1[1]42正弦函数、余弦函数的性质1

1、1.4.2 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质正弦函数、余弦函数的性质 第一课时第一课时问题提出问题提出t57301p2问题问题1.1.根据正弦函数和余弦函数的图象，根据正弦函数和余弦函数的图象，你能说出它们具有哪些性质？你能说出它们具有哪些性质？y y-1xO123456-2-3-4-5-6-y=sinxy=sinxxyO1-1222222222222y=cosxy=cosx一、一、周期函数的概念周期函数的概念 思考思考1 1：观察上图观察上图, , 正弦曲线每相隔正弦曲线每相隔 个个单位重复出现单位重复出现. .y y-1xO123456-2-3-4-5-6-y=sinxy=sinx2s

2、in(2 ) sin ()x kx k Z诱导公式诱导公式其理论依据是什么？其理论依据是什么？当自变量当自变量x x的值增加的值增加22的整数倍时，函的整数倍时，函数值重复出现数值重复出现. .数学上，用周期性这个概数学上，用周期性这个概念来定量地刻画这种念来定量地刻画这种“周而复始周而复始”的变的变化规律化规律思考2：设设f(x)=sinxf(x)=sinx，则，则 可以怎样表示？可以怎样表示？sin(2) sinxkx f(x+2k)=f(x) 这就是说：当自变量这就是说：当自变量x x的值增加到的值增加到x+2kx+2k时，函数值重复出现时，函数值重复出现. . 为了突出函数的这个特性，

3、我们把函数f(x)=sinx称为周期函数，2k为这个函数的周期 ( (其中其中kzkz且且k0)k0).思考思考3 3：把函数f(x)=sinx称为周期函数.那么，一般地，如何定义周期函数呢？【周期函数的定义【周期函数的定义】对于函数对于函数f(xf(x) )，如果存，如果存在一个在一个非零常数非零常数T T，使得当，使得当x x取定义域内的每取定义域内的每一个值一个值时，都有时，都有f(x+T)=f(xf(x+T)=f(x) ) 那么函数那么函数f(xf(x) )就叫做周期函数，非零常数就叫做周期函数，非零常数T T就叫做这个函数的周期就叫做这个函数的周期. . ( ),0,()( )( )

4、f xxDf xTf xf x 对则称为周期函数。思考思考4 4：周期函数的周期是否唯一？正弦周期函数的周期是否唯一？正弦函数函数y=sinxy=sinx的周期有哪些？的周期有哪些？ 答：答：周期函数的周期不止一个周期函数的周期不止一个. . 22，44，66，都是正弦函数都是正弦函数的 周 期 ， 事 实 上 ， 任 何 一 个 常 数的 周 期 ， 事 实 上 ， 任 何 一 个 常 数2k(kz2k(kz且且k0)k0)都是它的周期都是它的周期. .【周期函数的定义【周期函数的定义】对于函数对于函数f(xf(x) )，如果存在一个，如果存在一个非零常非零常数数T T，使得当，使得当x x

5、取定义域内的每一个值取定义域内的每一个值时，都有时，都有f(x+T)=f(xf(x+T)=f(x) ) 那么函数那么函数f(xf(x) )就叫做周期函数，非零常数就叫做周期函数，非零常数T T就叫做这个函就叫做这个函数的周期数的周期. . 【最小正周期【最小正周期】 如果在周期函数如果在周期函数f(xf(x) )的的所有周期中存在一个最小的正数所有周期中存在一个最小的正数, , 则这则这个最小正数叫做个最小正数叫做f(xf(x) )的的最小正周期最小正周期. .今后本书中所涉及到的周期，如果不加特今后本书中所涉及到的周期，如果不加特别说明，一般都是指函数的最小正周期别说明，一般都是指函数的最小

6、正周期. .思考思考5：周期函数是否一定存在最小正周期？周期函数是否一定存在最小正周期？ 例如：例如：f(x)=c (c为常数）为常数）否否【周期函数的定义【周期函数的定义】对于函数对于函数f(xf(x) )，如果存在一个，如果存在一个非零常数非零常数T T，使得当使得当x x取定义域内的每一个值取定义域内的每一个值时，都有时，都有f(x+T)=f(xf(x+T)=f(x) )那么函数那么函数f(xf(x) )就叫做周期函数，非零常数就叫做周期函数，非零常数T T就叫做这个函数的周就叫做这个函数的周期期. . 【最小正周期【最小正周期】如果在周期函数如果在周期函数f(xf(x) )的所有周期中

7、存在一个最的所有周期中存在一个最小的正数小的正数, , 则这个则这个最小正数最小正数叫做叫做f(xf(x) )的的最小正周期最小正周期. . 答：答：正弦函数正弦函数y=sinxy=sinx有最小正周期，有最小正周期，且且最小正周期最小正周期T=2T=2思考思考6 6：我们知道：我们知道 22，44，66，都是都是y=sinxy=sinx的周期的周期, ,那么那么函数函数y=sinxy=sinx有最小正有最小正周期吗？若有，那么最小正周期周期吗？若有，那么最小正周期T T等于多少？等于多少？ 正弦函数正弦函数y=sinxy=sinx是周期函数，是周期函数，2k2k（kZkZ且且 k0k0）都是

