数列教材分析与教学建议

1、 房山区教师进修学校 张吉一、课标要求（1）数列的概念和简单表示法通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊函数。（2）等差数列、等比数列通过实例，理解等差数列、等比数列的概念。探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和的公式。能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系。二、高考说明要求（1）数列的概念和表示法（要求层次B）（2）等差数列的概念（要求层次B）（3）等比数列的概念（要求层次B）（4）等差数列的通项公式与前项和公式（要求层次C）（5

2、）等比数列的通项公式与前项和公式（要求层次C）三、基本特色1.  用函数的观点和递推的观点理解数列，加强数列与函数的联系。2.  应用代数的基本方法和技能解数列问题。  3.  数列的相关计算，贯彻算法思想。四、值得研讨的问题1数列在高中数学中的教育价值是什么？（1）世界观的形成客观性数列虽然是人类思维的产物，属于主观范畴。人们可以发挥自由想象，去创造各种数列。但是数列又有“理性的内涵”，它又具备了客观性。这种两重性，是数学学科特有的，其它学科是不具有的，因此数列是人类思维与自然界之间的一座桥梁，通过数列的学习，学生会更加贴近自然。普遍联系数列是最讲究事

3、物间普遍联系的。它是广泛存在于众多事物之间的结果，如天体距离的研究、放射性物质的衰变可用数列来讨论、国内生产总值GDP数据可以用数列来排序、居民住房消费贷款的还款利息可以用数列来计算。数列本身与其它数学知识之间存在着广泛的联系。如函数、方程、不等式、几何、三角等之间的联系：数列是特殊的函数，它的解决与函数、方程、不等式有关；同时，几何、三角中也存在着数列。同时数列内部各部分之间也存在着联系：比如通项与前项和之间的关系，等差数列与等比数列之间的关系：若是等差数列，则数列是等比数列；若是等比数列，则是等差数列。运动变化数列研究的是一列数的排列规律，即变化规律。它强有力地表现着变化。并且我们在研究数

4、列的排序时，正是研究数列在“变化中的不变性”，即数列的性质。以等差数列为例，当数列是等差数列时，无论序号如何变化，但总成立；当数列是等比数列时，无论序号如何变化，但总成立。指导实践数列与小行星的发现中，就从科学史上的一个真实故事出发，引出了与本章内容相关的问题，使学生体会了科学家探索真理的精神（如：大胆的假设，小心的求证），感悟数学在人类社会发展中的重要作用；等差数列求和中的高斯思想，又可引出数学史上的一段佳话；北京天坛圆丘地面问题是中国传统文化与数学的完美结合；等差数列中数与形的交融反映的是一种数学美；储蓄问题则反映了数学的社会需求   。（2）思维的训练“公理

5、化”体系数列的整章内容，以从数列的原始概念“按一定顺序排成的一列数，叫数列”出发。以此为基础，并由此作为出发点，再引出数列的项、首项、末项、项数、通项、前项和、有穷数列、无究数列、等差数列、等比数列、等推公式等一系列概念、公式、性质，由此形成了“数列”一章的“公理化”体系，成为解决数列问题的工具。归纳的完全性初学数列的同学经常用不完全归纳法得到一个数学结论，当老师指出方法不正确时，学生很难理解和接受。从数学的角度来分析，不完全归纳法得到一个数学结论不具有普遍意义，因为这种做法可能有例外的情况发生。因引数学中要求的是完全归纳法。例如：利用等差列的定义：，求通项公式。解：，归纳得到：这种做法是不完

6、全归纳法，得到的结果是不可靠的，是需要证明的。当归纳是完全的，那就是明确的逻辑要求了。演绎思维对于上面同样一个问题，如果学生作这样处理：(1)(2)(3)()()将上述个式子相加得这种处理过程是演绎推理，以等差数列的定义为基础，通过大家认可的严格的变换过程，得到等差数列的通项公式。但作为学生来说，不好区分这两种方法，往往会把不完全归纳法当作完全归纳法，需要老师在平时训练中形成学生对这两种方法的认识。一门学科是否形成了演绎思维体系，是用来判断这处学科是否成熟的标志，所以演绎思维体是逻辑思维的代表。（3）数学思想的渗透函数作为中学数学教学的一条主线贯穿于整体中学数学教学的始终。数列是一种特殊的函数

7、，学习数列有助于学生进一步认识和理解函数思想。函数思想贯穿于高中数学的始终，在其他必修内容中出现的函数基本上是连续函数，但数列作为函数，它的定义域是离散的正整数。对数列内容的处理，突出了函数思想、数学模型思想以及离散与连续的关系。（4）体现数学中的美科学家对数学美的追求，往往体反映在简洁性与统一性上。“简洁性”即“简洁美”，“统一性”主要体现在“对称美”。数列教学中，简洁美和对称美都体现得比较充分。比如：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9是被公认的“绝妙”的符号，所有数列是由它们构成的；表示数列的第项；表示一个数列；表示数列的前项和；表示等差数列的定义；表示等比数列的定义；表示数列若干项的

