导数（关永强）

1、 第五章第五章 导数和微分导数和微分1 1 导数的概念导数的概念一、导数的概念一、导数的概念首页首页二、导函数二、导函数 三、导数的几何意义三、导数的几何意义平凉电大崇信工作站平凉电大崇信工作站 制作：关永强制作：关永强00( )()f xf xkxx 首页首页问题问题1 1 切线的斜率切线的斜率 如图如图5-1所示所示, ,曲线曲线y=f( (x) )在其上一点在其上一点P( (x0 0, ,y0 0) )处的处的切线切线PT是割线是割线PQ当动点当动点Q沿此曲线无限接近于点沿此曲线无限接近于点P时时的极限位置，的极限位置， 由于割线由于割线PQ的斜率为的斜率为 （1 1）因此当因此当xx0

2、 0 时如果的极限存时如果的极限存在，在，则极限则极限 000( )()limxxf xf xkxx 即为切线即为切线PT的斜率的斜率. .1.1.引言引言一、导数的概念一、导数的概念为质点在时刻为质点在时刻t t0 0的瞬时速度的瞬时速度 . .00( )( )s ts ttt 000( )()limtts ts ttt 首页首页问题问题2 2 瞬时速度瞬时速度设一质点和直线运动设一质点和直线运动, ,其运动规律为其运动规律为s=s(t), 若若t0为某一确定的时刻为某一确定的时刻,t为邻近于为邻近于t0的时刻的时刻,则则 是质点在时间段是质点在时间段 t0 0, , t(或或 t , ,t

3、0 0)上的平均速度上的平均速度, , 若若tt0 0时平均速度时平均速度v的极限存在的极限存在, ,则称极限则称极限 首页首页以后我们将会发现以后我们将会发现, ,在计算诸如物质比热、电流强度、在计算诸如物质比热、电流强度、线密度等问题中线密度等问题中, , 尽管它们的物理背景各不相尽管它们的物理背景各不相同同, ,但最终都归结于讨论形如但最终都归结于讨论形如(2)(2)式的极限式的极限. . 上述两个问题中，前一个是几何学已知曲线求上述两个问题中，前一个是几何学已知曲线求它的切线的问题，后一个是运动学已知运动规律求它的切线的问题，后一个是运动学已知运动规律求速度的问题，速度的问题， 这两个

4、问题与导数概念直接相联系的，这两个问题与导数概念直接相联系的，它们是由德国数学家莱布尼茨它们是由德国数学家莱布尼茨( (Leibniz) ) 和英国数和英国数学家牛顿学家牛顿( (Newton)分别在研究几何学和物理学过程分别在研究几何学和物理学过程中建立起来的，中建立起来的， 但是都可以归结为形如（但是都可以归结为形如（1 1）、（）、（2 2）这种类型的极限这种类型的极限. . 若极限若极限 （3 3）函数函数f在点在点x0 0处的导数处的导数，记作，记作 . .0()fx 000( )()limxxf xf xxx 首页首页存在，则称函数存在，则称函数f在点在点x0 0处可导，并称该限为

5、处可导，并称该限为定义定义1 1 设函数设函数y= =f( (x) )在点的某邻域内有定义，在点的某邻域内有定义，2.2.定义定义 导数导数 为在为在x0 0处关于处关于x的变化率的变化率. .比值比值 的极限的极限， ,则（则（3 3）式可）式可 改写为改写为 我们称我们称 为函数关于自变量的为函数关于自变量的 所以，导数表示的是函数增量所以，导数表示的是函数增量 若（若（3 3）（或（）（或（4 4）式极限不存在，则）式极限不存在，则称在点称在点x0 0处不可导处不可导. .000,()()xxxyf xxf x 00000()()limlim()xxf xxf xyfxxx y x 0(

6、)fx yx 首页首页yx 若令若令 与自变量增量与自变量增量平均变化率（又称差商），平均变化率（又称差商），（4 4）试问试问 与与 而而 是常数是常数 的导数的导数. . 若函数若函数 在点在点 可导，可导，( )f x0 x0()fx 0()fx 0( ()f x 0( ()f x ( )f x0()f x首页首页有何区别？有何区别？解答解答是函数是函数 在点的导数值，在点的导数值， 问题问题 由此知道抛物线由此知道抛物线 在点（在点（1 1，1 1）的切线斜率为）的切线斜率为 ， 例例1 1 求函数求函数 在点在点x=1=1处的导数，并求曲线在处的导数，并求曲线在点（点（1 1，1 1

