随机信号分析 第一章随机信号基础2

1、第一章:随机信号基础1.11.1 随机变量要点回顾随机变量要点回顾1.1.1 随机变量的分布率随机变量的分布率 一、随机变量的定义一、随机变量的定义 随机变量定义：随机变量定义：设设E是随机试验，它的样本空间是是随机试验，它的样本空间是S，如果对，如果对S中的每个基本事中的每个基本事件件e，都有唯一的实数值，都有唯一的实数值X（e）与之对应，则称与之对应，则称X（e）为随机变量，简记为为随机变量，简记为X。 1、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）.2、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表、在有些试验中，试验结果

2、看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果示它的各种结果.也就是说，也就是说，把试验结果数值化把试验结果数值化. 这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值函数这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值函数.e.X(e)sR这种实值函数与在高等数这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函数一学中大家接触到的函数一样吗？样吗？（1）它随试验结果的不同而取不同的值，因而在试验之前只知道它可能）它随试验结果的不同而取不同的值，因而在试验之前只知道它可能取值的范围，而不能预先肯定它将取哪个值取值的范围，而不能预先肯定它将取哪个值.（2）由于试验结果的出现具有一定的概率，于是这种实值函数取每个值

3、）由于试验结果的出现具有一定的概率，于是这种实值函数取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率和每个确定范围内的值也有一定的概率. 引入随机变量的意义引入随机变量的意义 （1）有了随机变量）有了随机变量,随机试验中的各种事件，就可以通过随机变量的关系随机试验中的各种事件，就可以通过随机变量的关系式表达出来式表达出来. （2）可见，随机事件这个概念实际上是包容在随机变量这个更广的概念）可见，随机事件这个概念实际上是包容在随机变量这个更广的概念内内. 也可以说，也可以说，随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点，一种动态

4、的观点，就象数学分析中常量与变量的区别那样就象数学分析中常量与变量的区别那样. （3） 随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件. 引入随机变引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩大量后，对随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究为对随机变量及其取值规律的研究.事件及事件及事件概率事件概率随机变量及其随机变量及其取值规律取值规律随机变量的分类随机变量的分类 通常分为两类：通常分为两类： 如如“取到次品的个数取到次品的个数”， “收到的呼叫数收到的呼叫数”等等.随随机机变变

5、量量离散型随机变量离散型随机变量连续型随机变量连续型随机变量所有取值可以逐个所有取值可以逐个一一列举一一列举例如，例如，“电视机的寿命电视机的寿命”，实际中常遇到的，实际中常遇到的“测量误差测量误差”等等.全部可能取值不仅全部可能取值不仅无穷多，而且还不能无穷多，而且还不能一一列举，而是充满一一列举，而是充满一个区间一个区间. 设设 X 是一个是一个 r.v，称，称)()(xXPxF)(x为为 X 的分布函数的分布函数. 记作记作 X F(x) 或或 FX(x).1、定义：、定义： |xX x 如果将如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数 F(x)

6、 的值就表示的值就表示 X落在区间落在区间的概率的概率.xxXPxF),()( 问：问： 在上在上 式中，式中，X, x 皆为变量皆为变量. 二者有什么区别？二者有什么区别？ x 起什么作用？起什么作用？ F(x) 是不是概率？是不是概率？ X是随机变量是随机变量, x是参变量是参变量.F(x) 是是r.v X取值不大于取值不大于 x 的概率的概率. 由定义，对任意实数由定义，对任意实数 x1x2，随机点落在区间（，随机点落在区间（ x1 , x2 的概率为：的概率为：P x1X x2 = P X x2 - P X x1 = F(x2)-F(x1) 因此，只要知道了随机变量因此，只要知道了随机

7、变量X的分布函数，的分布函数， 它的统计特性就可以得到全它的统计特性就可以得到全面的描述面的描述.xxXPxF),()( 分布函数是一个普通的函数，正是通过它，我们可以用数学分析的工具来分布函数是一个普通的函数，正是通过它，我们可以用数学分析的工具来研究研究 随机变量随机变量.2、分布函数的性质、分布函数的性质()lim ( ) 0 xFF x ()lim ( ) 1xFF x (1) 0F(x)1, x+;(2) (3) F(x) 非降，即若非降，即若 x1x2，则，则F(x1) F(x2) ;(4) F(x) 右连续，即右连续，即 )()(lim00 xFxFxx 如果一个函数具有上述性质

