解决含参数不等式的恒成立问题的基本方法

1、解决“含参数不等式的恒成立”问题的基本方法天津四中 李 晖“含参数不等式的恒成立”的问题，是近几年高考的热点，它往往以函数、数列、三角函数、解析几何为载体具有一定的综合性，解决这类问题，主要是运用等价转化的数学思想：即一般的，若函数在定义域为D，则当xD时，有恒成立；恒成立.因而,含参数不等式的恒成立问题常根据不等式的结构特征,恰当地构造函数,等价转化为含参数的函数的最值讨论.例一 已知函数.求的反函数;若不等式对于恒成立,求实数a的取值范围.分析：本题的第二问将不等式转化成为关于t的一次函数在恒成立的问题. 那么，怎样完成这个转化呢？转化之后又应当如何处理呢？【解析】 略解由题设有,即对于恒

2、成立. 显然,a-1令,由可知则对于恒成立. 由于是关于t的一次函数.（在的条件下表示一条线段，只要线段的两个端点在x轴上方就可以保证恒成立）例二 定义在R上的函数既是奇函数，又是减函数，且当时，有恒成立，求实数m的取值范围.分析: 利用函数的单调性和奇偶性去掉映射符号f，将“抽象函数”问题转化为常见的含参的二次函数在区间(0，1)上恒为正的问题.而对于0在给定区间a，b上恒成立问题可以转化成为在a，b上的最小值问题，若中含有参数，则要求对参数进行讨论。【解析】由得到：t=mtg(t)o·1图1因为为奇函数，故有恒成立，又因为为R减函数，从而有对恒成立t=mtg(t)o·1

3、图2设，则对于恒成立，在设函数,对称轴为.当时，即，又t=mtg(t)o·1图3(如图1)当，即时,即,又,(如图2)当时，恒成立.(如图3)故由可知：.例三 定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log3且对任意x，yR都有f(x+y)=f(x)+f(y)(1)求证f(x)为奇函数；(2)若对任意xR恒成立，求实数k的取值范围分析: 问题(1)欲证f(x)为奇函数即要证对任意x都有f(-x)=-f(x)成立在式子f(x+y)=f(x)+f(y)中，令y=-x可得f(0)=f(x)+f(-x)于是又提出新的问题，求f(0)的值令x=y=0可得f(0)=f(0)+f(0)即f(0)

4、=0，f(x)是奇函数得到证明问题(2)的上述解法是根据函数的性质f(x)是奇函数且在xR上是增函数，把问题转化成二次函数f(t)=t-(1+k)t+20对于任意t0恒成立对二次函数f(t)进行研究求解【解析】(1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x，yR)， 令x=y=0，代入式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0令y=-x，代入式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，则有0=f(x)+f(-x)即f(-x)=-f(x)对任意xR成立，所以f(x)是奇函数(2)解：f(3)=log30，即f(3)f(0)，又f(x)在R上是单调函数，所以f(x)

5、在R上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数，即对于任意恒成立.令t=30，问题等价于对于任意恒成立.令,其对称轴为直线当,即时,恒成立,符合题意,故;当时,对于任意,恒成立，解得综上所述,当时,对于任意恒成立.本题还可以应用分离系数法,这种解法更简捷.分离系数,由得.由于,所以,故,即u的最小值为.要使对于不等式恒成立,只要说明: 上述解法是将k分离出来，然后用平均值定理求解，简捷、新颖例四 已知向量=(，x+1)，= (1-x，t)。若函数在区间（-1，1）上是增函数，求t的取值范围。（2005年湖北卷第17题）分析：利用导数将“函数在区间（-1，1）上是增函数”的问题转化为“在（-1，1）上恒成立”的问题，即转化成为“二次函数在区间（-1，1）上恒成立” ，利用分离系数法将t分离出来，通过讨论最值来解出t的取值范围。【解析】依定义。则，·ox·1·-1y·g(x)若在（-1，1）上是增函数，则在（-1，1）上可设恒成立。在（-1，1）上恒成立。考虑函数，（如图4）由于的图象是对称轴为，开口向上的抛物线，图4故要使在（-1，1）上恒成立，即。而当时，在（-1，1）上满足>0，即在（-1，1