文科高等数学2微积分的直接基础极限

1、§从阿基里斯追赶乌龟谈起数列的极限一个实际问题:如可用渐近的方程法求圆的面积？ 设有一圆, 首先作内接正四边形, 它的面积记为A1；再作内接正八边形, 它的面积记为A2；再作内接正十六边形, 它的面积记为A3；如此下去, 每次边数加倍, 一般把内接正8×2n-1边形的面积记为An. 这样就得到一系列内接正多边形的面积:A1,A2,A3,××××××,An,×××设想n无限增大（记为n®¥, 读作n趋于穷大）, 即内接正多边形的边数无限增加, 在这个过程中, 内接正多

2、边形无限接近于圆, 同时An也无限接近于某一确定的数值, 这个确定的数值就理解为圆的面积. 这个确定的数值在数学上称为上面有次序的数（数列） A1,A2,A3,×××,An,×××当n®¥时的极限.数列的概念:如果按照某一法则, 使得对任何一个正整数n 有一个确定的数xn, 则得到一列有次序的数x1,x2,x3,×××,xn,×××这一列有次序的数就叫做数列, 记为xn, 其中第n项xn叫做数列的一般项.数列的例子: :,×××

3、;,× × × 2n: 2, 4, 8,×××, 2n,×××:,×××,×××(-1)n+1:1,-1,1,×××,(-1)n+1,×××:2,×××,×××.它们的一般项依次为, 2n,(-1)n+1,.数列的几何意义:数列xn可以看作数轴上的一个动点, 它依次取数轴上的点x1,x2,x3,×××

4、;,xn,×××.数列与函数:数列xn可以看作自变量为正整数n 的函数:xn=f (n),它的定义域是全体正整数.数列的极限:数列的极限的通俗定义:对于数列xn, 如果当n无限增大时, 数列的一般项xn无限地接近于某一确定的数值a, 则称常数a是数列xn的极限, 或称数列xn收敛a. 记为. 如果数列没有极限, 就说数列是发散的.例如,;而2n, (-1)n+1,是发散的.对无限接近的刻划:xn无限接近于a等价于|xn-a|无限接近于0, 极限的精确定义:定义 如果数列xn与常a有下列关系:对于任意给定的正数e(不论它多么小),总存在正整数N, 使得对于n >

5、;N时的一切xn, 不等式 |xn-a|<e都成立,则称常数a是数列xn的极限, 或者称数列xn收敛于a, 记为或xn®a (n®¥).如果数列没有极限, 就说数列是发散的.Û"e>0, $NÎN+, 当n>N时, 有|xn-a|<e .数列极限的几何解释:例题:例1.证明.分析:|xn-1|=.对于"e >0,要使|xn-1|<e,只要,即.证明:因为"e>0, $ÎN+, 当n>N时,有 |xn-1|=,所以.例2.证明.分析:|xn-0|.对于&quo

6、t;e>0,要使|xn-0|<e,只要,即.证明:因为"e>0,$ÎN+,当n>N时,有|xn-0|=,所以.例3.设|q |<1, 证明等比数列 1,q,q2,×××,qn-1,×××的极限是0.分析:对于任意给定的e >0,要使 |xn-0|=| qn-1-0|=|q| n-1<e,只要n>log|q|e+1就可以了,故可取N=log|q|e+1。证明:因为对于任意给定的e >0,存在N= log|q|e+1,当n>N时, 有| qn-1-0|=|q|

7、 n-1<e,所以.收敛数列的性质:定理1(极限的唯一性)数列xn不能收敛于两个不同的极限.证明:假设同时有及,且a<b.按极限的定义,对于>0,存在充分大的正整数N,使当n>N时,同时有|xn-a|<及|xn-b|<,因此同时有及,这是不可能的.所以只能有a=b.数列的有界性:对于数列xn，如果存在着正数M，使得对一切xn都满足不等式 |xn|£M,则称数列xn是有界的; 如果这样的正数M不存在，就说数列xn是无界的定理2(收敛数列的有界性)如果数列xn收敛,那么数列xn一定有界.证明:设数列xn收敛,且收敛于a,根据数列极限的定义,对于e=1,