8、，则一定是如果一个函数具有上述性质，则一定是某个某个r.v X 的分布函数的分布函数. 也就是说，性质也就是说，性质(1)-(4)是鉴别一个函数是否是某是鉴别一个函数是否是某r.v的分布函数的分布函数的充分必要条件的充分必要条件.例例 设有函数设有函数 F(x)其它00sin)(xxxF试说明试说明F(x)能否是某个能否是某个r.v 的分布函数的分布函数. 解：解： 注意到函数注意到函数 F(x)在在 上下降，上下降，不满足性质不满足性质(1)，故，故F(x)不能是分布函数不能是分布函数.,2或者或者0)(lim)(xFFx不满足性质不满足性质(2)， 可见可见F(x)也不也不能是能是r.v

9、的的分布函数分布函数. 例例. 在区间在区间 0，a 上任意投掷一个质点，以上任意投掷一个质点，以 X 表示这个表示这个质点的坐标质点的坐标. 设这个质点落在设这个质点落在 0, a中任意小区间内的概率中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比与这个小区间的长度成正比，试求，试求 X 的分布函数的分布函数.0aaxaxaxxxF, 10,0, 0)(（二）概率密度函数（二）概率密度函数1 . 连续型随机变量、概率密度定义连续型随机变量、概率密度定义 设设F（x）是随机变量是随机变量X的分布函数，若存在一个非负的函数的分布函数，若存在一个非负的函数f(x),对任何实对任何实数数x，有，有 ，则

10、称，则称X为连续型随机变量，同时称为连续型随机变量，同时称f(x)为为X的概率密的概率密度函数，简称概率密度。度函数，简称概率密度。dttfxFx )()( f (x)xoy由定义知由定义知：1. 连续型随机变量的分布函数连续型随机变量的分布函数F(x)是连续函数是连续函数.2. 对对f(x)的连续点，有的连续点，有 )()( xfxF由此由此 F(x)与与f(x)可以互推。可以互推。2、概率密度函数的性质、概率密度函数的性质1.0)(xf2.1)(dxxf这两条性质是判定一个这两条性质是判定一个函数函数 f(x)是否为某是否为某r.vX的的概率密度函数的充要条件概率密度函数的充要条件.o f

11、 (x)xy3dxxfxFxFxXxPxx211221)()()()( f (x)xoyx1x24. 对对 f(x)的进一步理解的进一步理解: 若若x是是 f(x)的连续点，则：的连续点，则：xxxXxPx )(lim0 x)(lim0 xxxxdttf=f(x)故故 X的密度的密度 f(x) 在在 x 这一点的值，恰好是这一点的值，恰好是X落在区间落在区间 上上 的概率的概率 与区间长度与区间长度 之比的极限之比的极限. 这里，这里，如果把概率理解为质量，如果把概率理解为质量， f (x)相当于线密度相当于线密度.,(xxx x f (x)xo 要注意的是，密度函数要注意的是，密度函数 f

12、(x)在某点处在某点处a的高度，并不的高度，并不反映反映X取值的概率取值的概率. 但是，这个高度越大，则但是，这个高度越大，则X取取a附近的附近的值的概率就越大值的概率就越大. 也可以说，在某点密度曲线的高度反也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度映了概率集中在该点附近的程度.若不计高阶无穷小，有：若不计高阶无穷小，有：xxfxxXxP )(它表示随机变量它表示随机变量 X 取值于取值于 的概率近似等的概率近似等于于 .,(xxxxxf)(xxf)(在连续型在连续型r.v理论中所起的作用与理论中所起的作用与kkpxXP)(在离散型在离散型r.v理论中所起的理论中所起的作用

13、相类似作用相类似.需要指出的是需要指出的是:连续型连续型r.v取任一指定值的概率为取任一指定值的概率为0.即：即：, 0)( aXPa为任一指定值为任一指定值这是因为这是因为. 0),()()()(0 xxaFaFaXxaPaXP 由于连续型随机变量的分布函数是连续函数由于连续型随机变量的分布函数是连续函数， 00)()(limxaFaFx从而从而P( X = a )=0. P( X = a )=0的充分必要条件是的充分必要条件是F( x )是连续函数。是连续函数。任意任意aR。由此得，由此得，1) 对连续型对连续型 r.v X,有有)()(bXaPbXaP)(bXaP)(bXaP2) 由由P

