 3-2 恒定电场的边值问题恒定电场的边值问题 3-3 静电比拟静电比拟 3-4 电导与接地电阻电导与接地电阻 首先介绍维持恒定电场的电源及其局外场强； 然后重点讨论电源外导电媒质中恒定电流场的基本方程微分形式E=0和J=0； 引入恒定电场电位及其拉普拉斯方程2=0； 通过静电比拟的方法介绍镜像法、部分电导和接地电阻。第三章恒定电场23.1 导电媒质中的恒定电场导电媒质中的恒定电场3.1.1 恒定电源与局外场强恒定电源与局外场强恒定电流恒定电源恒定电场恒定电荷电源中将正负电荷分离的力fe称局外力U E

2、eE作用于单位正电荷上的局外力,设想为等效场强，称局外场强 Ee= fe/q , 其方向由电源负极指向正极电源电动势lEde在电源极板和导体表面聚集的电荷产生库仑场强 E第三章恒定电场3lleleddd)(0lElElEE在电源内部中，既有库仑场强，又有局外场强在电源外导电媒质中，仅有库仑场强l0dlE恒定电场基本方程之一3.1.2 传导电流密度与电场强度传导电流密度与电场强度在线性、各向同性导电媒质中，取一段元电流管JCdSdl电阻dR=dl/dS电流dI=JCdS两端电压J = E欧姆定律的微分形式因此，得lE ddUlJSJd)dd(ddddCCSlRIU第三章恒定电场4若单位体积内有N

3、个电子，则JC = v = N（e）v电场力对每个电子所作的功dAe = fdl = （eE） （v dt） 元体积dV内的（NdV）个电子移动需要做功 dA =（NdV）dAe = NdV（e E v dt） = ( N e v) E dVdt = JC E dVdt功率（体）密度 EJ dVdtdAdVdtdAdVdPp焦耳定律的微分形式。电路理论P=I2R就是由此而得。第三章恒定电场53.1.3基本方程及其微分形式基本方程及其微分形式恒定电场应分别考虑两种情况： 导电媒质中的恒定电场和载流导体外的恒定电场。 电源外部 0d llE由恒定情况下的电荷守恒原理 S0dSJ恒定电流连续性方程

4、基本方程的微分形式 电流线J是无头无尾的闭合曲线导电媒质中恒定电场E仍是一个守恒场E = 0J = 0第三章恒定电场63.1.4 传导电流的衔接条件传导电流的衔接条件对于两种导电媒质分界面上P点 021SJSJnnJ1 n = J2 n 得由 0ldlESC0dSJ由 E1E1tE2tE212 12J1J1nJ2nJ21212021lElEttE1t = E2t 得nCtnCtJEJE2211由2121tgtg得第三章恒定电场73.2 恒定电场的边值问题恒定电场的边值问题导电媒质中的恒定电场满足拉普拉斯方程 不同导电媒质分界面上的衔接条件 1 = 2 nn2211由E = 0E= 均匀介质 =

5、0 2=0 由0)(EEEJJ =E第三章恒定电场8解：解：由于轴对称性，只与r有关。2=0展开简化为 0)(1rrrr不定积分求解 rCr1例例3-1 同轴电缆内外导体半径分别为R1和R2。求： 1）介质中的电位； 2）泄漏电流密度J； 3）单位长度的泄漏电流I。 U21lnCrC得设外导体r=R2处=00=C1lnR2+C2U=C1lnR1+C2 内导体r=R1处=U第三章恒定电场9联立求解，得 121lnRRUC2122lnlnRRRUC 电位 rRRRURRRUrRRU21221212lnlnlnlnlnlnrrRRrUreeE12lnrRRrUeEJ12ln1212ln2)2(lnd

6、RRUrRRrUSISJ单位长度泄漏电流第三章恒定电场103.2 .2 分界面上的自由面电荷分界面上的自由面电荷在两种非理想介质分界面上nnnnEEDD112212可见，分界面上一般存在自由面电荷 。只有当参数满足1/12/2时，才有 =0。nnJJ21因111nnJE212nnJE nJ11122)(故nJ121210)(对于金属导体一般102 ，则 11+ + + + + + + + + + + + + 22J1nE1nJ2nE2n第三章恒定电场11例例3-2 已知铜1=5.8107S/m,铝2=3.82107S/m，介电常数均为102 ，铜中的J1=1A/m2穿过分界面时与法线的夹角1=

