振动的数学分析

1、简谐振动的运动学本节主要讲解 ：根据简谐振动的动力学方程求其运动学方程，并讨论简谐运动的运动学特征。 一 . 简谐振动的运动学方程 由牛顿第二定律知： 即： 再令得：方程的通解为 ： 式就是简谐振动的运动学方程， 该式又是周期函数，故简谐振动是围绕平衡位置的周期运动。 二 . 描述简谐振动的物理量 1 . 周期（ T ） 完成一次全振动所用的时间： 对弹簧振子：2. 频率（ ） 单位时间内完成的全振动的次数： 的含义： 个单位时间内完成的全振动的次数，即： 圆频率 。 3. 振幅 物体离开平衡位置的最大位移。 振幅可以由初始条件决定。如： t=0 时刻， ， 由式可得：, 4.  

2、位相和初位相 振动系统的状态指：任意瞬时的位移和速度。但仅知振幅频率还不够，还须知道才能完全决定系统的运动状态。 叫简谐振动的相位 。 当 时， 叫 初相位 。 由： 若：已知初始条件： ，则 式有： ，式中的任意一个即可确定初位相。 相位差 ：两振动相位之差 。 讨论 ： 若 是 的整数倍，则振动同相位； 若 是 奇数倍，则振动相位相反； 若 ，则称 超前 ； 若 ，则称 落后 。 相位差的不同，表明二振动有不同程度的参差错落，振动步调不同。 例 1 ：一弹簧振子， 时， 求振动的初位相 。 解 ： 在第一象限， 例 2 ：讨论振动的位移，速度和加速度之间的关系。 解 ： 设：，则： 所以：

3、速度的位相比位移的位相超前 加速度的位相比速度的位相超前； 加速度的位相比位移的位相超前 。 理解 ： 加速度对时间的积累才获得速度，速度对时间的积累获得位移。 总结 ： 简谐振动是周期性运动； 简谐振动各瞬时的运动状态由振幅 A 圆频率 及初相位 决定，或者说，由振幅和相位决定。 简谐振动的频率是由振动系统本身固有性质决定的，而振幅和初相位不仅决定于系统本身性质，而且取决于初始条件。 三 . 简谐振动的图象 ： 图线 描述：质点在各个时刻的偏离平衡位置的位移。 中学里经常做正弦、余弦函数的图象，故不再多讲，请看书。 四 . 简谐振动的矢量表示法 ： 用旋转矢量的投影表示简谐振动。 如图示：

4、为一长度不变的矢量， 的始点在坐标轴的原点处，记时起点 t=0 时，矢量 与坐标轴的夹角为 ，矢量 以角速度 逆时针匀速转动。 由此可见：匀速旋转矢量在坐标轴上的投影即表示一特定的简谐振动的运动学方程。 矢端的速度大小为 ，在 x 轴上的投影为： 矢端沿圆周运动的加速度即向心加速度的大小为： ，在 x 轴上的投影： 总结 ： 旋转矢量、旋转矢量端点沿圆周运动的速度和加速度在坐标轴上的投影等于特定的简谐振动的位移、速度和加速度。因此，用旋转矢量在坐标轴上的投影描述简谐振动的方法叫简谐振动的矢量表示法。 一 . 同方向同频率简谐振动的合成 设质点参与同方向同频率的两个简谐振动： 合位移： 令： 上

5、式 = 式表明：同方向同频率的两个简谐振动合成后仍为一简谐振动，其频率和分振动频率相同。 或者：由简谐振动的旋转矢量法表示： 、 以 频率旋转， 、 之间的夹角不变， 也以 旋转，平行四边形的形状不变。 讨论 ：若相位差 ，即同相位，则： ，振幅最大； 若相位差 ，即反相位，则： ，振幅最小； 一般情况下，振幅 A 介于 与 之间。 同方向同频率简谐振动的原理，在光波、声波等的干涉和衍射中很有用。 二 . 同方向不同频率简谐振动的合成 若：两振动的周期之比： ， n ， m 有最小公倍数，则：二振动合成后仍有周期，但不是简谐振动 , 由旋转矢量图可知。 若：周期之比 , 不是整数比（如：无理数

