微分方程全解

1、教学目的：教学目的：掌握常见一阶微分方程的求解掌握常见一阶微分方程的求解 方法方法难难 点：点：一阶线性非齐次微分方程的一阶线性非齐次微分方程的 通解通解 重重 点：点：可分离变量的微分方程、齐可分离变量的微分方程、齐 次方程和一阶线次方程和一阶线 性微分方程性微分方程第二讲第二讲 一阶微分方程的解法一阶微分方程的解法主视图主视图一阶微分方程一阶微分方程解法解法可分离变量法可分离变量法齐次微分方程齐次微分方程一阶线性一阶线性微分方程微分方程解题步骤解题步骤一阶齐次一阶齐次微分方程微分方程一阶非齐次一阶非齐次微分方程微分方程常数变异法常数变异法通解通解伯努利方程伯努利方程dxxfdyyg)()(

2、 则称为可分离变量的微分方程则称为可分离变量的微分方程. .5422yxdxdy 例如例如,2254dxxdyy 解法解法 dxxfdyyg)()(设设函函数数)(yG和和)(xF是是依依次次为为)(yg和和)(xf的的原原函函数数,CxFyG )()(为微分方程的通解为微分方程的通解.分离变量法分离变量法如果一阶微分方程能化为如果一阶微分方程能化为可分离变量法可分离变量法例例 求解微分方程求解微分方程.2dyxydx的通解解解分离变量分离变量,2xdxydy 两端积分得两端积分得,2 xdxydy12lnCxy .2为所求通解为所求通解xcey 故故:例题例题解解 分离变量，分离变量， 得得

3、 dxxxdyyy)1 (1122dxxxxdyyy22111Cxxyln21)1ln(21ln)1ln(2122两边积分两边积分)ln(1)(1ln(222Cxyx）因此，因此， 通解为通解为 222(1)(1)xyCxCR于是，于是， 所求特解为所求特解为 22210)1)(1 (xyx例题例题解解,dtdM衰变速度衰变速度由题设条件由题设条件)0(衰变系数衰变系数 MdtdMdtMdM , dtMdM00MMt 代代入入,lnlnctM ,tceM 即即00ceM 得得,C teMM 0衰变规律衰变规律例题例题回主视图回主视图利用微分方程解决实际问题的步骤：一、利用问题的性质建立微分方程

4、， 并写出初始条件；二、利用数学方法求出方程的通解；三、利用初始条件确定任意常数的值， 求出特解 解题步骤解题步骤回主视图回主视图)(xyfdxdy 形如形如的微分方程称为的微分方程称为齐次方程齐次方程. .2.解法解法,xyu 作变量代换作变量代换,xuy 即即代入原式代入原式,dxduxudxdy ),(ufdxduxu .)(xuufdxdu 即即可分离变量的方程可分离变量的方程1.1.定义定义,0)(时时当当 uuf xdxuufdu)(得得齐次微分方程齐次微分方程例例 求解微分方程求解微分方程，令令xyu ，则则udxxdudy 把变量代回得微分方程的解为把变量代回得微分方程的解为解

5、解.tan2xyxyy.tan2xdxudu.lnlnln2sinln2cxcxu.sin2cxu .sin2cxxy例题例题,xyu 令令,dxduuydydy则例例 求解微分方程求解微分方程解解微分方程的通解为微分方程的通解为023(22xydxdyxy）满足初始条件满足初始条件 10 xy的特解的特解 原方程可化为原方程可化为 yxyxxyxydydx23123222uudyduy2512dyyduuu15122Cyuln51ln)51ln(512Cyxy325510 xy1C将初始条件将初始条件代入通解中，代入通解中， 得到得到所求特解为所求特解为 15325yxy例题例题例例 求解微

