21新亮剑数学第7章（新高考）

1、第1节空间几何体的结构和直观图对应学生书自学听讲P131课标要求考向分析1.利用实物、计算机软件等观察空间图形,认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征,能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合)的直观图空间几何体是培养学生空间想象能力的一个很好的载体,有单独考查的,如几何体的识别,求距离、截面面积等,也有与体积、表面积结合考查的一、空间几何体的结构特征二、空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画,基本规则是: 1.原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观图中,x'轴、y'轴的

2、夹角为45°(或135°),z'轴与x'轴、y'轴所在平面垂直.2.原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中还是平行于坐标轴的线段.平行于x轴和z轴的线段长度在直观图中保持不变,平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半. 1.台体可以看成是由锥体截得的,易忽视截面与底面平行且侧棱延长后必交于一点.2.斜二测画法中的“三变”与“三不变”“三变”:坐标轴的夹角改变;与y轴平行的线段的长度变为原来的一半;图形改变.“三不变”:平行性不变;与x轴,z轴平行的线段长度不变;相对位置不改变.【概念辨析】判断下列结论的正误.(对的打“”,错的打“

3、5;”)(1)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.()(2)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥.()(3)用斜二测画法画水平放置的A时,若A的两边分别平行于x轴和y轴,且A=90°,则在直观图中,A=90°.()(4)夹在两个平行的平面之间,其余的面都是梯形,这样的几何体一定是棱台.()答案(1)×(2)×(3)×(4)×解析(1)错误.棱柱必须满足所有侧棱都平行且相等.(2)错误.棱锥必须满足所有侧面有一个公共顶点.(3)错误.在直观图中,A的两边分别平行x'轴和y'轴,故直观图中A=

4、45°或A=135°.(4)错误.棱台必须满足所有侧棱的延长线交于一点.【基础自测】1.关于空间几何体的结构特征,下列说法中不正确的是().A.棱柱的侧棱长都相等B.棱锥的侧棱长都相等C.三棱台的上、下底面是相似三角形D.有的棱台的侧棱长都相等答案B解析根据棱锥的结构特征知,棱锥的侧棱长不一定都相等.2.如图所示,三棱台ABC-A1B1C1中,沿面A1BC截去三棱锥A1-ABC,则剩余部分是().A.三棱锥B.四棱锥C.三棱台D.四棱台答案B解析由题意知,剩余部分是四棱锥A1-BB1C1C.故选B.3.一水平放置的平面四边形OABC,用斜二测画法画出它的直观图O'A

5、'B'C'如图所示,此直观图恰好是一个边长为1的正方形,则原平面四边形OABC的面积为. 答案22解析因为直观图的面积是原图形面积的24,且直观图的面积为1,所以原图形的面积为22.【易错检测】4.如图所示,等腰A'B'C'是ABC的直观图,那么ABC是().A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形答案B解析由题图知,A'C'y'轴,A'B'x'轴.由斜二测画法知,在ABC中,ACy轴,ABx轴,ACAB.又A'C'=A'B',AC=2A

6、BAB,ABC是直角三角形.5.从长方体的一个顶点出发的三条棱上各取一点E,F,G(不与顶点重合),过此三点作长方体的截面,那么这个截面的形状是().A.锐角三角形B.矩形C.平行四边形D.正方形答案A对应学生书自学听讲P132空间几何体的结构特征(1)下列叙述中,正确的个数是().以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥;以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台;圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆;用一个平面去截圆锥,一定能得到一个圆锥和一个圆台.A.0B.1C.2D.3(2)下列关于棱台的说法中,正确的个数为().所有的侧棱交于一点;只有两个面互相平行;上下两个底面

7、全等;所有的侧面中不存在两个面互相平行.A.1B.2C.3D.4分析(1)根据旋转体的几何特征即可判断正误.(2)利用棱台的定义与性质判断选项的正误即可.答案(1)B(2)C解析(1)错误,以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周才可以得到圆锥,以斜边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体不是圆锥;错误,以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周才可以得到圆台;正确;错误,用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可以得到一个圆锥和一个圆台.故选B.(2)由棱台的定义可知,所有的侧棱交于一点,正确;只有上、下底面互相平行,正确;上下两个底面相似而非全等,不正确;所有的侧面中不存在两个面互相平行,正确.故