14、(X=a)=0 可推知可推知 1)()()(aXPdxxfaRXP而而 X=a 并非不可能事件并非不可能事件并非必然事件并非必然事件aRX称称A为为几乎不可能事件几乎不可能事件，B为为几乎必然事件几乎必然事件.可见，可见，由由P(A)=0, 不能推出不能推出 A由由P(B)=1, 不能推出不能推出 B=S 由于连续型由于连续型 r.v唯一被它的唯一被它的密度函数密度函数所确定所确定. 所以，若已知密度函数，所以，若已知密度函数，该连续型该连续型 r.v的概率规律就得到了全面描述的概率规律就得到了全面描述. f (x)xo下面给出几个下面给出几个r.v的例子的例子.例例 设设其它, 021,21

15、0,)(xxxxxfX求求 F(x).由于由于f(x)是分段是分段表达的，求表达的，求F(x)时时注意分段求注意分段求.xdttfxF)()(其它, 021,210,)(xxxxxfXxdttfxF)()(=01xtdt0 xdtttdt110)2(0 x10 x21 x2xF(x)2, 121,21210,20, 0)(22xxxxxxxxF即即对连续型对连续型r.v，若已知若已知F(x)，我们通过求导也可求出我们通过求导也可求出 f (x)，请看下例请看下例.1110002xxxxxF,)(例例3 设设r.vX的分布函数为的分布函数为 (1) 求求X取值在区间取值在区间 (0.3,0.7)

16、的概率；的概率； (2) 求求X的概率密度的概率密度.解解: (1) P(0.3X0.7)=F(0.7)-F(0.3) =0.72-0.32=0.4 (2) f(x)=dxxdF)(其它, 010,2xx注意到注意到F(x)在在1处导数不存在，根据改变被积函数处导数不存在，根据改变被积函数在个别点处的值不影响积分结果的性质，可以在在个别点处的值不影响积分结果的性质，可以在 没意义的点处，任意规定没意义的点处，任意规定 的值的值.)(xF)(xF一维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，我们重点讨论二维随机变量 . 二维随机变量用（X，Y）表示下面着重讨论

17、二维r.v(X，Y),多维随机变量可类推。二维随机变量（X,Y）X和Y的联合分布函数),(),(yYxXPyxFyx , )()(xXPxFxX的分布函数一维随机变量X两事件同时发生yYxX 定义：设（X，Y）二维随机变量，x, y为任意实数，则二元函数),(),(yYxXPyxF 称为（X，Y）的分布函数，或称为X和Y的联合分布函数。几何意义：如将( X，Y )看成是平面上随机点的坐标，则F(x, y)就是(X，Y)落在以点(x, y)为顶点的左下方无穷矩形域内的概率。 xoy(x,y)利用分布函数，对任意实数 2121yyxx,则 ),(),(),(),(),(112112222121yx

18、FyxFyxFyxFyYyxXxPxoy( x1, y1)( x1, y2 )( x2, y2 )( x2, y1 )分布函数性质：1.对任意实数x, y有0F(x, y)1;,),(),(),(),(21212121yyyxFyxFxxyxFyxF2.即F(x, y)对每个自变量都是单调不减的；3对任意x, y有 ;),(lim),(,),(lim),(,),(lim),(,),(lim),(1000yxFFyxFFyxFxFyxFyFyxyxyx4 );,(),(),(),(00yxFyxFyxFyxF即F(x,y)对每个自变量都是右连续的。5对任意实数 ，有2121yyxx,.),(),

19、(),(),(011211222yxFyxFyxFyxF若F(x ,y) 满足上述性质，则其必为某一二维r.v (X ,Y)的分布函数。 如果二维r.v(X ,Y)的分布函数F(x ,y)已知，可以分别求r.v X和Y的分布函数 ).(),(yFxFYX即： ),(lim),(),()()(yxFxFYxXPxXPxFyX),(lim),(),()()(yxFyFyYXPyYPyFxY称 为分布函数F(x ,y)的边缘分布函数，或二维r.v (X, Y)关于X和Y的边缘分布函数。).(),(yFxFYX( | )( , )/( )YXYXFy xFx yFx( | )( , )/( )YXYX

