椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题

1、1 椭圆和双曲线的离心率的求值及范围椭圆和双曲线的离心率的求值及范围求解求解问题问题 【重点知识温馨提示】 1.eca1b2a2(0e1) 2.确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，c的方程或不等式，进而得到关于e的方程或不等式， 3. 【典例解析】 例 1.(2015新课标全国，11)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，ABM为等腰三角形，且顶角为 120，则E的离心率为( ) A.5 B2 C.3 D.2 例 2.【2016 高考新课标 3 文数】已知O为坐标原点，F是椭圆C：22221(0)xyabab的左焦点，,A

2、B分别为C的左， 右顶点.P为C上一点， 且PFx轴.过点A的直线与线段PF交于点M， 与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点， 则C的离心率为（ ） （A）13 （B）12 （C）23 （D）34 例 3 (2015 福建)已知椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的右焦点为 F，短轴的一个端点为 M，直线 l：3x4y0 交椭圆 E 于 A，B 两点若|AF|BF|4，点 M 到直线 l 的距离不小于45，则椭圆 E 的离心率的取值范围是( ) A.0，32 B.0，34 C.32，1 D.34，1 例 4.(2014 江西)设椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左，右焦点为 F1，

3、F2，过 F2作 x 轴的垂线与C 相交于 A， B 两点， F1B 与 y 轴相交于点 D， 若 ADF1B， 则椭圆 C 的离心率等于_ 【跟踪练习】 2 1. (2015 浙江)椭圆x2a2y2b21(ab0)的右焦点 F(c，0)关于直线 ybcx 的对称点 Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是_ 2. 已知椭圆x2a2y2b21(ab0)与双曲线x2m2y2n21(m0，n0)有相同的焦点(c,0)和(c,0)，若c 是 a、m 的等比中项，n2是 2m2与 c2的等差中项， 则椭圆的离心率是( ) A.33 B.22 C.14 D.12 3.已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、右焦

4、点分别为 F1(c,0)、F2(c,0)，若椭圆上存在点 P 使asinPF1F2csinPF2F1，则椭圆的离心率的取值范围为_ 4.过双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的一个焦点 F 作一条渐近线的垂线，垂足为点 A，与另一条渐近线交于点 B，若FB2FA，则此双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C2 D. 5 5.(2015 山东)过双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点 P.若点 P 的横坐标为 2a，则 C 的离心率为_ 6.(2015 湖北)将离心率为 e1的双曲线 C1的实半轴长 a 和虚半轴长 b(ab)同时增加

5、m(m0)个单位长度，得到离心率为 e2的双曲线 C2，则( ) A对任意的 a，b，e1b 时，e1e2；当 ae2 C对任意的 a，b，e1e2 D当 ab 时，e1e2；当 ab 时，e10，b0） 矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上，AB，CD 的中点为 E 的两个焦点，且 2|AB|=3|BC|，则 E 的离心率是_ 8（2015 年高考）过双曲线C：22221xyaa0,0ab（）的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a,则C的离心率为 . 9、 （齐鲁名校协作体 2016 届高三上学期第二次调研联考）设直线 x3ym0(m0)与双曲线x2a2y2b2

6、1(a0，b0)的两条渐近线分别交于点 A，B.若点 P(m，0)满足|PA|PB|，则该双曲线的离心率是（） (A) 2 (B) 52 (C) 5 (D) 2 5 3 10、 （东营市、潍坊市 2016 届高三高三三模）已知1F、2F为椭圆222210 xyabab的左、右焦点，以原点O为圆心，半焦距长为半径的圆与椭圆相交于四个点，设位于y轴右侧的两个交点为A、B，若1ABF为等边三角形，则椭圆的离心率为（ ） A21 B3 1 C212 D313 11、 （济宁市 2016 届高三上学期期末）已知抛物线24 2yx 的焦点到双曲线222210,0 xyabab的一条渐近线的距离为55，则该

7、双曲线的离心率为 A. 2 23 B. 103 C. 10 D. 2 39039 12、 （莱芜市 2016 届高三上学期期末）已知双曲线222210,0 xyabab的左焦点是,0Fc， 离心率为 e， 过点 F 且与双曲线的一条渐近线平行的直线与圆222xycy在轴右侧交于点 P，若 P 在抛物线22ycx上，则2e A. 5 B. 512 C. 5 1 D. 2 13， （烟台市 2016 届高三上学期期末）设点 F 是抛物线2:20 xpy p的焦点，1F是双曲线2222:10,0 xyCabab的右焦点， 若线段1FF的中点 P 恰为抛物线与双曲线C 的渐近线在第一象限内的交点，则双

8、曲线 C 的离心率 e 的值为 A. 3 22 B. 3 34 C. 98 D. 3 24 1,4、（青岛市 2016 高三 3 月模拟） 已知点12,F F为双曲线2222:10,0 xyCabab的左，右焦点，点 P 在双曲线 C 的右支上，且满足21212,120PFFFFF Po，则双曲线的离心率为_. 4 15、 （日照市 2016 高三 3 月模拟）已知抛物线28yx的准线与双曲线222116xya相交于A,B 两点，点 F 为抛物线的焦点，ABF为直角三角形，则双曲线的离心率为 A.3 B.2 C. 6 D. 3 16. (2015 重庆)如图，椭圆x2a2y2b21(ab0)的

