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1、 浅议区间转换求解析式华东师范大学松江实验高级中学 董顶国 函数是高中数学的重要内容之一,函数表示法中的解析法是其重要的表示方法。优点是:函数关系清楚,容易从自变量的值求出其对应的函数值,便于用解析式来研究函数性质。不少刊物发表过如待定系数法、换元法、构造方程组法、分段函数法等诸如此类的方法。纵观近几年高考,解析式考察时,较多注重区间转换求解析式,现总结如下:一、知奇偶性区间转换例1设函数 是定义在R上的奇函数,当时求时函数的解析式解设,则,当时 又函数是定义在R上的奇函数,当时 二、知周期性区间转换 例2(直接给出周期)已知已知对函数定义域上任意满足时,求时函数的解析式解由题意函数
2、的周期为2,设,则例3(间接给出周期)已知是定义在R上的函数,满足,且当时 求在的解析式解 函数的周期为2 设,则, 函数的周期为2 注:对于一个周期函数,除用表述外,还经常会用到其它形式。如:对函数的定义域的任意满足下列关系之一: 。都可以证明函数的周期为2三、知对称轴区间转换对函数的定义域的任意满足 则函数的图象关于直线对称。亦可推广为:对函数的定义域的任意满足 则函数的图象关于直线对称。例4已知是定义在R上的函数,且,求,函数的解析式解的图象关于直线对称设,则 四、知图象关于点对称区间转换若函数的图象关于点对称,则函数对定义域中任意均满足。例5已知函数在上的图象关于点对称,且当时,求在上
3、的解析式。解在上的图象关于点 ,设,则 五、运用图象变换结合函数性质区间转换例6(2005上海)在直角坐标平面中,已知点,其中是正整数对平面上任一点,记为关于点的对称点,为关于点的对称点,为关于点的对称点(1) 求向量的坐标;(2) 当点在曲线上移动时,点的轨迹是函数的图象,其中是以3为周期的周期函数,且当时,求以曲线为图象的函数在的解析式; 解(1)略解 (2)的图象由曲线C向右平移2个单位,再向上平移4个单位得到。因此,曲线C是函数的图象,其中是以3为周期的周期函数,且当时,时,六、函数若干性质同时出现,需多次区间转换例7设是在上以4为周期的函数,且是偶函数,在区间上时,求当时的解析式。解设,则,又T=4 由已知是偶函数,所以例8设为R上的奇函数,且对于都有。若当时,求当时的解析式。解是以4为周期的周期函数,为奇函数 ,即为函数的对称轴设,则,设,则,综上, 区间转换求解析式
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