大学物理波动3

1、三、驻波三、驻波1、驻波的形成、驻波的形成同一直线上同一直线上振幅相同振幅相同、传播反向传播反向的两列的两列相干波相干波叠加成为一种叠加成为一种特殊的振动状态特殊的振动状态，称为，称为驻波驻波。弦线驻波入射波和入射波和反射波叠反射波叠加的结果加的结果)2cos(1xtAy )2cos(2xtAy 设两列设两列行波行波分别为：分别为：叠加后：叠加后： 21yyytxAcos2cos2(驻波表达式驻波表达式)2、驻波的描述、驻波的描述txAycos2cos2 0t =T/8xx083Tt 0t =T/4xy2At = 00 xx0 t =T/2波波节节波波腹腹x02A-2A振动范围振动范围44 t

2、xAycos2cos2 绝对值为振幅绝对值为振幅时间项和空间项分离，不满足时间项和空间项分离，不满足y(x+ x, t+ t)波形不传播，故称波形不传播，故称“驻驻波波”。=y(x,t) ( x=u t ), 驻波是驻波是分段的振动分段的振动。简谐振动简谐振动3、驻波的特点、驻波的特点各质点同频率。各质点同频率。(1)频率特点：频率特点：(2)振幅特点：振幅特点：波腹点波腹点 (Anti-nodes): 振幅最大振幅最大402cos2xxA 奇奇数数波节点波节点 (Nodes): 静止静止422cos2xAxA 偶偶数数(3)相位特点：相位特点： 同一段同相；同一段同相；相位不传播。相位不传播

3、。相邻段反相。相邻段反相。课后由驻波表达式给予证明。课后由驻波表达式给予证明。 两相邻波腹两相邻波腹(节节)间距为间距为 /2.(4)能量特点能量特点:形成驻波的两列行波的能流密度大小相等，形成驻波的两列行波的能流密度大小相等，传播反向，叠加后，能量总的说来并不传播。传播反向，叠加后，能量总的说来并不传播。4、驻波的边界条件、驻波的边界条件让波在两种媒质的界面反射让波在两种媒质的界面反射(忽略透射忽略透射)，由入射波和反射，由入射波和反射波叠加。波叠加。uu反射点反射点(1)波疏媒质与波密媒质波疏媒质与波密媒质uz 特性阻抗特性阻抗波密波密波疏波疏，反射点反射点无相位突变无相位突变，形成驻波，

4、形成驻波时该处为时该处为波腹波腹；波波疏疏波波密密，反射点反射点相位突变相位突变 ，形成驻波形成驻波时该处为时该处为波节波节。z大大 波密媒质波密媒质z小小 波疏媒质波疏媒质波速波速密度密度(2)反射反射点点对对入射入射，可以证明，可以证明(过程不要求过程不要求)： 反射点反射点相位突变相位突变 ，相当于相当于 /2的波程差，的波程差，常称反射波有常称反射波有“ 半波损失半波损失 ”。有时说成有时说成“界面界面”更更合适合适固定端固定端自由端自由端形成驻波时形成驻波时波节波节波腹波腹波腹波腹相位不变相位不变波疏媒质波疏媒质波密媒质波密媒质x驻波驻波(3)忽略透射波，则入射波和反射波的波形如下：

5、忽略透射波，则入射波和反射波的波形如下：波节波节驻波驻波相位突变相位突变 波疏媒质波疏媒质波密媒质波密媒质x2 入射波波形延拓，入射波波形延拓，“砍砍”掉半个波掉半个波形后平移至分界形后平移至分界面处再翻折即得面处再翻折即得到反射波波形到反射波波形入射波波形延拓，入射波波形延拓，再翻折即得到反再翻折即得到反射波波形射波波形5 、驻波的简正模式、驻波的简正模式弦长弦长L应满足：应满足：),n(nL321 2 称为弦的称为弦的固有频率固有频率(本征频率本征频率)n=1基频基频n 2谐频谐频对图对图(2) Lun2 u n固定固定固定固定弦线弦线图图(1)L /2L固定固定图图(2)自由自由),(质

6、量线密度质量线密度张力张力llFFu 只有本征频率才可以在弦上形成驻波。只有本征频率才可以在弦上形成驻波。(1)弦线弦线 振动振动每种可能的每种可能的稳定振动方式稳定振动方式称作系统的一个称作系统的一个简正模式简正模式(normal mode).基频基频二次二次谐频谐频三次三次谐频谐频(2)空气柱振动空气柱振动音叉频率与管内空气柱的固有频率相同时发音叉频率与管内空气柱的固有频率相同时发生共鸣生共鸣(形成声驻波形成声驻波)。空气柱空气柱敞开端敞开端封闭端封闭端音叉音叉共鸣时共鸣时封闭端封闭端波节波节敞开端敞开端波腹波腹笛中驻波的简正模式笛中驻波的简正模式末端封闭末端封闭末端开放末端开放例例4、设

7、沿弦线传播的一入射波的表达式为、设沿弦线传播的一入射波的表达式为).2cos(1 xtAy 波在波在x=L处处(B点点)遇到波密介质发生反射遇到波密介质发生反射(如图如图)，设波，设波在传播和反射过程中振幅不变，则反在传播和反射过程中振幅不变，则反射波的表达式为射波的表达式为y2= .yxOBL解：解： 遇波密介质反射，反遇波密介质反射，反射点相位突变射点相位突变 ，反射后，反射后，B点的振动点的振动方程为：方程为：)2cos( LtAy在在BO间任选一点间任选一点P(x)，则反射波的波动方程为：则反射波的波动方程为：2)(cos2 LuxLtAy 2 u)42cos(2 LxtAy写成写成-

8、 亦可亦可若反射点为自由端，若反射点为自由端，则无相位突变，这则无相位突变，这一项就没有。一项就没有。yxOBLP(x)xL-x).2cos(1 xtAy 例例5、图中、图中oo是内径均匀的玻璃管是内径均匀的玻璃管.A是能在管内是能在管内滑动的底板，在管的一端滑动的底板，在管的一端o附近放一频率为附近放一频率为224Hz的持续振动的音叉，使底板的持续振动的音叉，使底板A从从o逐渐向逐渐向o移动移动.当当底板移到底板移到o1时管中气柱首次发生共鸣时管中气柱首次发生共鸣.当移到当移到o2时时再次发生共鸣，再次发生共鸣， o1与与o2间的距离为间的距离为75.0cm.则声速则声速为为_.两相邻波节间距为两相邻波节间距为 /2,第一次共鸣：第一次共鸣：O为波腹，为波腹，O1为波节；为波节；第二次共鸣：第二次共鸣：O