20、fy xfx yfx在X x的条件下，随机变量Y的条件概率分布函数和条件概率密度函数可表示可分别表述：与概率论中定义两个事件独立相似，我们定义两个随机变量X，Y独立的条件，对于所有x,y，若：( | )( )XXfy xfx( | )( )YYfy xfx成立，则称X，Y是相互统计独立的两个随机变量。两个随机变量X，Y相互统计独立的充要条件( , )( )( )XYYXfx yfy fx1.2 随机变量的数字特征v1.1.随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望 概率分布完全决定了 的概率性质和其它一切概率论特征。vrvrvXr的数字特征讨论的必要性是什么？ （1）怎样表现）怎样表现 取值

21、取值性质；性质；vr（2）实际应用中，有时人们不需要知道或不知道）实际应用中，有时人们不需要知道或不知道 ，只需了解只需了解 的其它概率特征的其它概率特征dfvr的vr（3）概率分布很难求概率分布很难求综上所述，研究综上所述，研究 的概率特征即数字特征具有十分重要意义。它构成概的概率特征即数字特征具有十分重要意义。它构成概率论和数理统计的主要研究对象。率论和数理统计的主要研究对象。vr这一数字特征描述了这一数字特征描述了 取值的集中位置，它是一种概率平均值。取值的集中位置，它是一种概率平均值。vrv定义定义1 1 设离散型随机变量X的分布列为P(X=xk)=pk，k=1,2, 若级数1kkkp

22、xv绝对收敛，即 1|kkkpxv则称该级数为离散型随机变量X的数学期望数学期望或均值均值，记为EX或E(X)，即1kkkpxEXv定义定义2 2 设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，若积分dxxxf)(v绝对收敛，即 dxxfx)(|v则称该广义积分为连续型随机变量X的数学期望数学期望或均值均值，记为EX或E(X)，即dxxxfEX)(v例例8 8 设随机变量X的概率密度为 ., 0,0,2)(2其它xxxfv求E(sinX). 2sin22sin)(sin)(sin0202xdxxdxxxdxxxfXEv解解 v例例9 9 设在国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量是随机变量X(单位

23、为吨)，它在 2000,4000 上服从均匀分布的，又设每售出这种商品一吨，可为国家挣得外汇3万元，但假如销售不出去而囤积于仓库，则每吨需要浪费保养费1万元，问需要组织多少货源，才能使国家的收益最大.v解解 设y为预备出口的该种商品的数量，由已知条件X在 2000,4000 上服从均匀分布可知，这个数量y可以只考虑介于2000与4000之间的情况.v用Z表示国家的收益(单位为万元)，则由题设可得 .),(3,3)(时当时当yXXyXyXyXgZ(, )3 ,3(),.3 ,4,.Zg X yyXyXyXXyyXyXyXy当时当时当时当时v下面求EZ，并求使EZ达到最大的y值. 40002000

24、26226(, )( )( )11(4)320002000170004 10 10001(3500)(35004 10 )1000XyyEZEg X yg x fx dxxydxydxyyy v故当y=3500时，EZ达到最大值8250.因此，组织3500吨这种商品是最佳的决策.v定理定理: :设Z=g(X,Y)，g(x,y)是连续函数v ()若(X, Y)是二维离散型随机变量，分布列为pij =P(X=xi ,Y=yj)，i,j=1,2,v且 11| ),(|ijijjipyxgv则有 11),(),(ijijjipyxgYXEgEZv()若(X,Y)是二维连续型随机变量，概率密度为f(x,

25、y)，且 dydxyxfyxg),(| ),(|v则有 dydxyxfyxgYXEgEZ ),(),(),(v可以得到由(X,Y)的概率密度f(x,y)求X与Y的数学期望的公式： ( , )( , )EXxf x y dxdyEYyf x y dxdy v例例10 10 设(X,Y)在区域A上服从均匀分布，其中A为x轴、y轴和直线x+y+1=0所围城的区域(图5.1)，求EX，E(3X+2Y)，E(XY). xyOx+y+1=0Av解解 (X,Y)的概率密度为.),(, 0,),(, 2),(AyxAyxyxfdydxyxxyfEXYdydxyxfyxYXEdydxyxxfEX ),(),()

