广东省珠海市高三9月摸底考试数学理试题

1、理科数学试题一选择题 1已知是虚数单位，若，则= A. B. C. D.2. 设集合 ，则=A. B. C. D.3. 已知是公差为的等差数列，是其前项和.若，则的值是A. B. C. D.4. 一个路口的红绿灯，红灯的时间为秒，黄灯的时间为秒，绿灯的时间为秒，当你到达路口时，不需要等待就可以过马路的概率为 A. B. C. D.5. 已知双曲线的离心率是，则的渐近线方程为 A. B. C. D.6. 如图，网格上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则几何体的体积为 A.B.C.D.7. 若平面区域夹在两条斜率为的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是 A B C D8.

2、 函数在区间上的图像大致是 A B C D 9. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入的值分别为，则输出的值为A. B. C. D.10. 设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上一点作的垂线，垂足为，设，与相交于点，若，且的面积为，则的值为 A. B. C. D.11. 在正方体中，分别是棱的中点，是，面与面相交于，面与面相交于，则直线的夹角为 A.0 B.C.D.12. 设，若对任意实数都有，定义在区间上的函数的图象与的图象的交点个数

3、是个,则满足条件的有序实数组的组数为A. B. C. D.二、填空题13在的展开式中，的系数为_.（用数字作答）14已知向量，则实数k的值为.15已知函数是定义在上的周期为的奇函数，当时，则. 16已知数列满足，若从中提取一个公比为的等比数列，其中且，则满足条件的最小的值为.三、解答题17在中，.（1）求 的大小；（2）求 的最大值.18在如图所示的圆台中，是下底面圆的直径，是上底面圆的直径，是圆台的一条母线.（1）已知分别为的中点，求证：；（2）已知，求二面角的余弦值.19自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”，“生二孩能休多

4、久产假”等问题成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：产假安排（单位：周）1415161718有生育意愿家庭数48162026（1）若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为14周与16周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？（2）假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；如果用表示两种方案休假周数之和求随机变量的分布列及数学期望20设椭圆（）的右焦点为，右顶点为，上顶点为

5、，且满足，其中为坐标原点，为椭圆的离心率.（1）求椭圆的方程；（2） 设点是椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证:为定值.21 已知.（1）讨论的单调性；（2）当时，证明：对于任意的成立.22选修41：几何证明选讲如图，的角平分线的延长线交它的外接圆于点.(1)证明：ABEADC；(2)若的面积，求的大小.23选修4-4：坐标系与参数方程 在在直角坐标系中，直线的参数方程为.在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴)中，圆的方程为.(1)求圆的直角坐标方程；(2)设圆与直线交于点，若点的坐标为，求.24选修45：不等式选讲已知函数.(1)当时，求不

6、等式的解集；(2)若的解集包含，求的取值范围.参考答案一选择题：15：ACDCC610：BBBCA1112：AD二、填空题13、13514、1615、216、2三、解答题17解:（1）由已知得:.2分. 3分.4分（2） 由(1)知:.5分 故.6分 所以.8分.9分.10分18解答:（1）证明:设的中点为，连接，.1分 在中， ，又， 在中，.3分 又，所以5分（2）解法一:连接，则，又，且是圆的直径，所以6分以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系(OA方向为x轴，OB方向为y轴，方向为z轴，图略)由题意得:,过点作于点，故8分故设是平面的一个法向量，取，则，10分又平面的一个法向量，故

7、11分所以二面角的余弦值为12分解法二: 连接，过点作于点，则有，.6分又，所以，故，7分 过点作于点，连接，可得，故为二面角的平面角. 9分因为，且是圆的直径，所以，.10分故，11分所以二面角的余弦值为12分19解：（1）由表中信息可知，当产假为14周时某家庭有生育意愿的概率为；当产假为16周时某家庭有生育意愿的概率为2分（2）设“两种安排方案休假周数和不低于32周”为事件，由已知从5种不同安排方案中，随机地抽取2种方案选 法共有（种），4分其和不低于32周的选法有（14，18）、（15，17）、（15，18）、（16，17）、（16，18）、（17，18），共6种，由古典概型概率计算公式

8、得6分由题知随机变量的可能取值为29，30，31，32，33，34，35 7分，9分因而的分布列为293031323334350101020202010110分所以.12分20解答:（1）解:设，由，得:,.2分故，故椭圆的方程为:4分（2）证明:由(1)知:,设，则5分当时，故:.7分当时，直线的方程为:,令,得:,故:,直线的方程为:,令，得:,故:. .9分所以=.11分综上可知:，即为定值.12分21（1）解：的定义域为，当，时，单调递增；，单调递减. .2分当时，.时，当时，单调递增，当时，单调递减； 3分时，当时单调递增；时，当单调递增，当时，单调递减. .4分综上所述，当时，函数

9、在内单调递增，在内单调递减；当时，函数在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增；当时，函数在内单调递增；当时，函数在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增. .5分（2）由（1）知，时， .7分设则.8分由可得： 当且仅当x=1时取等号 9分又，设，则在单调递减，使得，.11分，即对于任意的成立. .12分22如图，ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E.(1)证明：ABEADC；(2)若ABC的面积SAD·AE，求BAC的大小.(1)证明由已知条件，可得BAECAD.1分因为AEB与ACD是同弧所对的圆周角.所以AEBACD. .3分故ABEADC.4分(2)解因为ABEA

10、DC，所以，即AB·ACAD·AE.6分又SAB·ACsinBAC，且SAD·AE，故AB·ACsinBACAD·AE，.8分则sinBAC1.又BAC为ABC的内角，.9分所以BAC90°. .10分23在在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数).在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为2sin .(1)求圆C的直角坐标方程；(2)设圆C与直线l交于点A，B，若点P的坐标为(3，)，求|PA|PB|.解(1)由2sin ，得22sin .2分x2y22y，即x2(y)25. .3分(2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程.得5，即t23t40.6分由于(3)24×420，故可设t1，t2是上述方程的两实根，所以又直线l过点P(3，)，.8分故由上式及t的几何意义得|PA|PB|t1|t2|t1t23.10分24已知函数f(x)|xa|x2|.(1)当a3时，求不等式f(x)3的解集；(2)若f(x)|x4|的解集包含1，2，求a的取值范围.解:(1)当a3时，f(x).2分当x2时，由f(x)3得2x53，解得x