8、和；表示数列若干项的积。这些符号，在数列学习中要广泛应用，与其它符号一起构成了数学中的符号语言。不公具有简洁美，而且还是普通文字语言无法取代的。（2）对称美概念的对称：数列的首项与数列的末项；等差与等比；有穷数列与无穷数列；递增数列与递减数列；等差数列与等比数列；等差中项与等比中项。性质的对称：在项数有限的等差数列中，到首末两端等距离的项的和相等，即在项数有限的等比数列中，到首末两端等距离的项的积相等，即；在项数有限的等差数列中，当项数为奇数时，首项与末项的和等于中间一项的二倍，即在项数有限的等比数列中，当项数为奇数时，首项与末项的积等于中间一项的平方，即命题的对称性当数列是等差数列时，则数列

9、也是等差数列；当数列是比差数列时，则数列（）也是等比数列；当数列是等差数列时，则数列也是等差数列；第一、三个命题都与第二个命题对称。2在数列的教学中如何培养学生的计算、推理能力？（1）运算能力的培养运算能力是解决数学问题的一种必备能力，它与记忆能力、理解能力、推理能力、表达能力以及思维能力等诸多因素相互渗透、协调发展。培养学生的运算能力，有助于学生的分析能力、推理能力的提高，同时能把复杂问题简单化，可以减少计算的步骤，提高解题速度，使学生解题和运算过程更加科学化、合理化。数列教学内容是训练和培养学生运算能力的良好素材。熟练基本运算方法，抓基本概念和公式对于等差数列与等比数列，抓基本概念和公式，

10、从首项和公差(比)人手，是解决等差(比)数列问题的基本途径和方法。优化运算思维过程，抓观点与性质运算是一种综合能力，它不可能孤立存在。而且与观察力、注意力、记忆力、理解力、推理能力、表达能力等相互渗透、相互影响，优化运算思维过程，培养学生正确、简洁、富有创造性的运算能力和品质，从而逐步形成解决实际问题的能力。第一， 用函数的观点审视数列问题数列是特殊的函数，利用函数的观点解决数列问题，有时显得既简洁，又方便。例1已知数列的通项公式为，则它的前30项中最大项是第_项，最小项是第_项.例2已知数列的通项公式为,则数列最大项是第_项.第二， 用等差（比）数列的性质在解决数列问题时，利用等差数列与等比

11、数列的性质，可以使运算得到简化。等差数列前n项和为。已知+-=0，=38,则m=_.等比数列中,且=81,则=_.培养综合运算能力，抓联系与渗透运算能力是具有层次性的，这就要求老师在教学中按由单一运算到复习杂运算，再到综合运算的步骤来培养学生的运算能力。第一， 等差数列与等比数列通项公式、前项公式的基本运算等差数列与等比数列的通项公式与前项和公式是解决所有数列问题的基础，绝大多数的数列问题经过化归、转化之后，可以用等差、等比数列解决，所以，等差数列与等比数列通项公式、前项公式的运算对数列运算是非常重要的。例1等差数列、中,已知其前项和分别为和,且,则=_.例2等比数列的公比, 已知=1，则的前

12、4项和= .例3设是定义在上不为零的函数，对任意，都有，若，则数列的前项和的取值范围是.第二，数列通项公式与前项和之间的关系运算例1已知数列数列满足:。则通项公式是_.例2数列an的前n项和为Sn，且a1=1，n=1，2，3，求（1）a2，a3，a4的值及数列an的通项公式；（2）的值.解：（1）由a1=1，n=1，2，3，得，由（n2），得（n2），又a2=，所以an=(n2),数列an的通项公式为；（2）由（1）可知是首项为，公比为项数为n的等比数列，=第三，等差（比）数列与其它知识之间的综合运算例1数列的前项和为，第项满足，则_.例2在直角坐标平面上有一点列，对一切正整数，点位于函数的图

13、象上，且的横坐标构成以为首项，为公差的等差数列（I）求点的坐标；（II）设抛物线列,中的每一条的对称轴都垂直于轴，第条抛物线的顶点为，且过点，记与抛物线相切于的直线的斜率为，求：；（III）设，等差数列的任一项，其中是中的最大数，求的通项公式解：（I）（II）的对称轴垂直于轴，且顶点为.设的方程为：把代入上式，得，的方程为：.当时，=（III），T中最大数.设公差为，则，由此得培养中学生的运算能力要加强运算练习。任何能力都是在一定的实践活动中形成和发展起来的，为了有效的提高学生的运算能力就必须加强练习，其中练习要有目的性、系统性、典型性。通过一题多变、一题多改、一题多解、一法多用，培养运算的熟

