第七单元空间解析几何与向量代数

1、一、填空题1、已知与垂直，且，则_,_。2、一向量与轴和轴成等角，而与轴组成的角是它们的两倍，那么这个向量的方向角为_。3、。4、若两平面与互相垂直，则。5、通过两点(1,1,1)和(2,2,2)且与平面垂直的平面方程是_。6、已知从原点到某平面所作的垂线的垂足为点()，则该平面方程为_。7、设平面，若过点，则又若与平面成角，则。8、一平面过点(),它在轴上的截距为，在轴上的截距为，则该平面的方程是_。9、若直线与垂直，则。10、设则。11、过点且与直线垂直的平面方程是_。12、已知两条直线的方程是则过且平行于的平面方程是_。二、选择题1、下列命题，正确的是（）(A)是单位向量； (B)非单位

2、向量；(C)； (D)。2、若直线和直线相交，则（）(A)1； (B)； (C)； (D)。3、母线平行于轴且通过曲线的柱面方程是（）(A)； (B)； (C)； (D)。4、旋转曲面的旋转轴是（）(A)轴； (B)轴； (C)轴； (D)直线。5、两平面与重合的充分必要件是（）。(A)； (B)；(C)； (D)。6、设（其中均为非零向量），则（）(A) 0 ； (B)非零常数；(C)； (D)。7、设有直线则与的夹角为（）(A) ； (B) ； (C) ； (D)。8、设有直线及平面则直线（）(A)平行于； (B)在上； (C)垂直于； (D)与斜交。9、设一平面经过原点及，且与平面垂直，

3、则此平面方程为（）（）；（）；（）；（）。10、已知向量的模分别为且，则（）（A）；（B）；（C）；（D）。11、设有非零向量，若，则必有（）（）；（）；（）；（）。1、设满足，则（）（A）0 ；（B）；（C）；（D）。三、计算解答1、设单位向量、满足试证：2、试求点的关于(1)平面的对称点；(2)关于直线的对称点。3、求半径为3，且与平面相切点的球面方程。4、求过点并与下面两直线和都垂直的直线方程。5、求过点，平行于平面，且与直线相交的直线方程。6、求过直线且垂直于平面的平面方程。7、求平行于平面，而与三坐标面所构成的四面体体积为一个单位的平面。8、求通过两平面和的交线，且与平面垂直的平面方

4、程。9、判断下列两直线和是否在同一平面内，若是，则求两直线的交点；若不是，试求它们的最短距离。第七单元 空间解析几何与向量代数测试题详细解答一、填空题1、 , 由向量加法的平行四边形法则及勾股定理易知2、或由已知而或或或3、原式=4、。5、设所求方程为，则6、到原点的向经为，取则所求平面方程为既7、将代入平面方程，得解得取则两边平方解得或(舍去)。8、设所求平面截距式方程为将代入得解得所以所求平面为，即。9、取则由得10、这是向量运算问题，先用叉乘对加法的分配律得原式=，其中。再用点乘对加法的分配律得原式=。由于只要其中有两个向量相同，又中相邻两向量互换则变号，于是原式=。11、所求平面的法向

5、量平行于所给直线的方向向量，取，则所求平面方程为，即12、所求平面过直线因而过上的点过平行于于是平行于不共线的向量（分别是直线与的方向向量）。于是平面的方程，即为所求。二、选择题1、选（C）因所以A错；所B错；所以选C；方向与相同,方向与相同所以D错。2选（D）令则代入得解得。3、选（B）由母线平行于轴，消去得4、选（A）由旋转曲面的定义可知，是由或绩轴旋转而得。5、选（C）6、选（A）由向量加法的三角形法则知，故。7、选（C）这实质是求两个向量的夹角问题。与的方向向量分别为与与的夹角的余弦位8、选（C）这是讨论直线的方向向量与平面的法向量的相互关系问题。直线的方向向量平面的法向量。、选（）既

6、求过原点，与两个不同的向量（一个是从原点到点的向量，另一是平面的法向量平行的平面，即，既为所求。10、选（C），所以，所以，则。11、选（B）由向量加法的平行四边形法则及两向量垂直及矩形的对角线相等得，。12、选（C）两边同时叉乘向量得，解得，所以。三、计算解答1、证明：等式两边分别点乘得解得。等式两边分别叉乘得解得将已上结果代入并简化得左边右边。2、解：（1）过点且垂直于平面的直线方程为其参数方程为代入平面方程得交点坐标为设A关于的对称点为 B则即对称点坐标为（2）解：过点A旦垂直与直线的平面方程为即将直线的参数方程代入平面方程，解得直线与平面交点坐标为对称坐标为。3、解：设球心坐标为，则垂

