积分不等式的证明方法

1、南通大学毕业论文 摘 要在高等数学的学习中,积分不等式的证明一直是一个无论在难度还是技巧性方面都很复杂的内容.对积分不等式的证明方法进行研究不但能够系统的总结其证明方法,还可以更好的将初等数学的知识和高等数学的结合起来.并且可以拓宽我们的视野、发散我们的思维、提高我们的创新能力,因此可以提高我们解决问题的效率.本文主要通过查阅有关的文献和资料的方法,对其中的内容进行对比和分析,并加以推广和补充,提出自己的观点.本文首先介绍了两个重要的积分不等式并给出了证明,然后分类讨论了证明积分不等式的八种方法,即利用函数的凹凸性、辅助函数法、利用重要积分不等式、利用积分中值定理、利用积分的性质、利用泰勒公式

2、、利用重积分、利用微分中值定理,最后对全文进行了总结关键词：积分不等式,定积分,中值定理,柯西-施瓦兹不等式,单调性ABSTRACTWhen we study mathematics,the proof of integer inequality has always been seen as a complex content both in difficulty and skillIn this paper the proof methods of integral inequality are organized systematically to combine the knowled

3、ge of elementary mathematics and higher mathematics better. Also our horizons can be broadened,thinking can be divergencied and innovation ability can be improved,so as to improve our efficiency of problem solving.The paper is completed by referring to relevant literature,comparing and analysing rel

4、ated content, complementing and promoting related content.In this paper ,two important integral inequalities along with their proof methods are given first,and then eight approaches to proof integral inequalities are introduced,such as concavity and convexity of function,method of auxiliary function

5、,important integral inequality, integral mean value theorem, integral property, Taylor formula,double integral and differential mean value theorem.Finally,the full paper is summarizedKey words: Integral Inequality, Definite Integral,Mean Value Theorem, Cauchy-Schwarz Inequality, Monotonicty 1.引 言不等式

6、在数学中有着重要的作用,在数量关系上,尽管不等关系要比相等关系更加普遍的存在于人们的现实世界里,然而人们对于不等式的认识要比方程迟的多.直到17世纪之后,不等式的理论才逐渐的成长起来,成为数学基础理论的一个重要组成部分.众所周知,不等式理论在数学理论中有着重要的地位,它渗透到了数学的各个领域中,因而它是数学领域中的一个重要的内容.其中积分不等式更是高等数学中的一个重要的内容实际上关于定积分的概念起源于求平面图形的面积和一些其他的实际问题.有关定积分的思想在古代就有了萌芽,比如在公元前240年左右的古希腊时期,阿基米德就曾经用求和的方法计算过抛物线弓形和其他图形的面积.在历史上,积分观念的形成要

7、比微分早.然而直到17世纪后半期,较为完整的定积分理论还没有能够形成,一直到Newton-Leibniz公式建立之后,有关计算的问题得以解决后,定积分才迅速的建立并成长起来本论文研究的积分不等式结合了定积分以及不等式.关于它的证明向来是高等数学中的一个重点及难点.对积分不等式的证明方法进行研究，并使其系统化，在很大程度上为不同的数学分支之间架起了桥梁.深刻的理解及掌握积分不等式的证明方法可以提升我们对其理论知识的理解,同时可以提高我们的创造思维和逻辑思维在论文的第三部分中对积分不等式的证明方法进行了详细的阐述.分别从利用函数的凹凸性、辅助函数法、利用重要积分不等式、利用积分中值定理、利用泰勒公

8、式、利用重积分、利用微分中值定理、利用定积分的性质这八个方面给出了例题及证明方法.这样通过几道常见的积分不等式的证明题,从不同的角度,用不同的方法研究、分析了积分不等式的特点,归纳总结出了其证明方法.同时论文中也对有的题目给出了多种证明方法,这启示我们对于同一道积分不等式而言它的证明方法往往不止一种,我们需要根据实际情况采用合适的方法去证明,从而达到将问题化繁为简的目的 2.几个重要的积分不等式在高等数学的学习中我们遇到过许多重要的积分不等式,如Cauchy-Schwarz不等式,Young不等式等.它们的形式及证明方法都有很多种,在这一小结中我们将给出这两种积分不等式的证明方法2.1 Cau

9、chy-Schwarz不等式无论是在代数还是在几何中Cauchy-Schwarz不等式的应用都很广泛,它是不同于均值不等式的另一个重要不等式其形式有在实数域中的、微积分中的、概率空间中的以及维欧氏空间中的4种形式.接下来在这一部分中我们将对其在微积分中的形式进行研究定理2.11 设, 在上连续,则有 2 证明：要证明原不等式成立,我们只需要证 成立设,则只要证成立,由在上连续,在内可导,得 (2.1)由(2.1)式可知在上递增,由,知,故原不等式成立 证毕实际上关于Cauchy-Schwarz不等式的证明方法有很多,这里我们采用的证明方法是较为普遍的辅助函数法,它将要证明的原积分不等式通过移项