7、45。求：1）铝中J2的2=？ 2）分界面上=？J22？J1铝2 铜11450解：解：658. 0518. 11tan2所以 2 =tan-10.658=33.37。2) 由于 J1n=J1cos1= 1 cos45 = 0.707 （A/m2） 22079121210)/(1009. 6)1082. 38 . 582. 38 . 5(3610707. 0)(mCJn所以 227721tan1tan45tan5181108231075.1) 由于第三章恒定电场123.2.3 从从良导体进入不良导体良导体进入不良导体设两种导电媒质的电导率12 2121tantan电流从良导体进入不良导体时可看为

8、与分界面垂直，分界面可近似地看作等位面。20J2J1190012例例3-3 铁1=5106S/m，土壤2=102S/m，已知铁中电流J1与法线的夹角1=895950，求土壤中电流J2与法线夹角。 解：解：根据2121tantan82610510105当1=895950时，可得 2=8可见，只要 190，tan1，则 tan 20，20 。第三章恒定电场133.2.4 载流导体与理想介质载流导体与理想介质由分界面衔接条件 J1n=J2n=0。可知，载流导线内电流和场强只有切线分量 J1 = JtE1= E1t = J1t / 1载流导体外的理想介质中，没有电流 J2=0 ,存在电场E2D2 =

9、0 E2 = 0 22 = 0 由于 ，载流导体不是等位体，沿线两点间的电位差dU = E1dl = J1 (R0dl) 也就是说，无论导线如何弯曲，电流线和电力线同样弯曲。第三章恒定电场14 实际工程中，由于1很大, E1t很小。挨导体表面的E2t，比E2n小得多，往往可以忽略不计。因此，导体表面的边界条件可认为与静电场相同，其解答也与相应的静电场问题相同。 因此，载流导体表面场强不垂直于导线表面。rztJeeE2112 E2 I U1 图 3-8 + + + + + + + U2 双线传输线周围的E线载流导体外的电场强度E2t = E1t= J1t/1由导体内部电流决定E2n=D2n/2=

10、/2由导体表面电荷决定第三章恒定电场153.3 静电比拟静电比拟 两类场的基本方程有相似的形式 两类场的基本物理量有对应关系电源外导电媒质中恒定电场电源外导电媒质中恒定电场与无电荷区域静电场的比较与无电荷区域静电场的比较 在一定条件下，可以把一种场的计算或实验结果，推广应用与另一种场，这种方法称为静电比拟。第三章恒定电场16 表 3-1 无电荷区的静电场 电源外的恒定电场 基本方程或重要关系式 物理量 物理量 基本方程或重要关系式 E = 0 E E E = 0 D = 0 D J J = 0 D = E J = E E = 2 = 0 E = 2 = 0 BAdUlE U U BAdUlE

11、SdqsD q I SdIsJ UqC C G UIG 电源外导电媒质中恒定电场与无电荷区域静电场的比较电源外导电媒质中恒定电场与无电荷区域静电场的比较第三章恒定电场17 方程形式一样，若边界条件也一样，只要已知其中一个场的解答，就可以得到另一个场的解。 例如，内外半径分别为R1和R2的同轴电缆，外加电压U。 若内外导体间填充介质，则是静电场问题； 若填充导电媒质，则是恒定电场问题。 由于两者的形状一样，边界条件也相同， 则两种场具有许多相同之处：1）两种场的E线有相同的场图 rRRrUeE12ln2）两种场的等位面分布一致 rRRRU212lnln第三章恒定电场183）静电场的D线与恒定电场

12、的J线分布一致rRRrUeED12lnrRRrUeEJ12ln4）单位长度的电容与单位长度的电导有对应关系00GC120ln2RRC120ln2RRG第三章恒定电场19恒定电场的镜像法恒定电场的镜像法IIrrrr2121IIrrr2122 如第一种媒质1是土壤，第二种媒质是空气2=0，则I=I，I”=0 I 11 1 1 I I J1 （a） 图 3-10 （b） 图 3-9 I 1 2 （a） I I 1 1 （b） 2 2 I （c） J1 J2 第三章恒定电场203.4 电导与接地电阻电导与接地电阻 3.4.1 电导电导 定义定义流经导电媒质的电流与导电媒质两端流经导电媒质的电流与导电媒