7、直平面（1）又在球面上，（2）联合（1）（2）解得或。所以球面方程为或。4、解：设所求直线方程为直线与的方向矢量分别为由题意有，故令，则所求直线为5、解：设所求直线方程为平面的矢量，由直线与平面平行，所以（*）因为两直线相交，故有（*）解方程（*），（*）得令，得故所求直线为6、解：直线的方向矢量，已知平面的法矢量为，设所求平面的法矢量，由题意且，故可令于是所求平面方程为即。7、解：设所求平面为由题设有由方程（*）代入（*），得8、解：设所求平面为即由于该平面平面，所以它们的法矢量一定互相垂直，于是取代入（*）既得所求平面为。9、解直线与的方向矢量分别为并且它们分别过点直线与共面矢量共面，即混

8、合积，因为，故直线与共面。下面求直线与的交点，为此令（*）既代入中，得代回（*），可得故为直线与的交点。第八单元 多元函数微分法及其应用一、填空题1、二元函数的定义域是_.2、二元函数的定义域是_.3、二元函数的极限=_.4、二元函数的极限=_.5、已知，则=_。6、已知，则=_。7、已知，则_8、已知，则_9、已知，则= _10、已知，则= _11、已知，则在处当时，= _12、设，则=_13、设，则=_14、设，而，。则=_ ，=_15、设，而，。则=_ ，=_16、设，则=_17、设，则=_18、设，则=_19、设曲线，曲线在处的切线为_，曲线在处的法平面为_。、20、设曲面，则曲线在处

9、的切平面_,曲线在处的法线_21、函数在点处有极_值22、函数在点处有极_值23、在点可微分是在该点连续的_条件,在点连续是在该点可微分的_条件。（充分、必要、充要）24、在点的偏导数及存在是在该点可微分的_条件。在点可微分是函数在该点的偏导数及存在的_条件。（充分、必要、充要）25、的偏导数及在点存在且连续是在该点可微分的_条件。（充分、必要、充要）26、函数的两个二阶混合偏导数及在区域内连续是这两个二阶混合偏导数在区域内相等的_条件。（充分、必要、充要）二、选择题1、有且仅有一个间断点的函数（）（A）；（B）；（C）；（D）.2、下列极限存在的是（）（A）；（B）；（C）；（D）.3、函数

10、在点处具有偏导数是它在该点存在全微分的（）（A）必要而非充分条件；（B）充分而非必要条件；（C）充分必要条件；（D）既非充分又非必要条件.4、设，则=（）（A）2；（B）；（C）0 ；（D）1. 5、已知，则（）（A）关于为单调递增；（B）；（C）；（D）.6、在点处，函数可微的充分条件是（）（A）的全部二阶偏导数均连续；（B）连续；（C）的全部一阶偏导数均连续；（D）连续且一阶偏导数均存在.7、肯定不能成为某二元函数全微分的是（）（A）；（B）；（C）；（D）.8、使得的函数是（）（A）；（B）；（C）；（D）.9、设函数，写法错误的是（）（A）；（B）；（C）；（D）.10、设函数，则为（

11、）（A）；（B）；（C）；（D）.11、曲面的一个法向量为（）（A）；（B）；（C）；（D）.12、设函数，则错误的命题是（）（A）是驻点；（B）是极值点；（C）是最小值点；（D）是极小值点.13、设函数在的某个邻域内有定义，且，,则有（）（A）；（B）曲面在点的一个法向量为；（C）曲线在点的一个切向量为；（D）曲线在点的一个切向量为.三、计算解答1、求极限.2、求极限.3、求一阶偏导.4、求一阶偏导.5、求全部二阶偏导.6、，求.7、计算全微分.8、计算函数在点处的微分.9、求函数当时，.10、，而，求.11、，求.12、，在处的.13、求由方程组确定的隐函数的偏导，求.14、求曲线在点处的

12、切线和法平面.15、求曲线上的点，使该点的切线平行于平面：.第八单元 多元函数微分法及其应用测试题详细解答一、填空题1、二元函数的定义域是分析：要使这个二元函数有意义，只需。2、二元函数的定义域是分析：要使这个二元函数有意义，只需，所以。3、二元函数的极限=_2_分析：4、二元函数的极限= 1 分析：5、已知，则=分析：6、已知，则=7、已知，则=分析：对求导，把看成常数。8、已知，则分析：把x看成常数9、已知，则=分析：10、已知，则=分析：11、已知，则在处当时，=分析：12、设，则=分析：13、设，则=分析：14、设，而，。则=，=分析：15、设，而，。则=，=分析：16、设，则=分析：

13、两边对求导得：整理得：17、设，则=分析：两边对求导得：整理得：18、设，则=分析：两边对求导得：19、设曲线，曲线在处的切线为，曲线在处的法平面为。分析：当时，而所以当时，切线方程为法平面方程为：20、设曲面，则曲线在处的切平面,曲线在处的法线分析：设，则曲面任意一点的法向量为所以。切平面为法线为：21、函数在点处有极_小_值分析：因为：，而在（0，0）点，。22、函数在点处有极_大_值分析：因为：，而在（0，0）点，。23、在点可微分是在该点连续的_充分_条件,在点连续是在该点可微分的_必要_条件。24、在点的偏导数及存在是在该点可微分的_必要条件。在点可微分是函数在该点的偏导数及存在的_