8、存在正整数N,使对于n>N时的一切xn,不等式|xn-a|<e=1都成立.于是当n>N时, |xn|=|(xn-a)+a| £| xn-a|+|a|<1+|a|.取M=max|x 1|, |x 2|,×××, |xN |, 1+| a |,那么数列xn中的一切xn都满足不等式|xn|£M.这就证明了数列xn是有界的. 定理3收敛数列的保号性) 如果数列xn收敛于a, 且a>0(或a<0), 那么存在正整数N, 当n>N时, 有xn>0(或xn<0). 证 就a>0的情形证明. 由数列极

9、限的定义, 对, $NÎN+, 当n>N时, 有,从而. 推论 如果数列xn从某项起有xn³0(或xn£0), 且数列xn收敛于a, 那么a³0(或a£0).证明 就xn³0情形证明. 设数列xn从N1项起, 即当n>N 1时有xn³0. 现在用反证法证明, 或a<0, 则由定理3知,$N 2ÎN+, 当n> N 2时, 有xn<0. 取N=max N 1, N 2, 当n>N时, 按假定有xn³0, 按定理3有xn<0, 这引起矛盾. 所以必有a³0.

10、 子数列:在数列xn中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的先后次序,这样得到的一个数列称为原数列xn的子数列.例如,数列xn: 1,-1, 1,-1,×××, (-1)n+1×××的一子数列为x2n:-1,-1,-1,×××, (-1)2n+1×××.定理3(收敛数列与其子数列间的关系) 如果数列xn收敛于a,那么它的任一子数列也收敛,且极限也是a.证明:设数列是数列xn的任一子数列.因为数列xn收敛于a,所以"e>0,$NÎN+,当n>N

11、时,有|xn-a|<e.取K=N,则当k>K时,nk³k>K=N.于是|-a|<e.这就证明了.讨论: 1.对于某一正数e0, 如果存在正整数N, 使得当n>N时, 有|xn-a|<e 0. 是否有xn®a (n®¥). 2.如果数列xn收敛,那么数列xn一定有界.发散的数列是否一定无界? 有界的数列是否收敛? 3. 数列的子数列如果发散, 原数列是否发散? 数列的两个子数列收敛, 但其极限不同, 原数列的收敛性如何?发散的数列的子数列都发散吗？4如何判断数列 1,-1, 1,-1,×××

12、, (-1)N+1,×××是发散的？§2.2 函数的极限一、函数极限的定义 函数的自变量有几种不同的变化趋势:x无限接近x0:x®x0,x从x0的左侧(即小于x0)无限接近x0:x®x0-,x从x0的右侧(即大于x0)无限接近x0:x®x0+,x的绝对值|x|无限增大:x®¥,x小于零且绝对值|x|无限增大:x®-¥,x大于零且绝对值|x|无限增大:x®+¥.1自变量趋于有限值时函数的极限通俗定义:如果当x无限接近于x0,函数f(x)的值无限接近于常数A, 则称当x

13、趋于x0时,f(x)以A为极限.记作f(x)=A或f(x)®A(当x®).分析:在x®x0的过程中,f(x)无限接近于A就是|f(x)-A|能任意小, 或者说, 在x与x0接近到一定程度(比如|x-x0|<d,d为某一正数)时,|f(x)-A|可以小于任意给定的(小的)正数e , 即|f(x)-A|<e . 反之, 对于任意给定的正数e, 如果x与x0接近到一定程度(比如|x-x0|<d,d为某一正数)就有|f(x)-A|<e, 则能保证当x®x0时,f(x)无限接近于A.定义1 设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义. 如

14、果存在常数A, 对于任意给定的正数e (不论它多么小), 总存在正数d, 使得当x满足不等式0<|x-x0|<d 时, 对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)-A|<e,那么常数A就叫做函数f(x)当x®x0时的极限, 记为或f(x)®A(当x®x0). 定义的简单表述:Û"e>0,$d>0, 当0<|x-x0|<d时, |f(x)-A|<e.函数极限的几何意义:例1.证明.证明:这里|f(x)-A|=|c-c|=0, 因为"e>0, 可任取d>0 ,当0<|x-x