26、23()23(),(0001113222(1)02210(1)1333xE Xd xxd yxxd xxx 0011( 32 )( 32 ) ( , )1( 32 ) 23xEXYxy f x y dxdydxxydy 00111212xEXYdxxydy v随机变量的数学期望的性质随机变量的数学期望的性质 v() EC=C，C为常数； v() E(CX)=CEX，C为常数；v() E(X1+X2+Xn)=EX1+EX2+EXn ；v()若X1,X2,Xn相互独立，则E(X1X2Xn)= EX1EX2EXn. 2 2 方差方差 v定义定义: :设X是一个随机变量，若E(XEX)2存在，则称E(

27、XEX)2是X的方差方差，记作DX，即 DX=E(XEX)2.v同时，称方差的平方根是X的标准差标准差或根根方差方差，记作X，即DXXv()()离散离散型型随机变量的情况随机变量的情况 12)(kkkpEXxDX其中P(X=xk)=pk，k=1,2,v()()连续型连续型随机变量的情况随机变量的情况 dxxfEXxDX)()(2其中fX(x)为随机变量X的概率密度. v关于方差的计算，常利用如下的公式DX=EX2(EX)2.v这个公式可用的数学期望的性质来证明.v例例 (指数分布指数分布)设XE()，即连续型随机变量X的概率密度为. 0, 0, 0,)(xxexfx其中是正常数，求DX.v解解

28、 EX=1/ /，而 2222)(dxxfxEX22222211()( ).DXEXEX222200222000( )02xxxxxxEXx f x dxxedxx ed xx dex eedxxedx 2000220022222022220 xxxxxxxEXxedxxdexeedxed xdee v随机变量的方差的性质随机变量的方差的性质 v() DC=0，C为常数；v() D(CX)=C2DX，C为常数；v()若X1,X2,Xn相互独立，则D(X1+X2+Xn)= DX1+DX2+DXn；v() DX=0的充要条件是X取某一常数值a的概率为1，即 P(X=a)=1，a=EX.v在上面的性

29、质中，均假设方差是存在的.v例例6 6 设 XB(n,p)，求DX.v解解 设在设在n重重伯努利伯努利试验中，成功的次数试验中，成功的次数为为Y，而在每次试验，而在每次试验成功的概率为成功的概率为p，则则Y与与X有相同的分布，从而有相同的有相同的分布，从而有相同的方差方差(0(0p0、DY0 ，则称 v为X与Y的相关系数相关系数，记作XY ，即(, )()()XYCov X YE XEXYEYDXDYDXDYv定理：定理：设是X与Y的相关系数，则 ()| | |1； ()| | |=1的充分必要条件是P(Y=a+bX)=1， 其中a、b为常数.v定义：定义：若X与Y的相关系数=0，则称X与Y不

30、相关不相关.v定理：定理：随机变量X与Y不相关与下面的每一个结论都是等价的.() Cov(X,Y)=0；() D(XY)=DX+DY；() E(XY)=EXEY.五五. . 统计独立与不相关统计独立与不相关 v注意，注意，随机变量随机变量X与与Y的不的不相关和相关和X与与Y相互独立是两个不相相互独立是两个不相同的概念同的概念. .随机变量随机变量X与与Y统计独立的充要条件：统计独立的充要条件： ( , )( )( )XYXYfx yfx fy(|)( , )/( )( )XYYXf X Yfx yfyfx X与与Y的不的不相关是指相关是指X与与Y之间不存在线性关系，不是说它们之间不存在之间不存

31、在线性关系，不是说它们之间不存在其它关系其它关系. .即由即由X与与Y的不的不相关，推不出相关，推不出X与与Y相互独立相互独立. .0()( ) 0 XYXYXYXYrCEXE XYE YRE X E YRE X E Yv注意，注意，随机变量随机变量X与与Y统计独立，随机变量统计独立，随机变量X与与Y一定不相关一定不相关. .v随机变量随机变量X与与Y不相关，随机变量不相关，随机变量X与与Y不一定统计不一定统计独立，独立，v例例1 1设连续型随机变量XN(0,1)，Y=X2，求X与Y的相关系数XY . v解解 因XN(0,1)，故EX=0，于是Cov(X,Y)=E(XY)EXEY得 Cov(X

