数学北京市各区一模试题分类解析3导数及其应用

1、xyO1（2011石景山一模理8）定义在上的函数满足，为的导函数，已知的图象如图所示，若两个正数，满足，则的取值范围是（）ABCD2(2011海淀一模文12).已知函数，则=_;函数图象在点处的切线方程为_解答1（2011西城一模理18）. （本小题满分14分）已知函数，其中.（）求函数的单调区间；（）若直线是曲线的切线，求实数的值；（）设，求在区间上的最大值.（其中为自然对数的底数）解：（），（），3分在区间和上，；在区间上，.所以，的单调递减区间是和，单调递增区间是. 4分（）设切点坐标为，则 7分（1个方程1分）解得，. 8分（），则， 9分解，得，所以，在区间上，为递减函数，在区间上，

2、为递增函数. 10分当，即时，在区间上，为递增函数，所以最大值为. 11分当，即时，在区间上，为递减函数，所以最大值为. 12分当，即时，的最大值为和中较大者；，解得，所以，时，最大值为， 13分时，最大值为. 14分综上所述，当时，最大值为，当时，的最大值为.2（2011西城一模文18）. （本小题满分14分）已知函数.（）求函数的极值点；（）若直线过点，并且与曲线相切，求直线的方程；（）设函数，其中，求函数在区间上的最小值.（其中为自然对数的底数）解：（）， 2分由得，3分所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 4分所以，是函数的极小值点，极大值点不存在. 5分（）设切点坐标为，则，

3、6分切线的斜率为，所以， 7分解得， 8分所以直线的方程为. 9分（），则， 10分解，得，所以，在区间上，为递减函数，在区间上，为递增函数. 11分当，即时，在区间上，为递增函数，所以最小值为. 12分当，即时，的最小值为. 13分当，即时，在区间上，为递减函数，所以最小值为. 14分 综上，当时，最小值为；当时，的最小值；当时，的最小值为.3（2011东城一模理18）（本小题共13分）已知函数（）求函数在区间上的最小值；（）证明：对任意，都有成立（）解：由，可得当单调递减，当单调递增.所以函数在区间上单调递增，又，所以函数在区间上的最小值为（）证明：由（）可知在时取得最小值，又，可知由，可

4、得所以当单调递增，当单调递减.所以函数在时取得最大值，又，可知，所以对任意，都有成立4(2011东城一模文18)（本小题共14分）已知函数，且（）求的值；（）求函数的单调区间；（）设函数，若函数在上单调递增，求实数的取值范围解：（）由，得当时，得，解之，得 4分（）因为从而，列表如下：100有极大值有极小值所以的单调递增区间是和；的单调递减区间是9分（）函数，有=，因为函数在区间上单调递增，等价于在上恒成立，只要，解得，所以的取值范围是14分5（2011朝阳一模理18）（本小题满分13分）已知函数.（）若曲线在点处的切线与直线垂直，求函数的单调区间；（）若对于都有成立，试求的取值范围；（）记.

5、当时，函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围.解: (I) 直线的斜率为1.函数的定义域为，因为，所以，所以.所以. .由解得；由解得.所以的单调增区间是,单调减区间是.4分(II)，由解得；由解得.所以在区间上单调递增，在区间上单调递减.所以当时，函数取得最小值，.因为对于都有成立，所以即可.则. 由解得.所以的取值范围是.8分(III)依题得，则.由解得；由解得.所以函数在区间为减函数，在区间为增函数. 又因为函数在区间上有两个零点，所以解得.所以的取值范围是.13分6(2011丰台一模理18).（本小题共13分）已知函数，为函数的导函数（）设函数f(x)的图象与x轴交点为A，曲线y=f

6、(x)在A点处的切线方程是，求的值；（）若函数，求函数的单调区间解：（），1分在处切线方程为，3分，（各1分）5分（）7分当时，0-0+极小值的单调递增区间为，单调递减区间为9分当时，令，得或10分（）当，即时，0-0+0-极小值极大值的单调递增区间为，单调递减区间为，；11分（）当，即时，故在单调递减；12分（）当，即时，0-0+0-极小值极大值在上单调递增，在，上单调递13分综上所述，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，当时，的单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，（“综上所述”要求一定要写出来）7(2011海淀一模理18).（