15、0|<d 时,有|f(x)-A|=|c-c|=0<e ,所以.例2.证明.分析: |f(x)-A|=|x-x0|. 因此"e>0,要使|f(x)-A|<e , 只要|x-x0|<e .证明:因为"e >0,$d =e, 当0<|x-x0|<d 时, 有|f(x)-A|=|x-x0|<e, 所以.例3.证明. 分析:|f(x)-A|=|(2x-1)-1|=2|x-1|."e >0, 要使|f(x)-A|<e , 只要. 证明:因为"e >0,$d=e/2, 当0<|x-1|<

16、;d 时, 有|f(x)-A|=|(2x-1)-1|=2|x-1|<e , 所以.例4.证明.分析: 注意函数在x=1是没有定义的,但这与函数在该点是否有极限并无关系.当x¹1时,|f(x)-A|=|x-1|."e>0, 要使|f(x)-A|<e,只要|x-1|<e.证明:因为"e >0,$d=e , 当0<|x-1|<d 时, 有| f(x)-A|=|x-1|<e ,所以. 单侧极限:若当x®x0-时,f(x)无限接近于某常数A,则常数A叫做函数f(x)当x®x0时的左极限,记为或f(-)=A;

17、yy=x-1-11y=x+1xO若当x®x0+时,f(x)无限接近于某常数A,则常数A叫做函数f(x)当x®x0时的右极限,记为或f(+)=A.讨论:1.左右极限的e -d定义如何叙述? 2.当x®x0时函数f(x)的左右极限与当x®x0时函数f(x)的极限之间的关系怎样?提示:左极限的e-d定义：Û"e >0,$d >0,"x:x0-d<x<x0,有|f(x)-A|<e .Û"e >0,$d >0,"x:x0<x<x0+d,有|f(x)-A

18、|<e .Û且.例5 函数当x®0时的极限不存在.这是因为,.2自变量趋于无穷大时函数的极限 设f(x)当|x|大于某一正数时有定义. 如果存在常数A, 对于任意给定的正数e , 总存在着正数X, 使得当x满足不等式|x|>X时, 对应的函数数值f(x)都满足不等式|f(x)-A|<e,则常数A叫做函数f(x)当x®¥时的极限,记为或f(x)®A(x®¥).Û"e>0,$X>0, 当|x|>X时, 有|f(x)-A|<e. 类似地可定义和.结论:Û且.极

19、限的定义的几何意义y=f (x)AA-e-XO XxyA+e例6.证明.分析:."e >0,要使|f(x)-A|<e,只要.证明:因为"e >0,$,当|x|>X时,有,所以.直线y=0 是函数的水平渐近线.一般地,如果,则直线y=c称为函数y=f(x)的图形的水平渐近线.二、函数极限的性质定理1(函数极限的唯一性)如果极限存在,那么这极限唯一.定理2(函数极限的局部有界性) 如果f(x)®A(x®x0),那么存在常数M>0和d,使得当0<|x-x0|<d时,有|f(x)|£M.证明 因为f(x)

20、74;A(x®x0), 所以对于e=1,$d>0,当0<|x-x0|<d时,有|f(x)-A|<e=1,于是 |f(x)|=|f(x)-A+A|£|f(x)-A|+|A|<1+|A|.这就证明了在x0的去心邻域x| 0<|x-x0|<d内,f(x)是有界的.定理3(函数极限的局部保号性) 如果f(x)®A(x®x0),而且A>0(或A<0),那么存在常数d>0,使当0<|x-x0|<d时,有f(x)>0(或f(x)<0).证明: 就A>0的情形证明.因为, 所以对于