7、）处的切线方程）处的切线方程. . 所以切线方程为所以切线方程为200(1)( )(1)1(1)limlimxxfxf xxfxx 2002limlim(2)2xxxxxx 2yx (1)2kf 12(1)21yxyx 即即首页首页2( )f xx 3. 导数应用例题导数应用例题 分析分析 根据前面讨论可知，我们可以通过导数的意根据前面讨论可知，我们可以通过导数的意义先求出切线斜率，义先求出切线斜率，解解 由定义求得由定义求得再利用点斜式直线方程给出切线方程再利用点斜式直线方程给出切线方程. .例例2 2 证明函数证明函数 在点在点 处不可导处不可导. .( )f xx 00 x 000( )

8、()limxxf xf xxx 0000()()limlimxxf xxf xyxx 首页首页 分析分析 要求证函数在一点处不可导，根据定义只要要求证函数在一点处不可导，根据定义只要能够说明能够说明不存在即可不存在即可. .证证 因为因为1,0()(0)01,0 xxfxfxxx 当当 时极限不存在，时极限不存在，0 x 所以所以f 在点在点 处不可导处不可导. .0 x 或或 此公式对此公式对 仍旧成立仍旧成立. .我们称（我们称（5 5）式为）式为 在点在点 的有限增量公式的有限增量公式, ,即即(5)(5)则则 ，于是当于是当 时，时， 是无穷小量，是无穷小量， 由由 在在点点 可导，可

9、导， 可知可知 ，即，即 ，设设 在点在点 可导，令可导，令 ，( )f x0 x0 x0()yfxx ( )f x00lim()xyfxx 00lim()0 xyfxx 0 x ()xx 0()()yfxxx 0 x ( )f x0 x首页首页4. 4. 可导与连续的关系可导与连续的关系 首先，我们介绍有限增量公式首先，我们介绍有限增量公式. .由公式（由公式（5 5）立即推得如下定理）立即推得如下定理. . 注注1 1 可导仅是函数在该点连续的充分条件，而不可导仅是函数在该点连续的充分条件，而不是必要条件，是必要条件， 如例如例2 2中的函数中的函数 在点在点 处处连续，但不可导连续，但不

10、可导. .定理定理5.15.1 若函数若函数f在点在点x0可导，可导，此命题可作为判断一个函数不可导的依据此命题可作为判断一个函数不可导的依据. .( )f xx 0 x 首页首页则在点则在点x0连续连续. .注注2 2 其逆否命题为：其逆否命题为：若函数若函数f 在点在点x0不连续，不连续， 则在点则在点x0不可导不可导. .证证 当当 时，由归结原理可得时，由归结原理可得 在在 处处不连续，不连续， 所以由定理所以由定理5.15.1注注2 2， 在在 处不可导处不可导. .例例4 4 证明函数证明函数 仅在点仅在点 处可导，其处可导，其中中 为狄利克雷函数为狄利克雷函数. .综上可知，仅在

11、综上可知，仅在 可导可导. . 2( )( )f xx D x 00 x ( )D x00 x fx fx0 xx 00 x Dx 0000limlim0.0 xxfxffxDxx 00 x 首页首页当当 时，由于时，由于 为有限函数，为有限函数，0 xx 由定义可得到由定义可得到记作记作 ， 若只讨论函数在点若只讨论函数在点 的右邻域（左邻域）的上变的右邻域（左邻域）的上变化化率，率，我们需引进单侧导数的概念我们需引进单侧导数的概念.类似地，我们可以定义左导数类似地，我们可以定义左导数0 x 0000limlim0 xxxf xf xyxx 0fx 000()( 0) ()limxxf xx