14、练性、准确性、迅速性、灵活性、合理性。教师还应把握好数学课堂对学生运算能力培养的积极作用，课后并以题组训练的形式培养学生运算过程中思维的深刻性，并注重题目难度系数的合理安排，使学生在提高运算能力的同时又不失学习数学的兴趣。（2）推理能力的培养推理包括合情推理与演绎推理两类。其中合情推理的实质是“发现-猜想”，牛顿早就说过：“没有大胆的猜想就做不出伟大的发现”，合情推理能力往往与创新能力紧密相关。例如海王星的发现，就是利用类比推理，借助数学运算而发现的。中学阶段是学生思维发展的关键期，培养该阶段学生的合情推理能力具有重要意义。而演绎推理是数学中基本的推理方法。重视运算过程，培养学生的推理能力。高

15、中数学课程的目标之一是提高学生的运算能力，运算能力是高中生的基本数学能力，也是高考重点考查的能力之一，但是对于现在的学生，却对运算有种恐惧的感觉，为什么？运算中有推理，对于代数运算不仅要求会计算，而且要求明白算理，能说出运算中每一步所涉及的运算律和法则。因此在运算过程中，要充分展现推理和推理过程，逐步培养学生合情推理能力。例1 等比数列的通项公式的推理：方法1：（合情推理：不完全归纳法）根据等比数列的定义： ，,由此归纳，方法2：（演绎推理）根据等比数列的定义： (1)(2)(3)(n-1)将以上n-1个式子相乘，得例2等比数列前项和公式的推导方法1：错位相减法当时(1)(2)(1)-(2)得

16、当时，方法2：提取公比方法3：利用等比定理当时当时，方法4：递推法当时当时，方法5：解方程组法当时（1）-（2）得当时，方法6：合情推理归纳推理当时当时，不同的推导方法，代表了不同思维方式，反映不同的数学思想，教学中抓住了这些方法，着力在这些地方做文章，对培养学生的运算能力、推理能力、辩证思维都有很大好处，同时，渗透着化归转化的数学思想，加深学生对等比数列的再认识。例3等差数列前项和公式方法1：倒序相加法（1）（2）（1）+（2）得方法2：对项数分类讨论当为偶数时，当为奇数时，方法3：合情推理归纳推理引导学生观察，培养学生的合情推理能力合情推理并非盲目的、漫无边际的胡乱猜想。它是以数学中某些已

17、知事实为基础，通过选择恰当的问题创设情境，引导学生观察。观察是人们认识客观世界的门户。观察可以调动学生的各种感官，在已有知识的基础上产生联想，通过观察还可以减少猜想的盲目性。同时观察力也是人的一种重要能力。所以在教学中要给学生必要的时间和空间进行观察，培养良好的观察习惯，提高观察力，发展合理推理能力。例1设等差数列的前项和为，则，成等差数列类比以上结论有：设等比数列的前项积为，则，_，_成等比数列（）例2已知数列数列满足:则通项公式是_。利用数学归纳，培养学生的合情推理能力归纳推理是思维过程中从特殊到一般的推理，也是合情推理的主要形式之一。在解决一些数列问题时，往往让学生们先大胆的归纳猜测，再

18、进行推理证明。而现实生活中一些数据统计、信息采集、产品检验等都是采用归纳推理。例1由数列的前四项：，1 ，归纳出通项公式an =_(nN)（）例2在各项为正的数列中，数列的前n项和满足（1） 求；（2） 由（1）猜想数列的通项公式；（3） 求。（解：（1）；（2）；（3）.）借助类比探讨，培养学生的合情推理能力类比推理是思维过程中由特殊到特殊的推理，是合情推理的主要形式之一，对于相互有联系的命题进行类比分析，有利于学生对问题的更深层次的认识，更有利于学生对问题规律的探寻。如等比数列与等差数列的类比，有利于学生弄清楚二者的区别与联系，事半功倍。例1若数列，(nN)是等差数列,则有数列b=(nN)

19、也是等差数列，类比上述性质，相应地：若数列c是等比数列,且c0(nN)，则有d=(nN)也是等比数列（）例2等差数列的定义：一个数列，从第二起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列叫等差数列。类比等差数列的定义，等和数列可以这样定义：；首项为2 ，公和为3 的等和数的前项的和=。（一个数列，从第二起，每一项与它前一项的和等于同一个常数，这个数列叫等和数列。）五、地位与作用数列是一个古老的数学问题，也是近代数学研究的重要对象。在整个中学数学教学内容中，数列处于一个知识汇合点的地位，很多知识都与数列有着密切联系，数、式、方程、函数、不等式、简易逻辑等知识在这些章均得到了较为充分的应用，数列