7、本小题共13分）已知函数，（）若，求函数的极值；（）设函数，求函数的单调区间；()若在（）上存在一点，使得成立，求的取值范围.解：（）的定义域为， 1分当时， ， 2分10+极小3分所以在处取得极小值1. 4分（），6分当时，即时，在上，在上，所以在上单调递减，在上单调递增； 7分当，即时，在上，所以，函数在上单调递增. 8分（III）在上存在一点，使得成立，即在上存在一点，使得，即函数在上的最小值小于零. 9分由（）可知即，即时，在上单调递减，所以的最小值为，由可得，因为，所以； 10分当，即时，在上单调递增，所以最小值为，由可得； 11分当，即时， 可得最小值为， 因为，所以，故此时，不成

8、立. 12分综上讨论可得所求的范围是：或. 13分8(2011门头沟一模理18)(本小题满分13分）已知函数（）求函数在点处的切线方程；（）求函数的单调区间和极值解：（）, , 2分所以函数在点处的切线方程为4分（）函数的定义域为令,得解得：5分当时,列表：(-1,0)0+0-0+极大极小可知的单调减区间是，增区间是(-1,0)和；极大值为,极小值为8分当时,列表：0+0-0+极大极小可知的单调减区间是，增区间是和；极大值为,极小值为11分当时,可知函数在上单增,无极值 13分9（2011石景山一模理18）（本小题满分13分）已知函数，.（）当时，求在区间上的最大值和最小值；（）若在区间上，函

9、数的图象恒在直线下方，求的取值范围解：（）当时， 2分对于，有，在区间上为增函数，5分（）令，则的定义域为 .6分在区间上，函数的图象恒在直线下方等价于在区间上恒成立. ， 8分若，令，解得：，当，即时，在上有，此时在区间上是增函数，并且在该区间上有，不合题意；当，即，同理可知，在区间上，有，也不合题意；10分若时，则有，此时在区间上恒有，从而在区间上是减函数；要使在此区间上恒成立，只须满足，由此求得的范围是.12分综合可知，当时，函数的图象恒在直线下方.13分10(2011朝阳一模文18)（本小题满分13分）已知函数，.（）若曲线在点处的切线垂直于直线，求的值；（）求函数在区间上的最小值.解

10、:（）直线的斜率为1.函数的导数为，则，所以. 5分（），.当时，在区间上，此时在区间上单调递减，则在区间上的最小值为.当，即时，在区间上，此时在区间上单调递减，则在区间上的最小值为.当，即时，在区间上，此时在区间上单调递减；在区间上，此时在区间上单调递增；则在区间上的最小值为.当，即时，在区间上，此时在区间上为单调递减，则在区间上的最小值为.综上所述，当时，在区间上的最小值为；当时，在区间上的最小值为.13分11(2011丰台文19)（本小题共14分）已知函数在上是增函数，在上是减函数（）求b的值； （）当时，曲线总在直线上方，求的取值范围解：（）， 2分在上是增函数，在上是减函数， 当时，

11、有极大值，即， 4分 6分（）， 在上是增函数，在上是减函数， ，即8分曲线在直线的上方，设， 9分在时，恒成立 ，令，两个根为，且， 10分极小值 当时，有最小值 12分令， ，由， .14分另解：，当a=0时，函数在定义域上为增函数，与已知矛盾，舍；7分当a>0时，由（）知，函数在上为增函数，在上为减函数，与已知矛盾，舍；8分当a<0时，由已知可得， 9分设， 10分 。令，两个根为， 极小值 当时，有最小值 12分令， ，由， .14分12(2011海淀一模文18). （本小题共14分）已知函数（）若，求函数的极值和单调区间；(II) 若在区间上至少存在一点，使得成立，求实数

12、的取值范围.解：（I）因为，2分当，令，得，3分又的定义域为，随的变化情况如下表：0极小值所以时，的极小值为1 . 5分的单调递增区间为，单调递减区间为；6分（II）解法一：因为，且，令，得到，若在区间上存在一点，使得成立，其充要条件是在区间上的最小值小于0即可. 7分（1）当，即时，对成立，所以，在区间上单调递减，故在区间上的最小值为，由，得，即9分（2）当，即时，若，则对成立，所以在区间上单调递减，所以，在区间上的最小值为，显然，在区间上的最小值小于0不成立11分若，即时，则有极小值所以在区间上的最小值为，由，得，解得，即. 13分综上，由(1)（2）可知：符合题意. 14分解法二：若在区间上存在一点，使得成立，即，因为, 所以，只需7分令，只要在区间上的最小值小于0即可因为，令，得9分（1）当时：极大值因为时，而，只要，得，即11分（2）当时：极小值所以，当时，极小值即最小值为，由，得，即. 13分综上，由(1)（2）可知，有.14分13(2011门头沟一模文17).（本小题满分13分）已知曲线满足下列条件：过原点；在处导数为1；在处切线方程为.()求实数的值； （）