12、f xfx 首页首页定义定义2 2 设函数在点的某右邻域是有定义，若右极限设函数在点的某右邻域是有定义，若右极限存在，则称该极限值为存在，则称该极限值为f在点在点x0的的右导数右导数，右导数和左导数统称为单侧导数右导数和左导数统称为单侧导数. .5.5.单侧导数单侧导数定理定理5.25.2 若函数若函数 在点在点x0的某邻域内有定义，的某邻域内有定义，则则 存在的充要条件是存在的充要条件是如同左、右极限与极限之间的关系，我们有如同左、右极限与极限之间的关系，我们有都存在，且都存在，且 . . yfx 0fx 0fx 0fx 00fxfx 首页首页 与与因为因为 , ,例例5 5 设设 讨论讨论

13、 在在 处的左、右导数与导数处的左、右导数与导数. .所以所以f在在 处不可导处不可导. 1cos ,0,0.xxfxxx fx0 x 1cos00,0,1,0,xfxfxx 001cos0lim00lim 11xxfxf 00ff 0 x 首页首页解解 由于由于因此因此 试问函数在点处不可导通常有几种情形？试问函数在点处不可导通常有几种情形？首页首页解答解答（1 1）函数在该点不连续；）函数在该点不连续；（2 2）函数在该点的左右导数中至少有一个不存在；）函数在该点的左右导数中至少有一个不存在； （3 3）函数在该点的左右导数都存在，但是不相等）函数在该点的左右导数都存在，但是不相等. .问

14、题问题而而 是导函数的右极限是导函数的右极限. . 在学习之前，先给出这样一个问题，供大家思考：在学习之前，先给出这样一个问题，供大家思考： 问题问题 符号符号 与与 是否有区别？是否有区别？ 符号符号 表示函数在点表示函数在点x0处的右导数处的右导数, ,0()fx 0(0)fx 0(0)fx 0()fx 首页首页二、导函数二、导函数 解答解答 有区别有区别. .此时对每一个此时对每一个 都有都有f 的一个导数的一个导数 （或单侧（或单侧导数）与之对应导数）与之对应. . 这样就定义了一个在这样就定义了一个在I上的函数，上的函数，称为称为f在在I上的导函数，也简称为导数，上的导函数，也简称为

15、导数， 记作记作 ， 或或 ，即，即xI ( )fx,fydydx0()( )( )lim,xf xxf xfxxIx 首页首页 若函数若函数f在区间在区间I上每一点都可导（对区间端点，上每一点都可导（对区间端点，仅考虑相应的单侧导数），仅考虑相应的单侧导数）， 则则f 称为称为I上的可导函数，上的可导函数， 目前我们把目前我们把 看看作为一个整体，也可把它理解为作为一个整体，也可把它理解为 施加于施加于 的求的求导导运算，运算， 在物理学中导数在物理学中导数 也常用牛顿记号也常用牛顿记号 表示，而表示，而记号记号 是莱布尼茨首先引用的是莱布尼茨首先引用的. .yy dydxdydxddxy首

16、页首页 待到学过待到学过“微分微分”之后，我们将说明这个记号之后，我们将说明这个记号实际上是一个实际上是一个“商商”. . 相应上述和种表示导数的形式，相应上述和种表示导数的形式， 有地也写作相应上述和种表示导数的形式，有地也写作相应上述和种表示导数的形式， 0fx 有地也写作有地也写作00dyyxxxxdx 或或例例6 6 证明证明 1,nnxnxn sincos , cossin;xxxx 1loglog0,1,0 ,xe aaxx 1ln xx 首页首页（i） 为正整数；为正整数；（ii）（iii）特别特别 . .（）对于对于 ，由于，由于nyx 11221nnnnnnnnnxxxyxx

17、C xC xxCx 1122100111limlim.nnnnnnnxxnnnyyC xC xxCxxC xnx 首页首页因此因此证证 以及以及 是是 上的连续函数，因此得到上的连续函数，因此得到（）下面证第一个等式，类似地可证第二个等式，）下面证第一个等式，类似地可证第二个等式， 2sincossinsin22sin2cos22xxxxxxxxxxxx cos x(,) 00sin2(sin )limlimcoscos22xxxxxxxx 首页首页由于由于若若 ，且以，且以e e为底的自然对数常写作为底的自然对数常写作 ， log ()log1log (1)1log (1)aaaxxaxxx