20、正是在将各知识沟通方面发挥了重要作用，由于不少关于恒等变形、解方程(组)以及一些带有综合性的数学问题都与等差数列、等比数列有关，学习这一章便于对学生进行综合训练，从而有助于培养学生综合运用知识解决问题的能力，学习数列有助于培养学生观察、分析、归纳、猜想以及分析和解决问题的综合能力，数列与函数、三角、不等式、数学归纳法、解析几何、应用问题等有着广泛的联系，有很强的综合性，是高中代数中培养学生综合能力的良好素材。六、本章重点、难点1重点：（1）数列的概念；（2）等差数列的通项公式与前项和公式；（3）等比数列的通项公式与前项和公式。2难点：（1）等差数列的通项公式与前项和公式的推导及应用；（2）等比

21、数列的通项公式与前项和公式的推导及应用。七、教学内容安排 本章共有三大节，教学约需12课时，具体分配如下：节次内容课时2.1数列2课时2.11等差数列1课时2.12数列的递推公式1课时2.2等差数列4课时2.21等差数列2课时222等差数列的前项和2课时23等比数列4课时231等比数列2课时232等比数列的前项和2课时小结与复习2课时八、教学建议    (一)把握好本章的教学要求由于本章联系的知识面广，具有知识交汇点的特点，在应试教育的“一步到位”的教育思想的影响下，本章的教学要求很容易拔高，过早地进行针对“高考” 的综合性训练，从而影响了基本

22、内容的学习和加重了学生负担事实上，学习是一个不断深化的过程。作为在高一(上)学习的这一章，应致力于打好基础并进行初步的综合训练，在后续的学习中通过对本章内容的不断应用来获得巩固和提高。最后在高三数学总复习时，通过知识的系统梳理和进一步的综合训练使对本章内容的掌握上升到一个新的档次。为此，本章教学中应特别注意一些容易膨胀的地方。例如在学习数列的递推公式时，不要去搞涉及递推公式变形的论证、计算问题，只要会根据递推公式求出数列的前几项就行了；在研究数列求和问题时，不要涉及过多的技巧.(二)有意识地复习和深化初中所学内容    对于初中学过的多数知识在高中没有系

23、统深入学习的机会。而初中内容是学习高中数学的必要基础，因而在学习高中内容时有意识地复习、深化初中内容显得特别重要。本章是高中数学的第三章，距离初中数学较近，与初中数学的联系最广，因而教学中应在沟通初、高中数学方面尽可能多地作一些努力。   (三)适当加强本章内容与函数的联系    适当加强这种联系，不仅有利于知识的融汇贯通，加深对数列的理解，运用函数的观点和方法解决有关数列的问题，而且反过来可使学生对函数的认识深化一步比如，学生在此之前接触的函数一般是自变量连续变化的函数，而到本章接触到数列这种自变量离散变化的函数之后，就能

24、进一步理解函数的一般定义，防止了前面内容安排可能产生的学生认识上的负迁移；    本章内容与函数的联系涉及以下几个方面：    1数列概念与函数概念的联系。    相应于数列是一种定义域为正整数集(或它的前n个数组成的有限子集)的函数，它是一种自变量“等距离”地离散取值的函数，从这个意义上看，它丰富了学生所接触的函数概念的范围。但数列与函数并不能划等号，数列是相应函数的一系列函数值。基于以上联系，数列也可用图象表示，从而可利用图象的直观性来研究数列的性质。数列的通项公式实际上

25、是相应因数的解析表达式。而数列的递推公式也是表示相应函数的一种方式，因为只要给定一个自变量的值n，就可以通过递推公式确定相应的f(n)。这也反过来说明作为一个函数并不一定存在直接表示因变量与自变量关系的解析式。     2等差数列与一次函数、二次函数的联系。    从等差数列的通项公式可以知道，公差不为零的等差数列的每一项a是关于项数n的一次函数式于是可以利用一次函数的性质来认识等差数列。例如，根据一次函数的图象是一条直线和直线由两个点唯一确定的性质，就容易理解为什么两项可以确定一个等差数列。  

26、; 此外，首项为、公差为d的等差数列前n项和的公式可以写为：=An2+Bn(A=,B=)    即当时，是n的二次函数式，于是可以运用二次函数的观点和方法来认识求等差数列前n项和的问题如可以根据二次函数的图象了解的增减变化、极值等情况。    3等比数列与指数型函数的联系。    由于首项为、公比为q的等比数列的通项公式可以写成=kqn-k,(k=),它与指数函数y=有着密切联系，从而可利用指数函数的性质来研究等比数列。    

27、;(四)注意等差数列与等比数列的对比，突出两类数列的基本特征    等差数列与等比数列在内容上是完全平行的，包括：定义、性质(等差还是等比)、通项公式、前n项和的公式、两个数的等差(等比)中项。具体问题里成等差(等比)数列的三个数的设法等。因此在教学与复习时可采用对比方法，以便于弄清它们之间的联系与区别。顺便指出，一个数列既是等差数列又是等比数列的充要条件是它是非零的常数列。    教学中应强调，等差数列的基本性质是“等差”，等比数列的基本性质是“等比”，这是我们研究有关两类数列的主要出发点，是判断、证明一个数列是