21、,$d >0,当0<|x-x0|<d 时,有ÞÞ>0.定理3¢如果f(x)®A(x®x0)(A¹0),那么存在点x0的某一去心邻域,在该邻域内,有.推论如果在x0的某一去心邻域内f(x)³0(或f(x)£0),而且f(x)®A(x®x0),那么A³0(或A£0).证明:设f(x)³0.假设上述论断不成立,即设A<0,那么由定理1就有x0的某一去心邻域,在该邻域内f(x)<0,这与f(x)³0的假定矛盾.所以A³

22、0.定理4(函数极限与数列极限的关系) 如果当x®x0时f(x)的极限存在, xn为f(x)的定义域内任一收敛于x0的数列,且满足xn¹x0(nÎN+),那么相应的函数值数列f(xn)必收敛,且. 证明 设f(x)®A(x®x0), 则"e>0,$d>0, 当0<|x-x0|<d 时,有|f(x)-A|<e.又因为xn®x0(n®¥), 故对d>0,$NÎN+, 当n>N时, 有|xn-x0|<d.由假设,xn¹x0(nÎN+)

23、. 故当n>N时,0<|xn-x 0|<d, 从而|f(xn)-A|<e. 即§无穷小与无穷大一、无穷小 如果函数f(x)当x®x0(或x®¥)时的极限为零, 那么称函数f(x)为当x®x0(或x®¥)时的无穷小. 特别地, 以零为极限的数列xn称为n®¥时的无穷小. 例如,因为, 所以函数为当x®¥时的无穷小.因为, 所以函数为x-1当x®1时的无穷小.因为,所以数列为当n®¥时的无穷小.讨论: 很小很小的数是否是无穷小？0是否为

24、无穷小？提示: 无穷小是这样的函数, 在x®x0(或x®¥)的过程中, 极限为零. 很小很小的数只要它不是零, 作为常数函数在自变量的任何变化过程中, 其极限就是这个常数本身, 不会为零.无穷小与函数极限的关系:定理1 在自变量的同一变化过程x®x0(或x®¥)中, 函数f(x)具有极限A的充分必要条件是f(x)=A+a, 其中a是无穷小. 证明: 设,"e>0,$ d>0, 使当0<|x-x0|<d 时, 有|f(x)-A|<e.令a=f(x)-A, 则a是x®x0时的无穷小, 且f

25、(x)=A+a.这就证明了f(x)等于它的极限A与一个无穷小a之和. 反之, 设f(x)=A+a, 其中A 是常数,a是x®x0时的无穷小, 于是|f(x)-A|=|a|.因a是x®x0时的无穷小,"e>0,$ d>0, 使当0<|x-x0|<d , 有|a|<e或|f(x)-A|<e 这就证明了A是f(x) 当 x®x0时的极限. 简要证明: 令a=f(x)-A, 则|f(x)-A|=|a|. 如果"e>0,$ d>0, 使当0<|x-x0|<d , 有f(x)-A|<e ,

26、就有|a|<e;反之如果"e>0,$ d>0, 使当0<|x-x0|<d , 有|a|<e , 就有f(x)-A|<e. 这就证明了如果A是f(x) 当 x®x0时的极限, 则a是x®x0时的无穷小; 如果a是x®x0时的无穷小, 则A是f(x) 当 x®x0时的极限. 类似地可证明x®¥时的情形.例如, 因为,而, 所以.二、无穷大如果当x®x0(或x®¥)时,对应的函数值的绝对值|f(x)|无限增大,就称函数f(x)为当x®x0(或x

27、74;¥)时的无穷大. 记为 (或).应注意的问题:当x®x0(或x®¥)时为无穷大的函数f(x),按函数极限定义来说,极限是不存在的.但为了便于叙述函数的这一性态,我们也说“函数的极限是无穷大”,并记作 (或).讨论:无穷大的精确定义如何叙述？很大很大的数是否是无穷大?提示:Û"M>0,$d >0,当0<|x-|<d 时, 有|f(x)|>M.正无穷大与负无穷大:,.例2 证明. 证 因为"M>0,$, 当0<|x-1|<d时, 有,所以. 提示: 要使, 只要.铅直渐近线:

28、如果,则称直线是函数y=f(x)的图形的铅直渐近线.例如,直线x=1是函数的图形的铅直渐近线.定理2 (无穷大与无穷小之间的关系)在自变量的同一变化过程中,如果f(x)为无穷大,则为无穷小;反之,如果f(x)为无穷小,且f(x)¹0,则为无穷大.三、无穷小的比较观察两个无穷小比值的极限:,.两个无穷小比值的极限的各种不同情况,反映了不同的无穷小趋于零的“快慢”程度.在x®0的过程中,x2®0比3x®0“快些”,反过来3x®0比x2®0“慢些”,而sin x®0与x®0“快慢相仿”.下面,我们就无穷小之比的极限存在或

29、为无穷大时,来说明两个无穷小之间的比较.定义:设a及b都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小.如果,就说b是比a高阶的无穷小,记为b=o(a).如果,就说b 是比a 低阶的无穷小.如果,就说b 与a 是同阶无穷小.如果,k>0,就说b是关于a的k阶无穷小.如果,就说b与a是等价无穷小,记为ab .下面举一些例子:例1.因为,所以当x®0时, 3x2是比x高阶的无穷小,即3x2=o(x)( x®0).例2.因为,所以当n®¥时,是比低阶的无穷小.例3.因为,所以当x®3时,x2-9与x-3是同阶无穷小.例4.因为,所以当x®0时,

30、 1-cos x是关于x的二阶无穷小.例5.因为,所以当x®0时, sin x与x是等价无穷小,即sin x x (x®0).关于等价无穷小的有关定理:定理1b与a是等价无穷小的充分必要条件为b=a+o(a).证明必要性设a b,则,因此b-a=o(a),即b=a+o(a).充分性设b=a+o(a),则,因此ab.简要证明:这是因为,当且仅当,b-a=o(a)当且仅当ab,b=a+o(a)当且仅当ab.例6.因为当x®0时sin xx, tan xx, 1-cos x,所以当x®0时,有sin x=x+o(x), tan x=x+o(x), 1-cos

31、x=.定理2设aa¢,bb¢,且存在,则.证明:.定理2表明,求两个无穷小之比的极限时,分子及分母都可用等价无穷小来代替.因此,如果用来代替的无穷小选取得适当,则可使计算简化.例7.求.解:当x®0时, tan 2x 2x, sin 5x 5x,所以.例8.求.解:当x®0时sin xx,无穷小x3+3x与它本身显然是等价的,所以.§极限运算法则定理1有限个无穷小的和也是无穷小.例如,当x®0时,x与sin x都是无穷小,x+sin x也是无穷小.简要证明:设a及b是当x®x0时的两个无穷小,则"e>0,$d

32、1>0及d2>0,使当0<|x-x0|<d1 时,有|a|<e;当0<|x-x0|<d2 时,有|b|<e.取d=mind1,d2,则当0<|x-x0|<d时,有|a+b|£|a|+|b|<2e.这说明a+b 也是无穷小.证明:考虑两个无穷小的和.设a及b是当x®x0时的两个无穷小,而g=a +b.任意给定的e>0.因为a是当x®x0时的无穷小,对于>0存在着d1>0,当0<|x-x0|<d1时,不等式|a|<成立.因为b 是当x®x0时的无穷小,对于&

33、gt;0存在着d2>0,当0<|x-x0|<d2时,不等式|b|<成立.取d=mind1,d2,则当0<|x-x0|<d 时, |a|<及|b|<同时成立,从而|g|=|a+b|£|a|+|b|<+=e.这就证时了g也是当x®x0时的无穷小.定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小.简要证明:设函数u在x0的某一去心邻域x|0<|x-x0|<d1内有界,即$M>0,使当0<|x-x0|<d1时,有|u|£M.又设a是当x®x0时的无穷小,即"e>0.存在d2&