18、xxxxxxx 011(log)limlog (1)logxxaaaxxxexxx ae ln x1(ln) xx 首页首页（iii）由于由于所以所以则由上式有则由上式有 函数在某一点不可导，它的导数可能函数在某一点不可导，它的导数可能是无限大，是无限大，三、导数的几何意义三、导数的几何意义即曲线在该点可能存在与即曲线在该点可能存在与x轴垂直的切线轴垂直的切线. .首页首页1.1.几何意义几何意义问题问题 若函数在某一点不可导，则曲线在该点不存在若函数在某一点不可导，则曲线在该点不存在切线这种说法对不对？切线这种说法对不对？解答解答 不对不对. .的切线方程是的切线方程是 （7 7）所以曲线所

19、以曲线 在点在点由导数的定义由导数的定义 ， 我们已经知我们已经知 在点在点 的切线斜率的切线斜率k，正，正是割线斜率在是割线斜率在 时的极限，时的极限，即即 函数函数f在点在点x0的导数的导数 是曲线是曲线 在点在点 处的切线斜率处的切线斜率. ( )f x0 xx 0 xx000( )()limxxf xf xkxx ( )kfx ( )yf x 00(,)xy000()()yyfxxx 0()fx ( )yf x 00(,)xy首页首页这就是说：这就是说：从而从而 意味着切线与意味着切线与x轴正向的夹角为锐角；轴正向的夹角为锐角；0()tanfx 0()0fx 0()0fx 0()0fx

20、 首页首页若若 表示这条切线与表示这条切线与x轴正向的夹角，轴正向的夹角，意味着切线与意味着切线与x轴正向的夹角为钝角；轴正向的夹角为钝角；表示切线与表示切线与x轴平行（图轴平行（图5252）. .例例7 7 求曲线在点处的切线方程与法线方程求曲线在点处的切线方程与法线方程 22002220000033,()lim (33)3.xyxxxxxfxxxxxx 20003().yyxxx 3000201()( (0)3yxxxp xx 00 x 0 x 首页首页解解 由于由于所以根据所以根据(7)(7)式式, ,曲线在点曲线在点P P的切线方程为的切线方程为由解析几何知道由解析几何知道, ,若切线

21、斜率为若切线斜率为k k, ,则法线斜率为则法线斜率为 ，1k 从而过点的法线方程为从而过点的法线方程为若若 , ,则法线方程为则法线方程为 . . x0是函数是函数f 的的极大（小）值点极大（小）值点. .定义定义3 3 若函数若函数f在点在点x0的某邻域的某邻域 内对一切内对一切 有有2. 2. 极值（点）定义极值（点）定义0()U x0()U xx 00()( ),( ()( )f xf xf xf x 首页首页(9)(9)则称函数则称函数f 在点在点x0取得极大（小）值取得极大（小）值. . 极大值、极小值统称为极值，极极大值、极小值统称为极值，极大值点、极小值点统称为极值点大值点、极

22、小值点统称为极值点. . 它在点它在点 处取极大处取极大值，在点值，在点 处取极小值处取极小值. .13,xxx 2xx 首页首页 设函数设函数f如图如图5-4所示，所示， 存在正数存在正数 ，对一切对一切有有 ，从而不难推得，当从而不难推得，当 时，时，（10）式成立式成立. . 若若 ，则存在，则存在 对任何对任何 ，有，有 （10） 0 ()0fx 0 00(,)xxx 0()( )f xf x 0000( )() ()lim0,xxf xf xfxxx 00(,)xx x 00()()0fxfxxx 00 xx 首页首页例例8 8 证明：证明：证证 因为因为所以由保号性可知，所以由保号性可知，例如，若例如，若 ， 则存则存在在 ， 对任何对任何 有有 . . 用类似的方法可讨论，用类似的方法可讨论， 和和 的情况的情况. .0 ()0fx 则则 x0 不是不是 的极点的极点. .00 () 0, () 0fxfx 0 ()0fx0 x 00(,)xx 0()( )f xf x 0()fx( )f x首页首页注注 例例8 8告诉我们：若告诉我们：若 存在且不为零，存在且不为零，若若x0点为点为f的极值点，则必