28、否为等差 (等比)数列和解决其他问题的一种基本方法。要让学生注意，这里的“等差”(“等比”)，是对任意相邻两项来说的。    上述基本性质，引申出两类数列的一种对称性：即与数列中的任一项“等距离”的两项之和(之积)等于该项的2倍(平方).    利用上述性质，常使一些问题变得简便。对于学有余力的学生，还可指出等差数列与等比数列描述了两种最简单、最重要的变化：等差数列描述的是一种绝对均匀变化，等比数列描述的是一种相对均匀变化，非均匀变化通常要转化或近似成均匀变化来进行研究，这就成为教材之所以重点研究等差数列与等比数列

29、的主要原因所在。    (五)注意培养学生初步综合运用观察、分析、归纳、猜想、证明、数学建模等方法及应用能力，突出学生的数据处理、转化化归、代数推理和数学思想方法的提炼和运用能力    综合运用观察、归纳、猜想、证明等方法研究数学，是一种非常重要的学习能力事实上，在问题探索求解中，常常是先从观察入手，发现问题的特点，形成解决问题的初步思路；然后用归纳方法进行试探，提出猜想；最后采用证明方法(或举反例)来检验所提出的猜想应该指出，能够充分进行上述研究方法训练的素材在高中数学里并非很多，而在本章里却多次提供了这种训练机

30、会，因而在教学中应该充分利用，不要轻易放过。  (六)注意在启发学生思维上下功夫    本章内容，是培养学生观察问题、启发学生思考问题的好素材，使学生在获得知识的基础上，观察和思维能力得到提高。比如，等差数列和等比数列通项公式的推导方法比公式本身重要。推导这些公式，能突出数学方法，提高学生思维能力。        （七)加强推理论证和计算能力的培养    考虑到新课标更加重视对学生逻辑思维能力和计算能力的培养，在前面

31、两个模块中已经渗透了一部分，因此本章在推理论证方面有所加强。  (八)注意渗透一些重要的数学思想方法    由于本章处在知识交汇点的地位，所蕴含的数学思想方法较为丰富，教材在这方面也力求充分挖掘。教材注意从函数的观点去看数列，在这种整体的、动态的观点之下使数列的一些性质显现得更加清楚，某些问题也能得到更好的解决，不少的例、习题均属这种模式：已知数列满足某某条件，求这个数列。这类问题一般都要通过列出方程或方程组，然后求解，利用的是函数与方程的思想；关于递推的思想方法，不仅在数列的递推公式里有所体现观察、归纳、猜想、证明等思想方法的组合运

32、用在本章里得到了充分展示为学生了解它们各自的作用、相互间的关系并进行初步运用提供了条件。推导等差、等比数列通项公式的方法也很重要，要高度重视。九、分节分析（一）21数列（2课时） 教材对一般数列的概念，要求较高。建议安排两节课。这一节学好了，下面两节，就可引导学生自主探索学习。211数列（概念）1教学要求 （1）理解数列、数列通项及其相关概念； （2）理解通项公式是函数关系，能用函数和映射的观点认识数列，了解递增和递减数列的概念。2内容分析（1）数列的概念：按昭一定次序排成的一列数。每一个数叫数列的项。（2）数列的表示：，,;通项公式表示；递推公式表示。（3）通项

33、公式：数列的第项与序号之间的一个函数关系式。（4）数列的分类：按项数：有穷数列与无穷数列；类比函数的单调性：递增数列、递减数列、常数列；摆动数列。3本节重点、难点（1）重点：（1）数列的概念；（2）数列的通项公式。（2）难点：求数列的通项公式。4教学建议（1）引导学生从集合与映射的角度认识数列是一种特殊的函数，特殊在定义域不连续，故图象是一引起孤立的点。（2）举例引出数列的概念。书中7个例子，数的排列都是有规律的，其实数列的各项也可能是随机的，没有什么规律。（3）可先写出几个通项公式的例子，再给出一般通项公式的函数表示：an=f(n)。对应法则f可用公式、列表或图象给出，定义域为非零自然数或其

34、子集。教学时，要注意函数定义域的表述。符号N+与N*表示正整数或非0自然数。（4）例1可由学生自己完成。例2中的3个小题，都要通过观察，并分析数的性质，有一定的难度。教学时可由教师引导，由学生完成。设计例3和思考与讨论是为了加强数列与函数的联系。用研究函数性质的方法研究数列的性质。对例3的教学要给予重视。（5）引导学生明白已知几项，如何归纳数列的通项公式。5例题分析212 数列的递推公式 课标对递推公式没有明确要求，考虑到它在认识数列中的作用，课本把它单列一节作为选学。建议大家还是把它作为必学内容。 1教学要求： （1）理解用递推公式定义数列的方法； （