9、左、右焦点分别为 F1、F2，过 F2的直线交椭圆于 P，Q 两点，且 PQPF1. (1)若|PF1|2 2，|PF2|2 2，求椭圆的标准方程； (2)若|PQ|PF1|，且3443，试确定椭圆离心率 e 的取值范围 5 答案部分： 例 1【解析】 如图，设双曲线E的方程为x2a2y2b21(a0，b0)，则|AB|2a，由双曲线的对称性，可设点M(x1，y1)在第一象限内，过M作MNx轴于点N(x1，0)，ABM为等腰三角形，且ABM120，|BM|AB|2a，MBN60，y1|MN|BM|sinMBN2asin 603a，x1|OB|BN|a2acos 602a.将点M(x1，y1)的

10、坐标代入x2a2y2b21，可得a2b2，ecaa2b2a22，选 D. 例 2【答案】A 例 3 如图，设左焦点为 F0，连接 F0A，F0B，则四边形 AFBF0为平行四边形 |AF|BF|4， |AF|AF0|4， a2. 设 M(0，b)，则4b545，1b2. 离心率 ecac2a2a2b2a24b240，32， 故选 A. 例 4.直线 AB：xc，代入x2a2y2b21，得 yb2a. A(c，b2a)，B(c，b2a) kBF1b2a0ccb2a2cb22ac. 直线 BF1：y0b22ac(xc) 6 令 x0，则 yb22a， D(0，b22a)，kADb2ab22ac3b

11、22ac. 由于 ADBF1，b22ac3b22ac1， 3b44a2c2， 3b22ac，即 3(a2c2)2ac， 3e22e 30， e2 44 3 32 32 42 3. e0，e242 322 333. 【跟踪练习】 1，答案 方法一 设椭圆的另一个焦点为 F1(c,0)，如图，连接 QF1，QF，设 QF 与直线ybcx 交于点 M.由题意知 M 为线段 QF 的中点，且 OMFQ. 又 O 为线段 F1F 的中点， F1QOM， F1QQF，|F1Q|2|OM|. 在 RtMOF 中，tanMOF|MF|OM|bc，|OF|c， 可解得|OM|c2a，|MF|bca， 故|QF|

12、2|MF|2bca，|QF1|2|OM|2c2a. 由椭圆的定义得|QF|QF1|2bca2c2a2a， 整理得 bc，ab2c2 2c，故 eca22. 方法二 设 Q(x0， y0)， 则 FQ 的中点坐标x0c2，y02， kFQy0 x0c， 依题意 y02bcx0c2，y0 x0cbc1， 7 解得 x0c2c2a2a2，y02bc2a2，又因为(x0，y0)在椭圆上， 所以c22c2a22a64c4a41，令 eca，则 4e6e21， 离心率 e22. 2 解析 在双曲线中 m2n2c2，又 2n22m2c2，解得 mc2，又 c2am，故椭圆的离心率 eca12. 3 依题意及

13、正弦定理， 得|PF2|PF1|ac(注意到 P 不与 F1，F2共线)， 即|PF2|2a|PF2|ac， 2a|PF2|1ca，2a|PF2|ca12aac， 即 e121e，(e1)22.又 0e1，因此 21e1. 4 解析 (1) 如图， FB2FA， A 为线段 BF 的中点， 23. 又12，260 ， batan 60 3， e21(ba)24，e2. 答案 C 5.把 x2a 代入x2a2y2b21 8 得 y 3b. 不妨取 P(2a， 3b)又双曲线右焦点 F2的坐标为(c,0)， kF2P3bc2a.由题意，得3bc2aba. (2 3)ac.双曲线 C 的离心率为 e

14、ca2 3. 6. e11b2a2，e21bm2am2.不妨令 e1e2，化简得ba0)，得 bmam，得 ba 时，有babmam，即 e1e2；当 ba 时，有babmam，即 e1e2.故选 B. 7、 【答案】2 【解析】 试题分析： 依题意，不妨设6,4ABAD作出图像如下图所示 则2124,2;2532,1,ccaDFDFa故离心率221ca 9 8、 【答案】23 考点：1.双曲线的几何性质；2.直线方程. 9、 【答案】B 【解析】双曲线的渐近线为 ybax，易求得渐近线与直线 x3ym0 的交点为Aama3b，bma3b，Bama3b，bma3b.设 AB 的中点为 D.由|

15、PA|PB|知 AB 与 DP 垂直，则Da2m（a3b）（a3b），3b2m（a3b）（a3b），kDP3， 解得 a24b2，故该双曲线的离心率是52. 10B,11.B 12.D 13 D 14. 15.A 16.解 (1)由椭圆的定义， 2a|PF1|PF2|(2 2)(2 2)4，故 a2. 设椭圆的半焦距为 c，由已知 PF1PF2， 因此 2c|F1F2|PF1|2|PF2|2 2 222 222 3， 即 c 3，从而 ba2c21. 10 故所求椭圆的标准方程为x24y21. (2)如图，连接 F1Q，由 PF1PQ， |PQ|PF1|，得 |QF1|PF1|2|PQ|2 12|PF1|. 由椭圆的定义，|PF1|PF2|2a，|QF1|QF2|2a， 进而|PF1|PQ