8、它的周期，最小正周期都是它的周期，最小正周期 T=T=22 余弦函数余弦函数y=cosxy=cosx是周期函数，是周期函数，2k2k（kZkZ且且 k0k0）都是周期，最小正周期都是周期，最小正周期 T=T=22思考思考7 7：就周期性而言，对正弦函数有就周期性而言，对正弦函数有什么结论？对余弦函数呢？什么结论？对余弦函数呢？y y-1xO123456-2-3-4-5-6-y=sinxy=sinxxyO1-1222 2 2 2 22 22 2 2y=cosxy=cosx二：二：周期概念的拓展周期概念的拓展 思考思考1 1：判断下列说法是否正确：判断下列说法是否正确思考思考2 2：周期函数的定义

9、域有什么特点？周期函数的定义域有什么特点？ 函数f(x)=sinx（x0）是周期函数( )函数f(x)=sinx（x0）是周期函数( )函数f(x)=sinx（x3k）是周期函数( )函数f(x)=sinx，x0，10是周期函数( )例例1 1 求下列函数的周期：求下列函数的周期： y=3cosx,xR;y=3cosx,xR; y=sin2x,xR; y=sin2x,xR; y=2sin( - ),xRy=2sin( - ),xR; ; 2x6 3cos(x+2)=3cos(x+2)=由周期函数的定义可知，原函数的周期为由周期函数的定义可知，原函数的周期为22【解【解】 y=cosxy=cos

10、x的同期为的同期为23cosxy=sin2x,xR;y=sin2x,xR; sin2(x+)=sin2(x+)= 由周期函数的定义可知，原由周期函数的定义可知，原函数的周期为函数的周期为sin2xsin2xsin(2x+2)sin(2x+2)= =解：解：y=2sin( - ),xRy=2sin( - ),xR; ; 由周期函数的定义可知，原函数由周期函数的定义可知，原函数的周期为的周期为446)4(21sin2x)621sin(2x2)621sin(2x2x6解：解：一般地，函数一般地，函数y=Asin(x+y=Asin(x+) ) (A(A0 0， 0 0) )的最小正周期是多少的最小正周

11、期是多少? ? 2 T 由上例知函数由上例知函数y=3cosxy=3cosx的周期的周期 T= 2T= 2； 函数函数y=sin2xy=sin2x的周期的周期 T=T=； 函数函数y=2sin( - )y=2sin( - )的周期的周期 T=4T=4想一想：以上这些函数的周期与解析式想一想：以上这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗？中哪些量有关吗？ 2x6自变量的系数的绝对值T2 例例2 2 已知定义在已知定义在R R上的函数上的函数f(xf(x) )满足满足f(xf(x2)2)f(xf(x)=0)=0，试判断，试判断f(xf(x) )是否为周是否为周期函数？期函数？分析由已知有：分析由已知有

12、：f(xf(x2)= -f(x2)= -f(x) ) f(x+4)= f(x+4)= 即即 f(xf(x4)=f(x4)=f(x) )由周期函数的定义知，由周期函数的定义知，f(x)是周期函数是周期函数.f(xf(x) )=-f(x=-f(x)=)=-f(x-f(x2)2)f(xf(x2)+2=2)+2= 如果在周期函数如果在周期函数f(x)的所有周期中的所有周期中存在存在一个最小的正数一个最小的正数, 则这个最小正数叫做则这个最小正数叫做f(xf(x) )的最小正周期的最小正周期归归 纳纳 整整 理理 1.1.说说周期函数的定义说说周期函数的定义. .3.3.什么叫周期函数的最小正周期？什么

13、叫周期函数的最小正周期？2. 2. 求函数周期的方法：求函数周期的方法： 4. 4.周期函数的周期与函数的定义域有关，周期函数不一周期函数的周期与函数的定义域有关，周期函数不一定存在最小正周期定存在最小正周期. . 5. 5.周期函数的周期有许多个，若周期函数的周期有许多个，若T T为周期函数为周期函数f(xf(x) )的周的周期，那么期，那么T T的整数倍也是的整数倍也是f(xf(x) )的周期的周期. . 6. 6.函数函数y=Asin(x+y=Asin(x+) )和和y=Acos(x+y=Acos(x+) (A) (A0)0)的最小的最小 正周期正周期 T=T=2 这个公式，解题时可以直接应用这个公式，解题时可以直接应用( ),0,()( )( )f xxDf xTf xf x 对则称为周期函数。（1）定义法）定义法（2）公式法）公式法（3）图象法）图象法作业：作业：P36P36练习练习 （书）（书） P46P46：A A组组 3 B3 B组组 3 3 课后思考：课后思考：