10、转变为了判断函数在两个端点处函数值大小的问题通过观察我们可以进一步发现原Cauchy-Schwarz不等式能够改写成以下行列式的形式,由此我们可以联想到是否可以将它进行推广？答案是肯定的.下面我们将给出不等式的推广形式定理2.22 设,在上可积,则 证明：对任意的实数,有注意到关于,的二次型实际上为半正定二次型,从而其系数矩阵行列式为 证毕以上的推广是将Cauchy-Schwarz不等式的行列式由二阶推广到了三阶的形式,事实上Cauchy-Schwarz不等式是一个在很多方面都很重要的不等式,例如在证明不等式,求函数最值等方面.若能灵活的运用它则可以使一些较困难的问题得到解决.下面我们会在第三

11、部分给出Cauchy-Schwarz不等式及其推广形式在积分不等式证明中的应用除了Cauchy-Schwarz不等式之外还有很多重要的积分不等式,例如Young不等式,相较于Cauchy-Schwarz不等式我们对Young不等式的了解比较少,实际上它也具有不同的形式且在现代分析数学中有着广泛的应用.接着我们将对Young不等式进行一些研究2.2 Young不等式Young不等式,以及和它相关的Minkowski不等式,HÖlder不等式,这些都是在现代分析数学中应用十分广泛的不等式,在调和函数、数学分析、泛函分析以及偏微分方程中这三个不等式的身影随处可见,是使用得最为普遍,最为平凡

12、的知识工具.下面我们将给出积分形式的Young不等式的证明定理2.33 设在（）上连续且严格递增,若,且,则,其中是的反函数,当且仅当时等号成立证明：引辅助函数, (2.2)把看作参变量,由于,且严格递增,于是当 时,；当 时,；当 时,因此 当时,取到的最大值,即 (2.3)由分部积分得,作代换,上面积分变为, (2.4)将(2.2)式和(2.4)式代入(2.3)式得,即 证毕3.定积分不等式常见的证明方法关于积分不等式的证明方法较为繁多,难度及技巧性也较大,因此对其进行系统的归纳总结是很有必要的在这一部分中我们将归纳出利用辅助函数、微分中值定理、重要积分不等式及积分中值定理等证明积分不等式

13、的方法3.1 利用函数的凹凸性在数学分析以及高等数学中,我们常常会遇到一类特殊的函数凸函数凸函数具有重要的理论研究价值和广泛的实际应用,在有些不等式的证明中,若能灵活地利用凸函数的性质往往能够简洁巧妙的解决问题下面给出一个例子加以说明定理3.1 若定义在间隔内,且,则必为下凸函数定理3.2 设在上为可积分函数,而又设在间隔内为连续的下凸函数,则有不等式例3.14 设在上连续,且,求证：证明: 取, 因为,即在时,为凸函数,故有，即，故 证毕在上述的题目中我们可以发现在证明中常常先利用导数来判断函数的凹凸性,然后再利用凹（凸）函数的性质来证明不等式然而对于实际给出的题目,我们往往需要先构造一个凹

14、（凸）函数,然后才能利用其性质来证明我们所要证明的问题3.2 辅助函数法 辅助函数法是积分不等式证明中的一种非常重要的方法,往往我们会根据不等式的特点,构造与问题相关的辅助函数,考虑在相同的区间上函数所满足的条件,从而得出欲证明的结论在第二部分中我们用辅助函数法对Cauchy-Schwarz不等式进行了证明,下面将对用辅助函数法证明积分不等式进行进一步的探讨例3.2.15 设函数在区间上连续且单调递减,证明：对时,有： 证明：令 ,由连续,得可导则 , 因为在上单调减少,而,有,从而,在上单调减少,则对任意,有即,两边同乘,即得 证毕本题根据积分不等式两边上下限的特点,在区间上构造了一个辅助函

15、数,进一步我们可以思考对于一般的情形,该题的结论是否依然成立呢？答案是肯定的.例3.2.2 设函数在区间上连续且单调递减非负,证明：对,且时,有: 证明：令,由连续,得可导, 则 , 因为在上单调减少,而,有,从而,在上单调减少,则对任意,有,即 (3.1)由非负,可得 (3.2)结合(3.1)式和(3.2)式可得 即 证毕例3.2.36 函数在上连续,且 试证：在例3.1中我们给出了本题利用函数的凹凸性证明的过程,在这里我们将给出其利用辅助函数法证明的过程证明: 构造辅助函数, 则 , 所以是单调递增的,即,故 证毕例3.2.47 设在上连续且单调增加,证明：证明: 原不等式即为,构造辅助函