6、分方程解解11yxdxdy令,xyu 则,yxudxdudxdy1111udxduudxdu1分离变量， 并两边积分 Cxu22Cxyx2)(2微分方程的通解为例题例题回主视图回主视图)()(xQyxPdxdy 一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式的标准形式:, 0)( xQ当当上方程称为上方程称为一阶线性一阶线性齐次方程齐次方程.上方程称为上方程称为一阶线性非一阶线性非齐次方程齐次方程., 0)( xQ当当例如例如,2xydxdy ,sin2ttxdtdx , 32 xyyy, 1cos yy线性的线性的;非线性的非线性的.一阶线性微分方程一阶线性微分方程回主视图回主视图. 0)( y

7、xPdxdy,)(dxxPydy ,)( dxxPydy,ln)(lnCdxxPy 齐次方程的通解为齐次方程的通解为.)( dxxPCey线性齐次方程线性齐次方程(使用分离变量法使用分离变量法)一阶线性齐次微分方程解法一阶线性齐次微分方程解法回主视图回主视图 线性非齐次方程线性非齐次方程).()(xQyxPdxdy 讨论讨论: 设设y=f(x)是解是解, 则则,)()()()()(dxxPxfxQxfxdf 变形变形积分积分,)()()()(ln dxxPdxxfxQxf,)()()()( dxxpdxxfxQeexf非齐方程通解形式非齐方程通解形式( )( ) ( )( )df xP x f

8、 xQ xdx,)()()( dxxfxQexc记记 dxxpexcxfy)()()(一阶线性非齐次方程解法一阶线性非齐次方程解法回主视图回主视图把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. .设解为设解为 dxxPexcy)()(,)()()()()( dxxPdxxPexPxcexcy)(xcC 得得)()(xQyxPdxdy 代代入入原原方方程程和和将将yy ),()()(xQexcdxxP ,)()()(CdxexQxcdxxP 积分得积分得)()()(CdxexQeydxxPdxxP 非齐方程通解非齐方程通解常数变易法常数变易法例例 求解微分

9、方程 cot2 sin .yyxxx 对应齐次方程为cot0yyx1cotdyxdxycotlnsinsinxdxxyCeCeCx( )sin .yC xx令( )sin( )cosyC xxC xx则有: xxC2)(CxxC2)(故所求通解为2()sinyxCx分离变量得两边积分有 代入原非齐次方程， 得常数变易法例题常数变易法例题.sin2)(,cot)(xxxQxxP).(sin)2(sin)sin1sin2(sin)sin2()sin2(2sinlnsinlncotcotCxxCxdxxCdxxxxxCdxexxeCdxxexeyxxxdxxdx根据公式有根据公式有:公式法例题公式法

10、例题yyxdydx26223yxydydxCdyeyexdyydyy332Cyy2132,1xy23C以条件代入， 得 因此， 所求特解为 2232yyx例题例题回主视图回主视图例例 求解微分方程求解微分方程.)(ln2yxaxydxdy解解 原方程不是线性方程，原方程不是线性方程， 但通过适当的变换但通过适当的变换, 可将它化为线性方程可将它化为线性方程 将原方程改写为将原方程改写为.ln112xayxdxdyy.ln111xayxdxdy1,zy令1ln .dzzaxdxx 则有 由通解公式，由通解公式， 得通解得通解 .)(ln22xaCxz所以，所以， 原方程通解为原方程通解为 . 1

11、)(ln22xaCxy例题例题回主视图回主视图一阶线性非齐次微分方程的通解为一阶线性非齐次微分方程的通解为:)()()(CdxexQeydxxPdxxP dxexQeCedxxPdxxPdxxP )()()()(对应齐次对应齐次方程通解方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解对应齐次方程通解与非齐次方程特解之和对应齐次方程通解与非齐次方程特解之和.的通解是的通解是)()(xQyxPdxdy 所以所以通解通解回主视图回主视图的方程的方程,称为伯努利称为伯努利(Bernoulli)方程方程.nyxQyxPdxdy)()( )1 , 0( n 方程为方程为非线性微分方程非线性微分方程.时时，当当1 , 0