35、2）能用数列的递推公式和首项，写出数列的后续各项。2内容分析（1）数列的递推公式：已知数列的第一项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）之间的关系可以用一个公式表示，则这个公式叫这个数列的递推公式。（2）数列的递推公式也是给出数列的一种方法。3本节重点、难点（1）重点：理解数列递推公式的意义。（2）难点：数列递推公式的应用。4教学建议： （1）通过实例引入数列的递推公式。数列的递推公式应包括数列的首项值和公式本身。让学生体会，给出首项和递推公式，就可唯一确定一个数列。 （2）通过例1及其边注中的提问，让学生进一步体会，数列两种表示方法的特色

36、。用递推公式写出数列的前几项后，引导学生观察、归纳并猜想该数列的通项公式，虽有一定的难度，但学生应有这个能力。 （3）也可以不代入a1的值，由依次计算的结果，可能更容易看到an与n的函数关系：  （4）例2的难度更大些，要求学生有较坚实的数形结合基础和解题能力。这种解题的综合能力，要努力去训练，学生才能掌握。其实，学生只须掌握点的坐标概念、会求两个已知函数的函数值，就能够理解此题的解法。具体讲解时，可把P1、P2、P3的坐标都写出来让学生观察，发现an与an+1间的关系。  （5）练习A、B全做。习题2-1B选做。探索与研究留给学有余力的学生做。（6）引

37、导学生重视本节课的教学。（二）22 等差数列（4课时）221等差数列（2课时）1教学要求： （1）掌握等差数列的递推定义：an-an-1=d或an=an-1+d，掌握等差数列的通项公式；（2）掌握等差中项的概念，用等差中项的概念，进一步理解等差数列的特征性质：从第二项起，每一项都是前后项的等差中项； （3）理解等差数列与一次函数的关系：等差数列是一次函数在非零自然数集（或其子集）上的限定。（4）要求学生能按算法的思路，解与等差数列的有关问题。2内容分析（1）定义：；（2）通项公式：，；（3）等差中项：若成等差数列，则A叫，的等差中项，且A=；（4）证明数列为等差数列的方法：

38、定义法：；中项法：；（5）等差数列的性质若，则；若，则；=奇数项也是等差数列，其首项为，公差为；偶数项也是等差数列，其首项为，公差为；，也是等差数列；,也是等差数列。3本节重点、难点（1）重点：等差数列的概念；等差数列的通项公式。（2）难点：对等差数列的概念和通项公式的理解。4教学建议（1）引导学理解等差数列的概念：，让学生体会两点：第一，从第二项起，每一项与其前一项的差均可以写成；第二，差等于同一个常数。（2）先用归纳的方法猜想等差数列的通项公式，再用迭加法加以证明，归纳猜想和迭加都很重要，引导学生认真领会和应用。（3）等差数列的通项公式可改写成：，再联想一次函数（是常数），可以得到：数列是

39、等差数列的充要条件是：（是常数）两个独立的条件可以确定等差数列的通项公式；表示等差数列图象的点均在一条直线上，这条直线的斜率为。（4）用实例给出等差数列的递推公式，先用语言叙述，再用公式an-an-1=d或an=an-1+d，表达。（5）讲解例1，巩固定义。（6）引导学生用归纳法，推导通项公式。（7）例2到例5，都是等差数列通项公式的灵活运用。在数列问题中，最好明确解方程的思路。如例1，依题意可列方程组 然后解方程组求d。这样，可培养学生按算法步骤解问题的良好习惯。（8）练习A、B全做。练习B第2题，引导学生进一步深入思考等差数列的一些常用性质。学生完成作业后，最好课上讨论一下，扩展

40、学生对等差数列的理解。（9）关于等差中项常见的有：，还有。（10）本节教材突出数学建模、类比、归纳猜想、迭加法等数学方法，注意渗透和强化。5例题分析222 等差数列的前n项和（2课时）1教学要求：（1）熟练掌握求等差数列的前n项和的公式；（2）掌握求和公式的推导的方法。2内容分析（1）等差数列的前项和公式：前n项和公式：；（从第项到第项的和）（2）公式的变形，= =，是关于的二次函数，没有常数项。（3）已知，利用关系式求通项。3本节重点、难点（1）重点：等差数列前项和公式。（2）难点：等差数列前项和公式的推导和应用。4教学建议（1）教材引入等差数列的前项和公式是通过一个实例引入的，通过实例，使

