天津市一中高三第四次月考数学理试卷

1、一选择题：1.设集合，则( C ) (A)(B)(C)(D)满足约束条件的取值范围为（ D ）A. B. C. D.3.运行如图所示的程序框图，若输出的是，则应为( C )An5Bn6Cn7Dn84.以下说法错误的是(C).命题“若，则”的逆否命题为“若，则”.“”是“”的充分不必要条件.若为假命题，则均为假命题.若命题，使得，则则.是首项为的等比数列，是其前项和，且,则数列 前项和为（ A ）（A） （B） （C） （D）与双曲线的一个交点为M，F为抛物线的焦点，若MF5，则该双曲线的渐近线方程为（ A ）A、5x±3y0 B、3x±5y0 C、4x±5y0 D

2、、5x±4y07.在中 ,若,则（C）ABCD8.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，则函数在上的所有零点之和为（ B ）A7B8C9D10二填空题：9.设为虚数单位,若复数是纯虚数,则实数_-4_的展开式中常数项为，则的值为 2 11如图，在边长为1的正方形中任取一点，则该点落在阴影部分中的概率为12.已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为13.如图，BAC的平分线与BC和外接圆分别相交于D和E，延长AC交过D、E、C三点的圆于点F若AE=6，EF=3，则AFAC的值为_27_中，60°，为平行四边形内一点，且，若，则的最大值为_1_三解答题：（）（1）求的最

3、小正周期；（2）求函数在区间上的取值范围16.袋中有8个大小相同的小球,其中1个黑球,3个白球,4个红球.(I)若从袋中一次摸出2个小球,求恰为异色球的概率;(II)若从袋中一次摸出3个小球,且3个球中,黑球与白球的个数都没有超过红球的个数,记此时红球的个数为,求的分布列及数学期望E.解: ()摸出的2个小球为异色球的种数为从8个球中摸出2个小球的种数为故所求概率为 5 分()符合条件的摸法包括以下三种:一种是有1个红球,1个黑球,1个白球,共有种 一种是有2个红球,1个其它颜色球,共有种, 一种是所摸得的3小球均为红球,共有种不同摸法,故符合条件的不同摸法共有种 由题意知,随机变量的取值为,

4、.其分布列为:12317.如图,是边长为的正方形，平面，与平面所成角为.()求证：平面；()求二面角的余弦值；()设点是线段上一个动点，试确定点的位置，使得平面，并证明你的结论.()证明：因为平面， 所以. 2分因为是正方形，所以，又相交从而平面. 4分()解：因为两两垂直，所以建立空间直角坐标系与平面所成角为，即， 5分所以.由可知，. 6分则，所以， 7分设平面的法向量为，则，即，令，则. 8分因为平面，所以为平面的法向量，所以. 9分因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为. 10分()解：点是线段上一个动点，设. 则，因为平面，所以,11分即，解得. 12分此时，点坐标为，符合题意. 1

5、3分18.如图,在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，直线与轴交于点，与椭圆交于、两点当直线垂直于轴且点为椭圆的右焦点时，弦的长为（1）求椭圆的方程；（2）若点的坐标为，点在第一象限且横坐标为，连结点与原点的直线交椭圆于另一点，求的面积；第18题（3）是否存在点，使得为定值？若存在，请指出点的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由【解析】（1）由，设，则，所以椭圆的方程为，因直线垂直于轴且点为椭圆的右焦点，即，代入椭圆方程，解得，于是，即，所以椭圆的方程为5分（2）将代入，解得，因点在第一象限，从而，由点的坐标为，所以，直线的方程为，联立直线与椭圆的方程，解得，又过原点，于是，所以直线的方程为

6、，所以点到直线的距离，10分（3）假设存在点，使得为定值，设，当直线与轴重合时，有，当直线与轴垂直时，由，解得，所以若存在点，此时，为定值2 12分根据对称性，只需考虑直线过点，设，又设直线的方程为，与椭圆联立方程组，化简得，所以，又，所以，将上述关系代入，化简可得综上所述，存在点，使得为定值216分，数列满足（1）求的值；（2）求数列的通项公式；（3）证明：解：（ 1）由得由得解得，-2分-3分-4分（2）解法一：由且得：，-5分即，-7分，-8分数列是以为首项，公比为的等比数列，.-9分【解法二：由，猜想.-6分下面用数学归纳法证明.当n = 1猜想显然成立；假设当n = k（）结论成立，

7、即，则当时，即当猜想成立. -8分综合、可知猜想对都成立.即-9分】（3）证法一：由得，-11分-12分分以下其它解法请参照给分。【证法二：.】【证法三：当时，不等式显然成立，当时，令.综上得命题得证.】【证法四：令下面用数学归纳法证明，当时，结论显然成立假设当时，结论成立，即，当时，左边=所以当时，结论也成立综合、可知对都成立20.已知函数 （1）若 ，求函数 的单调递减区间;（2）若关于x的不等式 恒成立，求整数 a的最小值；（3）若 ，正实数 满足 ，证明:【解析】（1）因为，所以，1分此时，2分由，得，又，所以所以的单调减区间为 4分（2）方法一：令，所以当时，因为，所以所以在上是递增函数，又因为，所以关于的不等式不能恒成立6分当时，令，得所以当时，；当时，因此函数在是增函数，在是减函数故函数的最大值为8分令，因为，又因为在是减函数所以当时，所以整数的最小值为2 10分方法二：（2）由恒成立，得在上恒成立，问题等价于在上恒成立令，只要6分因为，令，得设，因为，所以在上单