基本不等式与其应用知识梳理与典型练习题(含答案)

1、精品文档.基本不等式及其应用1基本不等式ab若 a>0, ，b>0，则2 ab，当且仅当时取 “”这一定理叙述为：两个正数的算术平均数它们的几何平均数注：运用均值不等式求最值时，必须注意以下三点：(1) 各项或各因式均正；（一正）(2) 和或积为定值；（二定）(3) 等号成立的条件存在：含变数的各项均相等，取得最值 （三相等）2常用不等式(1) a2b22ab ( a，bR) (2) aba ba, b02注：不等式 a2 b2和 ab ab 它们成立的条件不同，前者只要求、2ab2ab 都是实数，而后者要求 a、b 都是正数 . 其等价变形： ab（ ab ） 2.2(3) ab

2、 a b2( a，bR) 2b a(4) ab2( a，b 同号且不为 0) a b222(5)ab2( a， b R).2（6） a2b2ab2a,b 022ab11ab(7)abc;a,b, c0(8)； a, b, c03利用基本不等式求最大、最小值问题(1) 求最小值： a>0， b>0，当 ab 为定值时， ab， a2b2 有，即 ab， a2 b2.(2) 求最大值： a0，b0，当 ab 为定值时， ab 有最大值，即；或 a2b2 为定值时， ab 有最大值 ( a 0，b0) ，即 .精品文档word 范文.设a，b ，且ab ，则a b的最小值是()R322A

3、.6B.42C.22D.26解：因为 2a 0，2b0，由基本不等式得2a2b22a·2b 22a b 42，3当且仅当 ab 2时取等号，故选B.若 a0，b0，且 a2b 2 0，则 ab 的最大值为 ()1A. 2B.1C.2D.4解： a 0，b 0，a 2b2，a2b222ab，即 ab1. 当且仅当 a 21 1， b 2时等号成立 . 故选 A.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和 b a b，其全程的平均时速()为 v，则 ()A. av abB. v abC.abvabD.ab2v2解：设甲、乙两地之间的距离为s.sababab，v222s sab2 ab.aba

4、b2ababa2a2 a2又 v aaba ab a b 0， va. 故选 A.( 2014·上海 ) 若实数 x，y 满足 xy 1，则 x22y2 的最小值为 _.解：由xy 22x22，当且仅当 x±4故1得 xy22时等号成立 .2x22.填 2 2m，n 在直线xy2m2n点(1位于第一象限内的图象上运动， 则loglog)的最大值是 _.n ，mn ，解：由条件知，m ，001mn 21所以 mn24，1当且仅当 mn2时取等号，word 范文.1log 2mlog 2nlog 2mnlog 242，故填 2.类型一利用基本不等式求最值(1) 求函数 y (

5、x 1) 的值域 .解： x 1， x10，令 mx1，则 m 0，且 y m 525 9，当且仅当 m2 时取等号，故 ymin9.又当 m或 m0 时， y，故原函数的值域是9 ， ) .(2) 下列不等式一定成立的是 ()A.lg>lg x( x>0)B.sinx 2( xk，kZ)C.x2 12| x| ( xR)D.2 1>1( x R)x 121121解： A 中， x x( x 0) ，当 x 时， x x.4241B 中， sin xsin x2(sin x (0 ，1) ；1sin xsin x 2(sin x 1，0) .C中， x2 2| x| 1 (|

6、 x| 1) 2 0( xR) .1D中， x2 1(0 ，1( xR) . 故 C 一定成立，故选 C.点拨：ax2 bx c这里 (1) 是形如 f ( x) 的最值问题，只要分母 xd 0，都可以x de将 f ( x) 转化为 f ( x) a( xd) x d h( 这里 ae 0；若 ae0，可以直接利用单调性等方法求最值 ) ，再利用基本不等式求其最值.(2) 牢记基本不等式使用条件 一正、二定、三相等，特别注意等号成立条件要存在 .t 24t 1(1) 已知 t 0，则函数 f ( t ) 的最小值为 .tword 范文.t2t11t ， ft4解：)t ，0(tt42t 时，