6、之比 ) ，则合振动没有周期性。 为了简单方便，设： 假如： ，则： 的周期远大于 的周期。 令： 则 式就成为： 式可以看作：振幅按照 缓慢变化的，而圆频率等于 的准简谐振动。即：振幅有周期变化的简谐振动。 令： 叫 平均圆频率 ， 叫 调制圆频率 。 式就成为： 式即：合振动为圆频率等于平均圆频率的“简谐振动”，其振幅作缓慢的周期变化。 拍 ：振动方向相同，频率之和远大于频率之差的两个简谐振动合成时，合振动振幅周期变化的现象叫拍。 合振动变化一个周期叫一 拍 ；单位时间内拍出现的次数叫 拍频 。 不论 达到正的最大或负的最大，对加强振幅来说，都是等效的，因此拍的圆频率为调制圆频率的两倍：

7、拍频为： 问题 ：若二分振动的振幅不同，但初位相 仍都为零，则合振动仍会形成拍吗 ?三 . 互相垂直相同频率简谐振动的合成 二分振动方程如下： 合成的振动表示：质点既沿 轴运动，又沿 轴运动，实际上在 平面上运动。式中消去时间 t ，得质点运动的轨迹： 此为一椭圆的轨迹方程，椭圆的形状大小及长短轴方位由振幅 和 以及初位相差 所决定。 讨论 ： （）分振动相位相同或相反时 . 相位相同，即： 或 则式成为： 则式即为：合振动的轨迹为过原点且在一、三象限的直线。合振动任意一点的位移 r 为： 上式表明合振动也是简谐振动，与分振动频率相同，但振幅为 。 . 相位相反，即： ， k 为奇数 则式成为

8、： 则式即为：合振动的轨迹为过原点，且在二、四象限的直线。合振动任一点的位移为： 上式表明：合振动也是简谐振动，与分振动频率相同。 （） 相位差为时，式成为： 则式表明：合振动的轨迹为以 和 轴为轴的椭圆。 若，即 方向的振动比 方向的振动超前，即： 如某一瞬间， ，则： 。经过很短的时间后， 略大于 0 ， y 将略小于 为正，而 大于 ， 为负，故质点运动到第二象限，即质点沿椭圆逆时针方向运动。反之，若质点沿椭圆顺时针方向运动。（）振幅相等，频率相同，相位差为时 合振动的轨迹为一圆周运动： 总之 ：两振动方向垂直、频率相同的简谐振动，合振动的轨迹为直线、圆或椭圆，轨迹的形状和运动方向由分振

9、动的振幅和相位差决定。 四 . 互相垂直、不同频率简谐振动的合成 利萨如图形 一般来说，互相垂直的分振动频率不同的条件下，合振动的轨迹不能形成稳定的图案。但如果分振动的频率成整数比，则合振动的轨迹为稳定的曲线，曲线的花样和分振动的频率比、初位相有关，得出的图形叫利萨如图形。 利萨如图形的应用：利用利萨如图形的花样判断二分振动的频率比，再由已知频率测量未知频率。 例题 ： 弹簧下面悬挂物体，不计弹簧质量和阻力，证明在平衡位置附近的振动是简谐振动。 解：以弹簧和物块静止时的位置为原点 ，此时弹簧的伸长长度为 ，设物块处于任一位置 时： 此为简谐振动的动力学微分方程。阻尼振动振动系统因受阻力而作振幅

10、减小的运动叫 阻尼振动 。 一 . 阻尼振动的动力学方程 假设：振动速度较小时，摩擦力正比于质点的速率。即： 对物块应用牛顿第二定律： 令 为二阶线性常系数齐次方程，即阻尼振动的动力学方程。 二 . 阻尼振动方程的解 上述式方程的特征根： 1.   欠阻尼时 即： ，则： ， 通解为： (2) 说明由于阻力作用振动变慢（与无阻力时相比） 振幅为 随时间的推移，呈指数递减， 越大，振动衰减越快； 越小，振幅衰减越慢。 定义：表示阻尼大小的标志，称对数减缩，即经过一个周期后，振幅的衰减系数。 2. 过阻尼状态 即： ，则方程的通解为： 其中： 、 由初始条件决定。 随时间的推移，质点坐标

11、单调地趋于零。质点运动是非周期的，甚至不是往复的。将质点移开平衡位置后释放，质点便慢慢回到平衡位置停下来，即过阻尼状态。 3. 临界阻尼状态 即： ，则方程的通解为： 其中： 、 由初始条件决定。此种状态，质点仍不往复运动。由于阻力较前者小，质点移开平衡位置释放后，质点很快回到平衡位置并停下来。 如图示。应用 ：例如：天平的指针最好处于临界阻尼状态。（理想） 电流表、电压表的指针最好处于临界阻尼状态，有时处于欠阻尼状态。 练习题 ：某阻尼振动的振幅经过一周期后减为原来的，问振动频率比振动系统的固有频率少几分之几？（弱阻尼状态）受迫振动振动系统在连续的周期性外力作用下进行的振动叫 受迫振动 。

