高中数学《函数复习（高三）》教学课例分析

1、高中数学函数复习（高三）教学课例分析如何改善教学方法，提高复习效益，是高三数学教师面临的共同问题。笔者尝试在高三复习课中，遵照贵州师大吕传汉、汪秉彝两教授提出的数学“情境问题”教学模式的精神，利用学生熟悉的素材创设数学情境，激励、启发、指导学生亲身经历提出问题、解决问题、回顾问题的全过程，对激发学生复习的积极性和主动性，落实学生的主体地位，强化“三基”和培养能力，都起到了十分积极的作用。下面以函数一节的复习为例作一介绍。一、创设情境创设数学情境必须从学生已有的知识和经验出发，利用发生感兴趣的或熟悉的材料。情境要接近学生的最近发展区，能引起学生广泛的联想和认知冲突。我以学生熟悉的挂历为素材创设了

2、如下情境：某工艺美术厂拟设计如图所示的一幅宽为x米，长为y米的矩形挂历，矩形上部为正方形画面；下部印制当月日历，所需面积为米2。二、提出问题数学问题形式多样，对同一数学情境，从不同的角度，不同的层面可以提出许多不同的问题，教师应根据不同的教学需要引导学生提出问题。笔者以为，在高三复习课中应把引导学生提出基本问题作为提出问题的重点。一方面，基本问题种类不多，多数学生均能完成，因而具有较强的可操作性；另一方面，基本问题正是基础知识、基本技能、基本方法最良好的载体，这与高考重点考察“三基”的要求是一致的。下面是启发学生提出问题大致过程：师：为了处理和利用（情境）材料提供的信息，我们现在需要先确定一下

3、应研究的问题，请同学们大胆提出问题。生1：函数是研究运动变化最有力的工具，不知x与y之间是否具有函数关系？如果有的话，能否将y表示为x的函数？教师明确并板书：问题2：求出问题1中函数的定义域。问题3：求出问题1中函数的值域。生3：解析式、定义域、埴域是从数的角度来刻画函数，我想从形角度来刻划该函数，即画出该函数的图像。教师明确并板书。问题4：作出问题1中函数的图像。师：在上述四个问题的基础上还能提出哪些问题呢？生4：函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、最值，还有反函数。教师表扬生4，明确并板书：问题5：研究问题1中函数的单调性。问题6：研究问题1中函数的奇偶性。问题7：研究问题1中函数的周期性

4、。问题8：研究问题1中函数的最值。问题9：求出问题1中函数的反函数。三、解决问题“实践出真知”，要让学生真正掌握知识，培养能力，必须创造条件，放手让学生去做，在做中体会，在做中巩固，在做中提高，惟有如此，“三基”才能得到真正意义上的落实。我分三步来完成该环节的教学：第一步是让学生独立解决有关问题；第二步是学生在组内（相邻8人一组）交流解法结果（许多错误和缺点在交流过程中被发现、矫正）；第三步是小组报告，由小组派代表报告各题的解法、答案及典型错误。经过独立解决、组内交流、小组报告，大家进一步熟悉和掌握解决各类基本问题的常用方法，如定义法、数形结合法、均值法、单调法等，对常见的错误有了更深刻的认识

5、和警惕，如忽视定义域导致的奇偶性判断错误，求值域及最值时忽视等号成立的条件等。下面是小组报告中的几个片断：片断1师：请第一小组报告问题1的解。第一小组代表：由正方形与小矩形的面积之和等于大矩形的面积得：，解得：。（没有异议）片断2师：请第二小组报告对问题2的解。第二小组代表：我们中有人开始只考虑了分母不能为0这一限制，得到定义域是x|x0的错误答案。经过讨论后大家统一了认识，求函数的定义域时，不仅应保证数学运算本身有意义，还应该考虑实际意义的限制。在本题中，x是挂历的宽度，必须为正，所以该函数的定义域为x|x0。（发言理由充分，结论正确）片断3师：请第三小组报告对问题3的解。第三小组代表：我们