34、gt;0,使当0<|x-x0|<d 2时,有|a|<e.取d=mind1,d2,则当0<|x-x0|<d 时, 有|u×a|<Me.这说明u×a 也是无穷小.例如,当x®¥时,是无穷小, arctan x是有界函数,所以arctan x也是无穷小.推论1常数与无穷小的乘积是无穷小.推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小.定理3 如果lim f (x)=A, lim g (x)=B,那么 (1) lim f (x)±g(x) = lim f (x) ±lim g (x) =A±B; (2) l

35、im f (x)×g(x) = lim f (x) × lim g (x) =A×B;(3)(B¹0).证明(1):因为lim f (x)=A, lim g (x)=B,根据极限与无穷小的关系,有f (x)=A+a,g (x)=B+b,其中a及b为无穷小.于是f (x) ±g (x)=(A + a) ± (B + b) = (A±B) + (a ±b),即f (x) ±g (x)可表示为常数(A±B)与无穷小(a ±b)之和.因此lim f (x) ±g (x) = lim

36、f (x) ± lim g (x) = A±B .推论1 如果lim f (x)存在,而c为常数,则lim cf (x)=c lim f (x).推论2如果lim f (x)存在,而n是正整数,则lim f (x)n=lim f (x)n.定理4 设有数列xn和yn.如果,那么(1);(2);(3)当(n=1, 2,×××)且B¹0时,.定理5 如果j(x)³f(x),而lim j(x)=a, lim y(x)=b,那么a³b.例1.求.解:.讨论:若,则提示:=a0x0n+a1x0n-1+××

37、×+an=P(x0).若,则.例2.求.解:.提问:如下写法是否正确？.例3.求.解:.例4.求.解:,根据无穷大与无穷小的关系得=¥.提问:如下写法是否正确？.讨论:有理函数的极限提示:当时,.当且时,.当Q(x0)=P(x0)=0时,先将分子分母的公因式(x-x0)约去.例5.求.解:先用x3去除分子及分母,然后取极限:.例6.求.解:先用x3去除分子及分母,然后取极限:.例7.求.解:因为,所以.讨论:有理函数的极限提示:.例8.求.解:当x®¥时,分子及分母的极限都不存在,故关于商的极限的运算法则不能应用.因为,是无穷小与有界函数的乘积,所以.定

38、理8(复合函数的极限运算法则)设函数y=fg(x)是由函数y=f(u)与函数u=g(x)复合而成,fg(x)在点x0的某去心邻域内有定义,若,且在x0的某去心邻域内g(x)¹u 0,则.定理8(复合函数的极限运算法则)设函数y=fg(x)是由函数y=f(u)与函数u=g(x)复合而成,fg(x)在点x0的某去心邻域内有定义.若g(x)®u0(x®x0),f(u)®A(u®u0),且在x0的某去心邻域内g(x)¹u0,则.简要证明 设在x|0<|x-x0|<d0内g(x)¹u0.要证"e>0,$d&

39、gt;0, 当0<|x-x0|<d时, 有|fg(x)-A|<e. 因为f(u)®A(u®u0), 所以"e>0,$h>0, 当0<|u-u0|<h时, 有|f(u)-A|<e. 又g(x)®u0(x®x0), 所以对上述h>0,$d1>0, 当0<|x-x0|<d1时, 有|g(x)-u0|<h.取d=mind0,d1, 则当0<|x-x0|<d时, 0<|g(x)-u0|<h, 从而|fg(x)-A|=|f(u)-A|<e.注:把定理

40、中换成或, 而把换成可类似结果.把定理中g(x)®u0(x®x0)换成g(x)®¥(x®x0)或g(x)®¥(x®¥), 而把f(u)®A(u®u0)换成f(u)®A(u®¥)可类似结果.例如例9 求.解 是由与复合而成的.因为, 所以.§1.7极限存在准则 两个重要极限准则I 如果数列xn、yn及zn满足下列条件: (1)yn£xn£zn(n=1,2,3,×××),(2),那么数列xn的极限存在