12、一 . 受迫振动的动力学方程 设质点受到：弹性力，阻尼力，周期性外力（驱动力）。 由牛二定律得：令： 上式变为：式就是受迫振动的动力学方程形式 ，是一个二阶常系数线性非齐次微分方程 。 二 . 受迫振动动力学方程的解 1. 方程的通解（齐次方程的通解） 设：，欠阻尼状态，则与受迫振动动力学方程对应的齐次微分方程的通解为： 其中：， 和 由初始条件（初位置与初速度）决定。 2. 特解（非齐次方程） 其中： 、 待定，方法是将代入方程来确定；而 、 是由初始条件来确定的参数。 3. 非齐次方程的通解： 下面来确定 和 ： 代入非齐次方程中得： 利用两角和的正、余弦公式展开得： ； (3) 讨论 ：

13、受迫振动方程式的解：式由二项之和组成。第一项表示阻尼振动随着时间的增加而趋于零；第二项是简谐振动，振幅为，频率为。随着时间的增加，第一项的阻尼振动可忽略不计，质点进行由第二项所决定的与驱动力同频率的振动（称为受迫振动），不是固有的简谐振动。【因为 不是系统固有的频率，而是策动力(即：驱动力)的频率】，（3）式中的是受迫振动的振幅，是受迫振动的位移相位与驱动力相位之差（因驱动力的初位相为0，这里表示为受迫振动位移初相）另外，用矢量图法也可求得和：由图可知相位矢量落后于，而，故，且有： 4. 稳态解的位相 由上图可知： （ 左右等号分别为和时的极限情况）讨论 ： 策动力频率 时： 即：稳定状态振动

14、的位移与驱动力的相位差为零，二者同步。 时，在第四象限，即：位移的相位落后于驱动力的相位 时，即：位移的相位落后于驱动力的相位。 时，在第三象限。位移的相位落后于驱动力的相位时，即：位移的相位落后于驱动力的相位，即二者相位相反。 0关于受迫振动位移与驱动力的相位差和驱动力频率的关系如图所示。 三 . 位移共振 利用微分法关于极大值的判据： 对于可导函数在某处，若一阶导数等于 0 ，二阶导数小于 0 ，则该点为函数的极大值点。若一阶导数等于 0 ，二阶导数大于0 ，则该点为函数的极小值点。由（3）式中的，考虑随的变化规律，两边对求导得： 两边对再求导得：令可得驻点或讨论：若的欠阻尼情况，驻点对应

15、的，为极小值；而驻点对应的，为极大值这种振动系统受迫振动时，振幅达极大值的现象叫位移共振。综上所述：位移共振条件：驱动力的圆频率为：共振的振幅：由此可知：位移共振频率小于（并不等于）系统的固有频率，越大则越小（也越小），仅当阻尼无限小时，共振频率无限接近于固有频率。当时，产生极激烈的位移共振。共振时，位移与驱动力的相位差（）：将反代入（3）式可得： （5）由（5）式知：当时的共振，即位移比驱动力落后，而位移比速度也落后，则驱动力与速度同相位，驱动力做功的功率恒为正。对于的一般情况下的共振，故即 ，又因为 联立可得：即共振时速度相位比驱动力相位超前一个锐角（并非想象中的始终同相位）。若定要保证驱

16、动力与速度始终同相位，即令（3）式中可得反代入（3）式可得，显然，此时反倒算不上共振了。事实上能量补充的多少不能只考虑驱动力与速度相位关系，还应考虑振幅大小（关系到力程长短）、周期的长短、还有耗散阻力做功的情况，共振时虽然驱动力与速度不总是同方向（功率时正时负）但且，周期长，总的看做功多（由数学分析知），这没有实质性的矛盾！若（仍属于欠阻尼）情况，则只有一个驻点且对应的考察时故为减函数。在时，函数取最大值若（仍属于欠阻尼）情况，也只有一个驻点（因根号下为负数不能开方），对应的，为极大值若的临界阻尼情况，仍然也只有一个驻点（因根号下为负数不能开方），对应的，为极大值若的过阻尼情况，仍然还是只有一个驻点（因根号下为负数不能开方），对应的，为极大值；以上的情况函数的单调性类似，都为减函数，只不过对于同样的、而言，越大，应该越小。综上所作的讨论，可以定性画出各种（不同）情况下的函数图象如下所示：四 . 受迫振动的能量转换 由于弹簧弹性力是保守力，动能和势能互相