16、数 ,则 , 因为,单调增加,所以故在上单调递增,且,所以对,有当时,即,故原不等式成立, 证毕通过以上几道题目的观察我们可以发现：1.当已知被积函数连续时,我们可以把积分的上限或者是下限作为变量,从而构造一个变限积分,然后利用辅助函数的单调性加以证明2.辅助函数法实际上是一种将复杂的问题转化为容易解决的问题的方法在解题时通常表现为不对问题本身求解而是对与问题相关的辅助函数进行求解,从而得出原不等式的结论3.3 利用重要积分不等式在第2部分中我们给出了Cauchy-Schwarz不等式以及它的推广形式的证明过程,实际上Cauchy-Schwarz不等式的应用也很广泛,利用它可以解决一些复杂不等

17、式的证明.在这一小节中我们将通过具体的例子来加以说明它在证明积分不等式中的应用例3.3.18 函数在上一阶可导,试证明：证明：由和可得 , , , 因此 , (3.3) (3.4)将(3.3)式和(3.4)式相加即可以得到 证毕例3.3.22 设,在上可积且满足：,则以下两个积分不等式及 成立证明：取,由及定理2.2知 因此 (3.5)由可知 ,因而由于,因此化简得,两边同时积分得 ,由算数-几何平均值不等式可知 ,于是 则 (3.6)由式(3.5)和式(3.6)可知 证毕以上两道题分别利用了Cauchy-Schwarz不等式及其推广形式我们在证明含有乘积及平方项的积分不等式时应用Cauchy

18、-Schwarz不等式颇为有用,但要注意选取适当的与,有时还需对积分进行适当的变形3.4 利用积分中值定理积分中值定理展现了将积分转化为函数值,或者是将复杂函数积分转变为简单函数积分的方法.其在应用中最重要的作用就是将积分号去掉或者是将复杂的被积函数转化为相比较而言较为简单的被积函数,从而使得问题能够简化.因此合理的利用积分中值定理能够有效的简化问题.下面将通过两道例题来说明定理3.3（积分第一中值定理） 若在上可积且,则存在使成立.特别地,当在上连续,则存在,使成立定理3.4（积分第一中值定理的推广） 若函数,在区间上可积,连续,在上不变号,则在积分区间上至少存在一个点,使得下式成立 定理3

19、.5（积分第二中值定理的推广） 若函数,在区间上可积,且为单调函数,则在积分区间上至少存在一个点,使得下式成立 例3.4.1 设函数在区间上连续单调递减,证明：对,且时,有,其中对于这道题目我们在3.2.2中给出了其利用辅助函数法证明的过程,实际上这道题目还可以用积分第一中值定理来证明,下面我们将给出证明过程证明：由积分中值定理知 , ； ,；因为,且递减,所以有,即 ,故 证毕例3.4.2 设在上连续且单调增加,证明：同样地，在之前的证明中我们给出了此题利用辅助函数法证明的过程,仔细分析观察这道题目我们还可以发现它可以用积分第一、第二中值定理的推广形式来证明,接着我们将给出此题在这两种方法下

20、的证明过程证法一证明: 由定理3.4可知,分别存在,使得 , ,因此,由于在单调增加的,且,所以有 从而,故原不等式成立, 证毕证法二证明:由定理3.5可知：存在,使得 由单调增加及知,可得,故原不等式成立, 证毕通过上述两道题目我们可以了解到积分中值定理在实际应用中起到的重要作用就是能够使积分号去掉,或者是将复杂的被积函数转化为相对而言较简单的被积函数,从而使问题得到简化.因此,对于证明有关结论中包含有某个函数积分的不等式,或者是要证明的结论中含有定积分的,可以考虑采用积分中值定理,从而去掉积分号,或者化简被积函数3.5 利用积分的性质关于积分的性质在高等数学的学习中我们已经学到了很多,我们

21、可以利用它来证明许多问题.在这里我们主要利用定积分的比较定理和绝对值不等式等性质对问题进行分析处理例3.5.19 设在上导数连续,试证：,有证明：由条件知在上连续,则必有最小值,即存在,由, .故原不等式成立, 证毕3.6 利用泰勒公式在现代数学中泰勒公式有着重要的地位,它在不等式的证明、求极限以及求高阶导数在某些点的数值等方面有着重要的作用.关于泰勒公式的应用已经有很多专家学者对其进行了深入的研究,下面我们将举例说明利用泰勒公式也是证明积分不等式的一种重要方法定理3.6(带有拉格朗日型余项的公式) 设函数在点处的某邻域内具有阶连续导数,则对该邻域内异于的任意点,在与之间至少存在一点,使得：