41、学生理解等差数列前项和的意义，并了解倒序相加法求和，在此基础上推导等差数列的求和公式，体现了由具体到抽象的认知规律，体现了知识的形成过程，要高度重视。（2）在讲求和公式推导时，应指出其运算的依据是等式性质和数运算的通性(交换律与结合律)。养成学生逻辑思维的习惯。（3）通过思考与讨论，分析通项公式与求和公式之间的关系。一个为n的一次函数，一个为n的二次函数，并且这个二次函数没有常数项。（4）引导学生思考，如何由求和公式求通项公式。（5）例1直接应用求和公式求和，属于等差数列中，由五个量知三求二的问题。（6）例2，介绍由求和公式求通项公式的方法，分析求和公式与二次函数的联系。从具体到抽象，讨论的是

42、同一个问题，研究的是以下一组问题：已知数列的前项和公式，利用公式；等差数列的前项和是关于的二次函数，且没有常数项，（是常数），同样，当一个数列的前项和是（是常数）形式时，这个数列一定是等差数列。类比二次函数，等差数列前项和存在最值问题：方法1：类似于二次函数，利用配方法求项点的坐标，要注意；方法2：先求通项公式，若数列的前项和最大，若，则数列的前项和最小。研究以上一组问题，重在思维的训练、技能的提高，最终落实到“等差数列的前项和公式是（是常数）”的认识上。（7）例3，是一道有关“教育储蓄”、“零存整取”的问题，是等差数列的简单应用，是重点问题，分析题中的数量关系，得出算式求解。（8）习题2-2

43、B的3、4、5、6都有一定的难度，建议选做。（9）探索与研究留给学有余力的学生选做。（三）22 等比数列（4课时）221等比数列1教学要求：（1）掌握等比数列的递推定义：an+1=anq，掌握等比数列的通项公式；（2）掌握等比中项的的概念，用等比中项的概念，进一步理解等比数列的特征性质：从第二项起（除去末项），每一项都是前后项的等比中项；（3）理解等比数列与指数函数的关系，等比数列是指数函数在非零自然数集（或其子集）上的限定；（4）要求学生能按算法的思路，解与等比数列的有关问题。2内容分析（1）等比数列的定义：；（2）通项公式：；（3）等比中项：若成等比数列，则G叫，的等比中项，且；（4）证明

44、数列为等比数列的方法：定义法：；中项法：；（5）等比数列的性质若，则；若，则；=奇数项也是等比数列，其首项为，公比为；偶数项也是等比数列，其首项为，公比为；，也是等比数列；,也是等比数列。3本节重点、难点（1）重点：等差数列的概念；等差数列的通项公式。（2）难点：对等差数列的概念和通项公式的理解。4教学建议（1）用实例给出等比数列的递推定义，先用语言叙述，再用公式表达；（2）引导学生等比数列的通项公式是，是指数型函数；（3）引导学生理解等比数列的首项，公比均不等于0；（4）引导学生了理解等比数列也有递增、递减、摆动等性质；（5）引导学生用归纳的方法，推导等比数列的通项公式。（6）讲解例1，巩固

45、等比数列的定义。（7）分析通项公式与指数函数间的关系，并引导学生思考，由求和公式如何求通项公式?（8）通过例2给出了等比数列的另一个公式：，引导学生理解；（9）用等比中项的概念，进一步分析等比数列的性质。（10）例3，都是等比数列通项公式的灵活运用。在解数列问题中，最好明确已知及已知与未知的关系，根据列方程和解方程的思路来解。（11）例4，已知a1，a5，未知的是公比q，a2，a3，a4，依题意可列方程组 然后解方程组求q和插入的三项，这样，可培养学生按算法步骤解问题的良好习惯。本题是应用下列知识解题：；等比数列的定义；等比中项 （11）讲解等比数时，最好与等差数列类比进行

46、，帮助学生理解所学知识；（12）练习A、B全做。练习B第2题，引导学生进一步深入思考等差数列的一些常用性质，学生完成作业后，最好课上讨论一下，扩展学生对等差数据列的理解。5例题分析222 等比数列的前n项和1教学要求：（1）熟练掌握求比数列的前n项和的公式，掌握求和公式的推导的方法；（2）掌握由初始值、增长率求总和的计算方法。2内容分析（1）n项和公式：，（20推导等比数列前项和的方法：迭加法。3本节重点、难点（1）重点：等比数列前项和公式。（2）难点：等比数列前项和公式的推导和应用。4教学建议（1）推导等比数列前项和的方法有两种：课本使用方法：迭加法；，两边同乘以得两式相减得，故两种方法，都

47、是从整体入手，构造出关于的方程，解方程得的表达式。（2）在讲求和公式推导时，应指出其运算的依据是等式性质和数运算的通性(交换律、结合律、分配律)。培养学生逻辑思维的习惯，培养学生的代数运算技能。（3）课本开头的引例是一个很好的实际问题，要重视它人作用。（4）例1、例2、例3为求和公式的直接应用，引导学生在分析题意的基础上，正确运用公式计算，并注意一题多解，培养学生解题能力。（5）例4为等比数列应用的一个典型例子。通过数量分析，理解任一月份的计算表达式和求总和的计算方法。（6）习题2-2B的3、4、5、6都有一定的难度，选做。（7）练习A、B全做。习题2-3A全做，B选做。B中的第4题可选为复习