32、,Y)=E(XY)=EX3而 EX3 =0.故 Cov(X,Y)=0即XY =0. dtetdtetxtxdexxdexdxexdxexdxexEXttxxxxx2122122/2212212121210022202220220320323322222令022022222222220000003dtetedteteetddetdte tdte tEXtttttttt0 11222222003dtedteEXtt1.1.2 1.1.2 随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布1.1.一维一维随机变量函数的分布随机变量函数的分布 v设g(x)是定义在随机变量X的一切可能值x的集合上的函数，若随机变

33、量Y随着X取x的值而取y=g(x)，则称随机变量Y为随机变量X的函数，记为Y=g(X). v例如，设X为分子运动的速率，则分子运动的动能 Y=1/ /2mX2(m为分子的质量)是随机变量X的函数；v设M为随机地落在以原点O为圆心R为半径的圆周上的质点，则M在x轴上的投影X=RcosZ(Z为x轴与OM的夹角)为随机变量Z的函数. v定理定理 设X为连续型的随机变量其概率密度为fX(x)， y=g(x)是严格单调的连续函数，其反函数x=h(y)有连续的导数h(y)，则Y=g(X)也是连续型的随机变量，其概率密度为| )(|)()(yhyhfyfXYv证明证明 不妨设y=g(x)是严格单调递增的连续

34、函数，设Y的分布函数为FY(y)，则 ( )( )()( ()( )( )( ( )( )( ( ) ( )Yh yyyXXXFyP YyP g XyP Xh yfx dxfh u dh ufh u h u duv故Y为连续型的随机变量，其概率密度为| )(|)()(yhyhfyfXYv定理定理 设X为连续型的随机变量其概率密度为fX(x)， y=g(x)在不相交的区间I1,I2,In上是严格单调的连续函数，反函数分别为x=h1(y),x=h2(y), x=hn(y)，它们都有连续的导数，则Y=g(X)也是连续型的随机变量，其概率密度为niiiXYyhyhfyf1| )(|)()(v例例3 3

35、 设随机变量XN(,2)，求Y=aX+b(a,b为常数，a0)的概率密度？v解解:22222()2()2111( )()|212|y baYXyabaybfyfeaaaeav故Y=aX+bN(a+b,a22)，这说明正态随机变量的线性函正态随机变量的线性函数仍然是正态变量数仍然是正态变量. v例例 设随机变量X的概率密度其它, 00,2)(2xxxfXv求Y=sinX的概率密度？ v解解 函数y=sinx在(0,/ /2)上严格单调递增，反函数x=h1(y)=arcsiny；v函数y=sinx在 / /2,)上严格单调递减，反函数x=h2(y)=arcsiny，故 | )(|)(| )(|)(

36、)(2211yhyhfyhyhfyfXXY其它, 0arcsin0 ,arcsin0,11)arcsin(211arcsin22222yyyyyy其它, 010,122yy2.2.二维二维随机变量函数的分布随机变量函数的分布 已知二维随机变量 的联合概率密度 , 以及二维随机变量 与 之间的函数关系 它们的反函数存在: 可以求出 的联合概率密度.即:下面通过具体的例子来说明二维函数变换的应用. 12(,)XX12( ,)Xfx x12( ,)Y Y12(,)XX11122212(,)(,)YXXYXX11122212( ,)( ,)Xh Y YXh Y Y12( ,)Y Y1212112212

37、11122212(,)( ,)( (,),(,)YXXfy yJ fx xJ fh y yh y yxxyyJxxyy例:设 是相互独立的高斯变量,数学期望为零,方差 , 和 为随机变量,且求 和解: 由于 互相独立,它们的联合概率密度由于给出的条件即为反函数,可直接求出雅可比行列式: ,X Y222XYAcos0,02sinXAAYA ( , ),( )AAfafa( , )fa,X Y222221( , )( )( )2xyXYXYfx yfx fyecossinsincosxxaaJayyaa2222222200( )222aaaaafedaed再利用概率密度的性质求A的概率密度：2222222220( )2aaAaafaede这就是瑞利分布，同理，可利用概率密度的性质求 的概率密度：222222222( , )22xyaAaafaee令：011( )22tfe dt22/ 2ta可见。 为在 上均匀分布的随机变量 0,2 例:已知二维随机变量 的联合概率密度 ，求 之和 的概率密度。12(,)XX12( ,)Xfx x12,XX12YXX解：设