22、(1)其中（在与之间）称为拉格朗日型余项,(1)式称为泰勒公式例3.6.110 设在上有二阶连续导数,试证明:证明：对,由泰勒公式得 , , , ,两式相加得 ,两边积分得 ,其中 ,于是有 ,故 证毕例3.6.26 设在上有二阶导数,且,求证 证明：将在处作泰勒展开得到 , 因为,所以可以得到 ,对不等式两边同时积分得到 因为, 所以有 证毕通过这两道题目我们大致可以了解到当题目中出现被积函数在积分区间上有意义且有二阶及二阶以上连续导数时,是提示我们用泰勒公式证明的最明显的特征一般情况下我们选定一个点,并写出在这个点处的展开公式,然后进行适当的放缩或与介值定理相结合来解决问题3.7 利用重积

23、分在一些积分不等式的证明中,由于被积函数的不确定,从而我们不能求出其具体的数值,这时我们可以将定积分转换为二重积分再利用其性质来求解以下列举了3种利用重积分来证明积分不等式的方法,这种技巧在高等数学中虽然不常见,但却是很重要的,下面我们将通过3道例题来进一步说明3.7.1 直接增元法命题一11：若在区间上,则 例3.7.111 设,在上连续,且满足：,证明：证明：由题得,从而可以得到,即左式 (其中) 则 , 即 证毕在本题中我们将一元积分不等式的两边同时增加一个积分变量，使得一元积分不等式化为二元积分不等式，然后巧妙的运用转换积分变量顺序的方法达到证明一元积分不等式的方法.3.7.2 转换法

24、在利用重积分来证明积分不等式的时候，我们不但可以采用直接增元法，还可以采用转换法.关于转换法又分为将累次积分转换为重积分，以及将常数转换为重积分这两种形式.下面我们将依次来介绍这两种方法.1.将累次积分转为重积分命题二11 若在上可积,在上可积,则二元函数在平面区域上可积,且其中例3.7.211 设,是上的连续函数,在上,为单调递增函数,试证：证明：由可知：,令,下证； (3.7)同理 (3.8) (3.7)(3.8) 得 ,因为,同为单调增函数,所以又因为,故 ,即 证毕2.将常数转换为重积分的形式在例3.7.2中我们介绍了将累次积分转换为重积分,在下面的例3.7.3中我们将对常数转换为重积

25、分来进行说明我们可以发现有这样一个命题,若在二重积分中被积函数,则可得到,其中例3.7.3 函数在上连续,且试证：本题与前面的例3.1以及例3.2.3是同一道题目,在这里我们将利用重积分证明此题证明：原题即为 ,移项可得, ,所以即为证,因为,所以故 恒成立,即成立, 证毕通过以上三道例题我们可以大致了解到，在这一类定积分不等式的证明过程中我们一般先将所要证明的不等式转化为二次积分的形式,进一步再转换为二重积分,最后利用二重积分的性质或其计算方法得出结论.这种方法克服了数学解题过程中的高维数转化为低维数的思维定势,丰富了将二重积分与定积分之间互化的数学思想方法3.8 利用微分中值定理微分中值定

26、理是数学分析中的重要的一个基本定理,它是指罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理以及泰勒中值定理这四种定理.关于微分中值定理的应用也是很广泛的,证明不等式是微分中值定理最基本的应用之一.在这里我们将对利用柯西中值定理及拉格朗日中值定理证明积分不等式进行研究.下面将通过两个例子来具体说明这两个定理在证明积分不等式中的应用,以及不同的微分中值定理在证明不等式时的区别例3.8.112 设,在区间上的导数连续,证明： 证明：应用Lagrange中值定理,其中,使得 ,因为, 所以, , 从到积分得 即.证毕例3.8.213 设函数在上可微,且当时,试证：证明：令,在上满足柯西中值定理,则 , 所

27、以 证毕通过以上两道题目可以发现：1.在应用Lagrange中值定理时先要找出符合条件的函数,并确定在使用该定理的区间,对在区间上使用该定理若遇到不能用该定理直接证明的,则从结论出发,观察并分析其特征,构造符合条件的辅助函数之后再应用Lagrange中值定理2.在研究两个函数的变量关系时可以应用Cauchy中值定理,在应用该定理证明不等式时关键是要对结果进行分析,找出满足Cauchy中值定理的两个函数,并确定它们应用柯西中值定理的区间,然后在对,在区间上运用Cauchy中值定理无论是Cauchy中值定理还是Lagrange中值定理在积分不等式的证明中都各具特色,都为解题提供了有力的工具.总之在证明不等式时需要对结论认真的观察有时还需要进行适当的变形,才能构造能够应