7、 ft.当且仅当1)min ，故填(22(2) 已知 x 0， y 0，且 2x8y xy0，求：( ) xy 的最小值；( ) x y 的最小值 .解： ( ) 由 2x8yxy 0，得 1，又 x0，y0，则 1 2，得 xy 64，当且仅当 x4y，即 x 16，y4 时等号成立 .( ) 解法一：由 2x8y xy0，得 x， x0， y 2，则 x yy ( y2) 1018，当且仅当 y2，即 y6，x12 时等号成立 .解法二：由 2x8yxy 0，得 1，则 x y· ( xy) 10 102 18，当且仅当 y6，x 12 时等号成立 .类型二利用基本不等式求有关参

8、数范围若关于 x 的不等式 (1 k2 ) xk44 的解集是 M，则对任意实常数k，总有()A.2 M，0M B.2?M，0?MC.2M，0?MD.2?M，0M解法一：求出不等式的解集：(1 k2) xk44? x ( k2 1) 2? x22( 当且仅当 k2 1 时取等号 ) .解法二 ( 代入法 ) ：将 x2，x0 分别代入不等式中，判断关于k 的不等式解集是否为 R.故选 A.点拨：一般地，对含参的不等式求范围问题通常采用分离变量转化为恒成立问题，对于“恒成立”的不等式，一般的解题方法是先分离然后求函数的最值 . 另外，要记住几个常见的有关不等式恒成立的等价命题：(1) af (

9、x) 恒成立 ? a f ( x) max； (2) a f ( x) 恒成立 ? af ( x) min；(3) af ( x) 有解 ? a f ( x) min； (4) a f ( x) 有解 ? af ( x) max.已知函数 f ( x) ex e x，其中 e 是自然对数的底数 . 若关于 x 的不等式word 范文. xmf( x) e m1 在 (0 ， ) 上恒成立，求实数m的取值范围 .令t ex(x0)，则 t ，且 m 2t 11对任意 t 11tt 11t 1t 11成立 .t 1 2（t ）·1 ，111t 11 3t 11113，t 1 t 11当且

10、仅当 t 2，即 xln2 时等号成立 .1故实数 m的取值范围是， 3 .类型三利用基本不等式解决实际问题围建一个面积为 360 m2 的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙 ( 利用旧墙需维修 ) ，其它三面围墙要新建， 在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2 m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为 45 元/m，新墙的造价为 180元 /m，设利用的旧墙的长度为 x( 单位：元) ，修建此矩形场地围墙的总费用为 y( 单位：元).(1) 将 y 表示为 x 的函数；(2) 试确定 x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.解： (1) 如图，设矩形的另一边长为am，则

11、y 45x 180( x2) 180·2a225x360a360.由已知 xa，得 a360，360x所以 yx3602360(x2).225x(2) x ，x36022×2，0225x225360108003602 y225x x 36010440，当且仅当x3602，即 x24时等号成立 .225x答：当 x24 m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440 元.word 范文.如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽 2 m的无盖长方体的沉淀箱，污水从 A 孔流入，经沉淀后从 B 孔排出，设箱体的长度为 am，高度为 bm，已知排出的水中该杂质的质量分数

12、与 a，b 的乘积 ab 成反比 . 现有制2箱材料 60 m，问 a，b 各为多少 m时，经沉淀后排出的水中该杂质的质量分数最小 ( A，B 孔面积忽略不计 ) .解法一：设 y 为排出的水中杂质的质量分数，k根据题意可知： yab，其中 k 是比例系数且 k 0.依题意要使 y 最小，只需 ab 最大 .由题设得： 4b2ab2a60( a0，b0) ，即 a 2b30 ab( a 0， b 0) .a2b22ab，2· ab ab，得ab3.2a3002，此时得 a ，b .当且仅当b 时取“”号， ab 最大值为故当 a2b1863，3 m时经沉淀后排出的水中杂质最少.6 m