14、充分_条件。25、的偏导数及在点存在且连续是在该点可微分的_充分_条件。26、函数的两个二阶混合偏导数及在区域内连续是这两个二阶混合偏导数在区域内相等的_充分_条件。二、选择题1、选（B）解答：A、，当，为任意值时都为间断点。B、只有时为间断点。 C、为间断点。D、有无穷多个间断点。2、选（D）解答：有界函数与无穷小的乘积为无穷小。3、选（A）解答：偏导数连续则存在全微分，所以偏导数只是全微分的必要条件。4、选（A）解答：5、选（A）解答：，把看成是的函数，所以关于为增函数。6、选（A）7、选（B）解答：；.8、选（A）解答：9、选（A）解答：是关于这个整体的一元函数，不可用偏导。10、选（C

15、）解答：两边对偏导，11、选（A）解答：设，分别对求导，得：12、选（A）解答：是极值点，是最小值点，是极小值点。但无意义，所以不是驻点。13、选（C）解答：不一定可微。法向量为。三、计算解答1、求极限解：2、求极限解：原题=3、求一阶偏导解：4、求一阶偏导解：5、求全部二阶偏导解：6、，求解：7、计算全微分.解：8、计算函数在点处的微分解：9、求函数当时，解：10、，而，求解：11、，求解：12、，在处的。解：两边对求导：，整理得：两边对求导：，整理得：13、求由方程组确定的隐函数的偏导，求解：分别对求导则分别对求导则14、求曲线在点处的切线和法平面。解：分别对求导切线方程：法平面方程：15

16、、求曲线上的点，使该点的切线平行于平面：解：设在点处切线平行于平面，则曲线在该点的切向量为：平面的法向量为，则两向量的数量积应为0。即：，.解得：则该点为：第九单元 重积分一、填空题1、设为常数，则=_2、区域D由闭区域构成，则=_3、设函数在闭区域D上连续，是D的面积，则在D上至少存在一点使得=_4、计算=_，其中 D是由直线所围成的闭区域。5、设D是顶点分别为的直边梯形，计算=_6、改变下列二次积分的积分次序=_；=_；=_；=_；7、把下列二重积分表示为极坐标形式的二次积分=_；=_；=_()；8、二重积分=_，其中 D是由中心在原点、半径为a的圆周所围成的闭区域。9、将下列三重积分化为

17、三次积分=_，为曲面及平面所围成的闭区域；=_，为曲面及面所围成的闭区域；10、区域为三坐标面及平面所围成的闭区域，则三重积分=_.二、选择题1、分别为单位圆盘在一、二、三、四象限的部分，则=（）(A)；(B)；(C)；(D)0. 2、，则=（）(A)；(B)；(C)；(D).3、由不等式确定：，则=（）(A)；(B)；(C)；(D).4、为单位球：，则=（）(A)；(B)；(C)；(D).5、由不等式确定：，则（）(A)；(B)；(C)；(D).6、设有空间闭区域，则有（）(A)；(B)；(C)；(D).7、设有平面闭区域，。则=（）(A)；(B)；(C)；(D)0.三、计算解答1、设区域，

18、计算.2、计算，其中D是由抛物线及直线所围成的闭区域.3、计算，其中D是由抛物线，及直线所围成的闭区域. 4、计算，其中D是由所围成的闭区域.5、计算，其中D是由，直线，所围成的闭区域. 6、求锥面被柱面所割下部分面积.7、求底圆半径相等的两个直交圆柱面及所围立体的表面积.8、计算三重积分，其中为三个坐标面及平面所围成的闭区域.9、，其中是由与所围成的闭区域.10、计算三重积分，其中是与平面所围成的闭区域.11、计算三重积分，其中是与平面，所围成的闭区域.12、计算三重积分，其中是球面所围成的闭区域.13、计算三重积分，其中是球面所围成的闭区域.第十章 曲线积分与曲面积分一、填空题1、设L是平

19、面上沿顺时针方向绕行的简单闭曲线，且，则L所围成的平面闭区域D的面积等于_.2、设曲线L是分段光滑的，且L=L1+L2，=2，=3，则=_.3、设函数在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为，其中在上具有一阶连续偏导数，且，则曲线积分=_.4、设L是抛物线上点与点之间的一段弧=_.5、则=_。6、设L是从沿到的圆弧，则=_。7、设L是平面有向曲线，由两类曲线积分之间的联系，则_.8、区域D由和所围成的闭区域，则区域D的面积为_.9、设L是任意一条分段光滑的闭曲线，则=_.10、在面上，是某个函数的全微分，则这个函数是 _.11、设是由平面，及所围成的四面体的整个边界曲面，则= _.12、设是的外侧，则=_.13第二类曲面积分化成第一类曲面积分为_.二、选择题