13、质两端电压之比，电压之比，UIG 计算电导一般有三种方法：计算电导一般有三种方法：1）假设电流IJEUG2）假设电压EJIG3）利用静电比拟C / G = / 第三章恒定电场21解：解：导电片内满足2 = 0，取圆柱坐标系，可知电位只与有关，简化为 022通过不定积分求解，得通解 21CC例例3-4 图示扇形导电片电导率为，内外弧面半径分别为R1和R2 ，两端平面夹角为 ，厚度为h ,，求：沿圆弧方向的电导。 h R1 J R2 U 例 3-4 题图 设=0处=0，则C2=0；由=处=U，得C1=U/，则 U第三章恒定电场22电场强度 eeErU电流密度 eEJrU电流 12ln)d(21RR

14、hUrhrUdsJIRRS电导 12lnRRhUIG3.4.2 多电极系统的部分电导多电极系统的部分电导 三个及以上良导体电极组成的系统，任意两个电极之间的电流不仅要受到它们自身间电压的影响，还要受到其他电极间电压的影响。电压与电流的关系，不能再仅用一个电导来表示，需要引入部分电导部分电导的概念。 第三章恒定电场23 线性、各向同性导电媒质中有（n+1）个电极，它们的电流分别为I0、I1、Ik、In，且有关系I0+I1+Ik+In=0 电流与电压的关系，用线性方程组表示为 nnkkUGUGUGUGI1111121210101nnkkUGUGUGUGI222220222121202211nnnn

15、knknnnnnUGUGUGUGIGkj称为多电极系统中电极间的部分电导，称为多电极系统中电极间的部分电导，G10、G20、Gk0、Gn0称为自有部分电导G12、G23、Gkn、等称为互有部分电导。第三章恒定电场24部分电导只与电极的几何形状、尺寸、相互位置及导电媒质的电阻率有关，其数值都是正值，且Gkj=Gjk。 在(n+1)个电极组成的多极系统中，共有n(n+1)/2个部分电导。 部分电导与静电场中的部分电容形成相互比拟的关系。 1# 2# 3# G12 G23 G31 G10 G20 G30 图 3-11 3.4.3 接地电阻接地电阻 保护接地保护接地为了保护工作人员及电气设备的安全而接

16、地；工作接地工作接地以大地为导线或为消除电气设备导电部分对地电压的升高而接地。工程上常将电气设备的一部分与大地联接，叫做接地。第三章恒定电场25接地体接地体为了接地而埋入地下的金属导体系统接地线接地线将电气设备与接地体连接的导线接地装置接地装置接地体与接地线的总称。 接地电阻接地电阻电流由接地装置流入大地，再流向另一接地体或向远处扩散所遇到的电阻。包括： 接地线本身的电阻 接地体本身的电阻 接地体与大地之间的接触电阻 两接地体之间大地的电阻两接地体之间大地的电阻 接地电阻主要是指大地的电阻接地电阻主要是指大地的电阻 。 常把接地体等效为一个半径为R的导体球电极，并以无限远处作为零电位点，接地体

17、电位R与接地体电流I的比值，即为接地电阻。 第三章恒定电场26J=I/4r2 ， E=J/=I/4r2 RIdrrIdlERRR442接地电阻 RIRR41hJ2）接地体不是深埋地下，要考虑地面对电流的影响hhII1）对于深埋的接地体，可不考虑地面影响 I第三章恒定电场27用镜像法求解 hIRIR2443）紧靠地面的半球形接地体，应用镜像法得到一个孤立球 图 3-14 R 接地电阻)211(41hRIRR由于孤立导体球的电容 C=4RRRR21412由静电比拟可得，半球体的接地电阻第三章恒定电场283.4.4 跨步电压跨步电压 假设半球形接地体的半径为R，由接地体流入大地的电流为I，则在距球心r远处的电流密度22rIJ电场强度22rIJEB A (r) lr b UBA 图3-15 R 任一点电位 rrrIdrrIdlEr22)(2人的两脚A、B之间的跨步电压 )lbl(IdrrIUlblBA11222第三章恒定电场29作作 业业3-2 两同心导体球内外