分布函数及其基本性质

1、二、分布函数及其基本性质二、分布函数及其基本性质 为了对离散型的和连续型的随机变量为了对离散型的和连续型的随机变量以及更广泛类型以及更广泛类型的随机变量给出一种统一的随机变量给出一种统一的描述方法，引进了的描述方法，引进了分布函数分布函数的概念的概念. f (x)xo0.10.30.6kPK012 |Xxx定义：定义：设设 X 是一个随机变量，称是一个随机变量，称)()(xXPxF)(x为为 X 的分布函数的分布函数. 记作记作 X F(x) 或或 FX(x). 如果将如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数那么分布函数 F(x) 的值就表示的值就表示 X落在区

2、间落在区间(, x的概率的概率.说明说明 X是随机变量是随机变量, x是参变量。是参变量。 F(x) 是随机是随机变量变量X取值不大于取值不大于 x 的概率。的概率。 由定义，对任意实数由定义，对任意实数 x1x2，随机点落，随机点落在区间（在区间（ x1 , x2 的概率为：的概率为：P x1X x2 = P X x2 - P X x1 = F(x2)-F(x1)离散型随机变量分布函数的计算离散型随机变量分布函数的计算设离散型随机变量分布律为设离散型随机变量分布律为PX=PX=x xk k=p pk k, ,k k=1,2,=1,2,由概率的可列可加性得由概率的可列可加性得X X的分布函数为

3、的分布函数为F(F(x x)= PX)= PXx x=PX=PXx xk k=p pk k这里和式是对于所有满足这里和式是对于所有满足x xk kx x的的k k求和求和. .当当 x0 时，时， X x = ， 故故 F(x) =0例例1212613110X，求，求 F(x).当当 0 x 1 时，时， F(x) = P(X x) = P(X=0) =31F(x) = P(X x)解解:当当 1 x 2 时，时， F(x) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 12, 121,2110,310, 0)(xxxxxF 不难看出，不难看出，F(x) 的图形是阶梯状的图形，的图

4、形是阶梯状的图形，在在 x=0，1，2 处有跳跃，其跃度分别等于处有跳跃，其跃度分别等于 P(X=0) , P(X=1) , P(X=2).3121120 x612161OOO1)(xF已知已知 X X 的分布律为的分布律为XP10121111231212求求X X的分布函数，的分布函数，并画出它的图形。并画出它的图形。0 (1)1 2 ( 10)( )5 6 (01)11 12 (12)1 (2)xxF xP Xxxxx -11230.250.51xF(x)F(x)的示意图 n P（Xb）=F(b)n P（aXb）=F(b)-F(a)n P（Xb）=1-P（Xb）=1 - F(b)P P（a

5、 aX Xb b）=P(X =P(X b)-P(Xa)= F(b)- F(a) b)-P(Xa)= F(b)- F(a)X-123P1/41/21/43, 4/12/14/132, 2/14/121, 4/11, 0)(xxxxxF3, 132, 4/321, 4/11, 0)(xxxxxF例:设随机变量X的分布律为求X的分布函数,并求PX1/2,P3/2X 5/2,P2 X 3.解:由概率的有限可加性得即 PX1/2=F(1/2)=1/4 P3/2X 5/2 =F(5/2)-F(3/2) =3/4 -1/4=1/2 P2 X 3 = F(3)-F(2)+PX=2 =1-1/4+1/2=3/4

6、解解 (1) 7 . 0)3()3(FXP)321( XP5 . 02 . 07 . 0)21()3(FF)2(1)2(XPXP)02()02()2(1FFF8 . 05 . 07 . 01(2) , 2 . 002 . 0) 1(XPX-124Pk0.20.50.3)2()2(1XPXP, 5 . 02 . 07 . 0)2(XP3 . 07 . 01)4(XP分布函数的性质分布函数的性质 试说明试说明F(x)能否是某个能否是某个随机变量的分布函数随机变量的分布函数.例例 设有函数设有函数 F(x)其它00sin)(xxxF解：解： 注意到函数注意到函数 F(x)在在 上下降，上下降，不满足

7、性质不满足性质(1)，故，故F(x)不能是分布函数不能是分布函数.2, 不满足性质不满足性质(2)， 可见可见F(x)也不也不能是能是随机变量的随机变量的分布函数分布函数.或者或者()lim( )0 xFF x 例例 在区间在区间 0，a 上任意投掷一个质点，以上任意投掷一个质点，以 X 表示这个质点的坐标表示这个质点的坐标. 设这个质点落在设这个质点落在 0, a中任意小区间内的概率与这个小区间的中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，试求长度成正比，试求 X 的分布函数的分布函数. 解：解：设设 F(x) 为为 X 的分布函数，的分布函数，当当 x a 时，时，F(x) =1当当 0 x a 时，时， P(0 X x) = kx (k为常数为常数 ) 由于由于 P(0 X a) = 1 ka=1，k =1/a F(x) = P(X x) = P(X0) + P(0 X x)=x / aaxaxaxx