41、, 且.证明:因为,以根据数列极限的定义,"e>0,$N 1>0, 当n>N1时, 有|yn-a|<e;又$N 2>0, 当n>N2时, 有|zn-a|<e. 现取N=maxN 1,N 2, 则当n>N时, 有|yn-a|<e,|zn-a|<e 同时成立, 即a-e<yn<a+e,a-e<zn<a+e,同时成立.又因yn£xn£zn, 所以当n>N时, 有a-e<yn£xn£zn<a+e,即 |xn-a|<e.这就证明了. 简要证明:由条

42、件(2),"e>0,$N>0, 当n>N时, 有 |yn-a|<e及|zn-a|<e,即有a-e<yn<a+e,a-e<zn<a+e,由条件(1), 有a-e<yn£xn£zn<a+e,即 |xn-a|<e.这就证明了.准则I¢如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件:OCADB1x (1) g(x)£f(x)£h(x); (2)lim g(x)=A, lim h(x)=A;那么lim f(x)存在, 且lim f(x)=A. 注 如果上述极限过程是x&#

43、174;x0, 要求函数在x0的某一去心邻域内有定义, 上述极限过程是x®¥, 要求函数当|x|>M时有定义,准则I 及准则I¢ 称为夹逼准则.下面根据准则I¢证明第一个重要极限:.证明 首先注意到, 函数对于一切x¹0都有定义. 参看附图: 图中的圆为单位圆,BCOA,DAOA. 圆心角ÐAOB=x (0<x<). 显然 sin x=CB,x=,tan x=AD. 因为 SDAOB<S扇形AOB<SDAOD,所以sin x<x<tan x,即 sin x<x<tan x.不等号各

44、边都除以sin x, 就有,或.注意此不等式当-<x<0时也成立. 而, 根据准则I¢,.简要证明:参看附图, 设圆心角ÐAOB=x (). 显然BC<AB<AD, 因此 sin x<x<tan x,从而 (此不等式当x<0时也成立).因为, 根据准则I¢,. 应注意的问题: 在极限中, 只要a(x)是无穷小, 就有.这是因为, 令u=a(x), 则u®0, 于是.,(a(x)®0).例1.求.解:.例2. 求.解:=.准则II 单调有界数列必有极限.如果数列xn满足条件x 1£x 2

45、3;x 3£×××£xn£xn+1£×××,就称数列xn是单调增加的; 如果数列xn满足条件x 1³x 2³x 3³××׳xn³xn+1³×××,就称数列xn是单调减少的. 单调增加和单调减少数列统称为单调数列. 如果数列xn满足条件xn£xn+1,nÎN+,在第三节中曾证明: 收敛的数列一定有界. 但那时也曾指出: 有界的数列不一定收敛. 现在准则II表

46、明: 如果数列不仅有界, 并且是单调的, 那么这数列的极限必定存在, 也就是这数列一定收敛.准则II的几何解释:单调增加数列的点只可能向右一个方向移动, 或者无限向右移动, 或者无限趋近于某一定点A, 而对有界数列只可能后者情况发生.根据准则II,可以证明极限存在.设,现证明数列xn是单调有界的. 按牛顿二项公式, 有,.比较xn,xn+1的展开式, 可以看出除前两项外,xn的每一项都小于xn+1的对应项, 并且xn+1还多了最后一项, 其值大于0, 因此xn<xn+1,这就是说数列xn是单调有界的. 这个数列同时还是有界的. 因为xn的展开式中各项括号内的数用较大的数1代替, 得.根据

47、准则II,数列xn必有极限.这个极限我们用e来表示.即.我们还可以证明.e是个无理数,它的值是e=2.×××.指数函数y=ex以及对数函数y=ln x中的底e就是这个常数.在极限中,只要a(x)是无穷小, 就有.这是因为,令,则u®¥,于是.,(a(x)®0).例3.求.解:令t=-x,则x®¥时,t®¥.于是.或 .§1. 8 函数的连续性与间断点一、函数的连续性变量的增量:设变量u从它的一个初值u1变到终值u2,终值与初值的差u2-u1就叫做变量u的增量,记作Du,即Du=u2-u1.设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域内是有定义的.当自变量x在这邻域内从x0变到x0