6、用判别式法求得函数的值域是师：请你上来把过程写在黑板上。（第三小组代表上台板书）解：由 得=，解得或（舍）函数的值域是第四小组代表：我们用的是均值法，答案也是。师：请你也上来把答案写在黑板上。（第四小组代表上台板书）解：x0，当且仅当时等号成立。函数的值域是。师：大家对两种解析法有何评价？（学生开如议论，因受第二种解法的启发，很快发现问题所在。）众生：第三小组的解法还应检验等号成立的条件是否满足，第四小组的解法完全正确。师：大家的意见很正确，求值域时，无论用什么方法，都不能忽视等号成立的条件。我想问一下，如果等号万一不能成立的话，怎么办呢？众生：还可以考虑用函数的单调性。师：对，单调性是求函数

7、值域的基本的方法之一，请大家下课后用单调法求出该函数的值域。片断4师：请第五小组报告问题5的解答。第五小组代表：我们先从函数的图像上观察到函数在区间（0，）是上减函数，在区间，+上是增函数，然后根据定义进行了证明。师：大家都是这么做的吗？都证明了吗？没有证明的同学下课后一定要补上证明过程。借助图形发现数学事实的确是一种很有效的方法，但要注意的是，几何直觉不能代替逻辑证明，我们提倡的是数与形的有机结合，即数形结合法。生4：我记得老师曾介绍过一种用定义求单调区间的方法，但因不大理解，这次没有用，请老师再讲一下，好吗？师：确定有这种方法，这种方法的关键是通过对差：的分析，找出决定差的符号的关键因式，

8、然后通过关键因式找到分界点，实现对定义域按单调性的划分，得出单调区间，这是研究函数单调性的基本方法。以本题为例。解：设、，且x1x2。则 由假设有 9x2x10，x2-x20f(x2)-f(x1)的符号9x2x1-1（关键因式）决定。令X0（定义域）则有（关键点）当0x1x2 时，有9x2x1-10，进而有f(x2)-f(x1) 0f(x)在区间（0,）上是减函数。当x2时，有9x2x1-10，进而有f(x2)-f(x1) 0f(x)在区间，+上是增函数。四、回顾反思没有回顾总结就难以提高，抓住机会，及时对重要知识、成功的解题方法和经验等从数学思想方法的角度进行总结、提炼、反思，把感性认识上升

9、为理性认识，同时提出并解决一些探究性问题，对提高学生的认知水平、完善认知结构、掌握解题策略、提高解题能力，具有十分重要的作用。以下是师生合作对有关问题进行回顾的几个片断：片断师：解析式是函数对应关系的具体体现，它揭示了自变量与函数值之间的本质联系。求解析式的关键是建立包含两个变量的等式，请大家说一下求函数解析式的常用方式。众生：直接法、待定系数法、判别式法、单调性法等。片断2师：定义域是函数的三要求之一，具有基础性，请大家就有关求定义域的问题发表意见。生5：求定义域的基本方法是不等式法，列不等式（组）时，既要保证数学运算有意义，还有考虑保证问题有意义。生6：在对应法则不变的情况下，改变函数的定

10、义域，其图像和性质均可能发生变化，如y=x+与，是两个不同的函数，它们的值域、图像和性质有许多不同。生7：解方程或不等式时，忽视函数的定义域，可能缩小或扩大解集，得出错误的结果。片断3师：值域是函数值的集合，是函数的三要素之一，依赖于函数的定义域及时对应法则；最值是函数的重要性质，依赖于值域，两者在概念上互相 区别，在解法上互相联系，值域问题因类型不同有多种解决，大家都知道有哪些类型和解法吗？众生 ：二次函数型用配方法：二次方程型用判别方法：正数型用均值法；原则上单调法可用于求任何函数的值域；其还有配凑法、反解法、换元法等。片断4师：单调性是函数重要的性质，常用数形结合法和定义法研究函数的单调性。大家能列举出单调性的一些重要运用吗？众生：解方程、解不等式、比较大小（或证不等式）、求函数的值域（或最