48、课的例题。  （8）建议增加一课时作全章小结。如课时允许，可增加一节习题课。要注意总结数列问题的代数方法。小结中的题目，缺少代数、三角和几何的综合的基本练习题。可适当增加。如： 三角形的三内角成等差数列，试判断三角形的形状。已知一个边长为a的正三角形，以此正三角形的高线为边作第二个正三角形，依此类推，求前10个正三角形的面积之和。（9）建议通过习题课，总结归纳求数列通项公式的方法和数列的求和方法。5例题分析23数列的通项公式与数列的和1求数列通项公式的方法（1）已知前几项，归纳出通项公式；（2）已知前项和，利用公式。（3）已知递推公式求通项已知递推公式，求出几项，归纳通项，

49、再证明；递推公式为：，数列是等差数列；递推公式为：，数列是等比数列；递推公式为：，是关于n的代数式，用叠加法求通项公式；例1（1）已知数列满足:求通项。（2）已知数列满足:求通项。递推公式为：，是关于n的代数式；用叠乘法求通项公式；例2(1)已知数列满足:，求通项公式。 (2)已知数列=1, 求通项公式。递推公式为：，两边加减常数构造数列；例3（1）已知数列满足:，求通项公式。（2）已知数列满足:，求通项公式。，利用倒数关系构造新数列。例4已知数列数列满足:求通项公式。2数列的求和等差与等比数列，有专门的求和公式。分项求和：从通项公式入手，把数列分成几个基本数列分别求和，再把所得的和相加。例1

50、已知数列的通项公式为,求前n项和。裂项求和：从通项公式入手，把数列的通项公式写成两项的差，再求和。例2已知,求其前前n项和.错位相减求和：一个等差数列与一个等比数列的积构成的新数列的求和。例3已知数列的通项公式为，求前前n项和。说明：以上求和方法，一定要讲，它是数列中很重要的内容。（四）小结与复习（2课时）通项公式1知识结构等差数列前项和公式数列数列的应用通项公式等比数列前项和公式数列的通项公式与求和2复习等差数列与等比数列的性质，完成下表等差数列等比数列定义（递推公式）通项公式前项和公式等差（比）中项证明数列等差（比）的方法通项公式的推导方法前项和公式的推导方法性质123456十、练习题重难

51、点：理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型，探索并掌握数列的几种间单的表示法（列表、图象、通项公式）；了解数列是一种特殊的函数；发现数列规律找出可能的通项公式考纲要求：了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式)了解数列是自变量为正整数的一类函数经典例题：假设你正在某公司打工，根据表现，老板给你两个加薪的方案：（）每年年末加1000元；（）每半年结束时加300元。请你选择:（1）如果在该公司干10年，问两种方案各加薪多少元？ （2）对于你而言，你会选择其中的哪一种？ 课堂练习：1. 下列说法中，正确的是 ( )A数列1，2，3与数列3，2，1是同一个数列B数列l,

52、2，3与数列1，2，3，4是同一个数列.C数列1，2，3，4，的一个通项公式是an=n.D以上说法均不正确2巳知数列的首项a1=1，且,(n2)，则为 ( ) A7 B15 C30 D313.数列的前n项和为=2n21，则,的值依次为 ( ) A2，14 B2，18 C3，4 D3，184.已知数列的前n项和为=4n2n2，则该数列的通项公式为( )A =8n5(nN*) B=8n5(nN*) C=8n5(n2) D的前n项和公式=n22n5，则=( ) A40 B45 C50 D556.若数列前8项的值各异，且对任意的都成立，则下列数列中可取遍前8项值的数列为（ ）A. B.C. D.中，已

53、知=2，则的值为_8.已知数列满足=1 ，, 且=3,=15,则常数c,b 的值为_9.已知数列的前n项和公式=n22n5，则=_10.设是首项为1的正项数列，且（=1，2，3，），则它的通项公式是=_11. 下面分别是数列的前n项和的公式，求数列的通项公式： (1)Sn=2n2-3n； (2)Sn=3n-212. 已知数列中a1=1，. (1)写出数列的前5项；(2)猜想数列的通项公式13. 已知数列满足a1=0，an1Sn=n22n(nN*)，其中为 an的前n项和，求此数列的通项公式14. 已知数列的通项公式与前n项和公式之间满足关系=23an(1)求a1;(2)求an与an-1(n2，nN*)的递推关系；(3)求与Sn-1(n2，nN*)的递推关系.§2.2等差数列、等比数列重难点：理解等差数列、等比数列的概念，掌握等差数列、等比数列的通项公式与前项和公式，能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题考纲要求：理解等差数列、等比数列的概念掌握等差数列、等比数列的通项公式与前项和公式能在具体的问