13、30 ak解法二：同解法一得 b a2 ，代入 y ab求解 .若 a ，则 a的最小值是()11A.2B. aC.3D.a ，当 a时等号成立 . 故解：a ，a211121213选 C.2. 设 a，b R， a b，且 ab2，则下列各式正确的是 ()A.ab a2b2B.ab a2b2 aba2b2D.ab a2b211212C.122解：运用不等式 ab ab2? ab 1 以及 ( ab)2 2( a2b2 ) ? 2a2 b2 ( 由2ab，所以不能取等号得，22于)ab ab，故选A.12.函数 fx在，2)上的最小值是()3( )(A.0B.1C.2D.3word 范文.解：

14、当 x2 时， 2x0，因此 f ( x) (2 x) 2· 2，当且仅当 2 x 时上式取等号 . 而此方程有解 x1( ， 2) ，因此 f ( x) 在( ， 2) 上的最小值为 2，故选 C.3m的无盖长方体容器，已知该容器的底要制作一个容积为 4m，高为14 ()面造价是每平方米20 元，侧面造价是每平方米10 元，则该容器的最低总造价是()A.80 元B.120 元C.160 元D.240 元解：假设底面的长、宽分别为xm， m，由条件知该容器的最低总造价为y 8020x，当且仅当底面边长x2时，总造价最低， 且为160元.故选160C.下列不等式中正确的是()5baba

15、A. 若a，b ，则 2· 2RababB. 若 x，y 都是正数，则 lg xlg y 2 lg x· lg y若x44C.，则 x 2x· 4<0xxD.若x ，则x x2x· x20a2222x 与y解：对于与 b 可能异号，A错；对于，lg可能是负数，B错；A，B lg对于 ，应是 x4（ x）44错；对于 2（ x）· ，CCxxx4，若 x ，则x xx· x2成立x0时取等号). 故选D.D02 22 2 2(6. () 若 log4 (3 a 4b) log2，则 ab 的最小值是 ()A.62B.72C.64D

16、.7 4解：因为 log 4 (3 a4b) log 2，所以 log 4(3 a4b) log 4( ab) ，即 3a4bab，且即 a0，b0，所以 1( a 0， b 0) ，ab( a b) 7 72 7 4，当且仅当时取等号 . 故选 D.7. 若对任意 x 0， a 恒成立，则 a 的取值范围是 .解：因为 x0，所以 x 2( 当且仅当 x1 时取等号 ) ，所以有，即的最大值为，故填a.8. () 设 mR，过定点 A 的动直线 xmy0 和过定点 B 的动直线 mxym 3 0 交于点 P( x，y) ，则 | PA| ·| PB| 的最大值是 _.解：易知定点

17、A(0 ，0) ，B(1 ，3) .word 范文.且无论 m取何值，两直线垂直 .所以无论 P 与 A，B 重合与否，均有| PA| 2| PB| 2| AB| 2 10( P 在以 AB为直径的圆上 ) .所以PA·PB1PA 2PB 2) .| | |2(|5当且仅当PAPB 5时，等号成立.故填 5.| |已知 x，求 x(4x的最大值；9 (1)03)(2) 点( x，y) 在直线 x2y3 上移动，求 2x 4y 的最小值 .解： (1) 已知 0x， 03x 4. x(4 3x) (3 x)(4 3x) ，当且仅当 3x43x，即 x时“”成立 .当 x时， x(4 3

18、x) 取最大值为 .(2) 已知点 ( x，y) 在直线 x2y 3 上移动，所以 x 2y3.2x 4y 22 2 4.当且仅当即 x， y时“”成立 .当 x， y时， 2x 4y 取最小值为 4.10. 已知 a 0， b 0，且 2ab1，求 S24a2b2 的最大值 .解： a0，b 0， 2ab1， 4a2 b2 (2 ab) 24ab14ab. 且 12ab2，即， ab， S24a2 b2 2(1 4ab) 2 4ab1. 当且仅当 a， b时，等号成立 .11. 如图，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成 .(1) 现有可围 36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？2(2) 若使每间虎笼面积为24 m，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？解： (1) 设每间虎笼长为xm，宽为 ym，则由条件，知4x6y