8、选C.解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧:(1)熟悉空间几何体的结构特征,依据条件构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,然后再依据题意判定.(2)通过反例对结构特征进行辨析,要说明一个命题是错误的,只要举出一个反例即可.【针对训练1】给出下列命题:棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形;存在每个面都是直角三角形的四面体;棱台的侧棱延长后交于一点.其中正确命题的序号是. 答案解析不正确,根据棱柱的定义,棱柱的各个侧面都是平行四边形,但不一定全等;正确,如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中的三棱锥C1-ABC,四个面都是直角三角形;正确

9、,由棱台的概念可知.空间几何体的截面判断已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点E,F分别是棱D1C1,B1C1的中点,过E,F作一平面,使得平面平面AB1D1,则平面截正方体的表面所得平面图形为().A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形分析根据平面的性质作出截面的图形,然后判断形状.答案D解析如图所示,平面是平面EFGHJK,截面是六边形,故选D.找截面的依据是平面的性质,判断截面的形状的关键是作出截面,而作截面的根据是确定截点,有了位于多面体同一表面上的两个截点,即可连接成截线,进而得截面.【针对训练2】在所有棱长均为2的正三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G分别为AB,

10、CC1,AC的中点,则经过E,F,G三点的截面是().A.三角形B.梯形C.四边形D.五边形答案B解析如图,取BB1的中点为H,连接FH、HE,根据平面性质可知四边形EGFH是梯形,故选B.空间几何体的直观图有一块多边形的菜地,它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示),ABC=45°,AB=AD=1,DCBC,则这块菜地的面积为. 答案2+22解析过点A作AEBC于点E(图略),在RtABE中,AB=1,ABE=45°,BE=22.而四边形AECD为矩形,AD=1,EC=AD=1.BC=BE+EC=22+1.由此可还原直观图如图所示.在原图形中,

11、A'D'=1,A'B'=2,B'C'=22+1,且A'D'B'C',A'B'B'C'.这块菜地的面积为S=12(A'D'+B'C')·A'B'=121+1+22×2=2+22.若本例改为“A1B1C1是边长为a的正三角形,且A1B1C1是ABC的直观图”,则ABC的面积为多少?解析如图,在A1D1C1中,由正弦定理得asin45°=xsin120°,得x=62a,SABC=12×a

12、15;6a=62a2.【针对训练3】已知等腰梯形ABCD,上底CD=1,腰AD=CB=2,下底AB=3,以下底所在直线为x轴,则由斜二测画法画出的直观图A'B'C'D'的面积为. 答案22解析如图所示,作出等腰梯形ABCD的直观图.因为OE=(2)2-1=1,所以O'E'=12,E'F=24.则直观图A'B'C'D'的面积S'=1+32×24=22.直观想象空间几何体的展开问题空间几何体的展开问题是立体几何的主要问题,这种方式的转变是空间几何体与平面几何问题的转化的集中体现.处理

13、这类题型的关键是抓住两图的特征关系.折叠问题是立体几何的一类典型问题,是实践能力与创新能力考查的好素材.而表面展开问题是折叠问题的逆向思维、逆过程,一般地,涉及多面体表面的问题,解题时不妨将它展开成平面图形试一试.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1=23,D,F分别是棱AB,AA1的中点,E为棱AC上的动点,则DEF的周长的最小值为().A.22+2B.23+2C.6+2D.7+2答案D解析三棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱,ABC为等边三角形且AA1平面ABC.AD平面ABC,AA1AD,DF=1+3=2.把底面ABC与侧面ACC1A1在同一平面展开,如图所示:当D,

14、E,F三点共线时,DE+EF取得最小值,又FAD=150°,AF=3,AD=1,(DE+EF)min=AF2+AD2-2AF·ADcosFAD=4-23×-32=7,DEF周长的最小值为7+2,故选D.【突破训练】在三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC=10,APB=BPC=CPA=40°,则从点A出发绕三棱锥表面一周后再回到点A的最短路程为. 答案103解析将三棱锥P-ABC沿PA展开,展开图如图所示.则最短距离为AA1,由题意知PA=PA1=10,A1PA=120°,所以AA1=103.1.(2018年上海卷)九章算术中,称底面为

15、矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设AA1是正六棱柱的一条侧棱,如图,若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点,以AA1为底面矩形的一边,则这样的阳马的个数是().A.4B.8C.12D.16答案D解析如图,若阳马的底面矩形为AA1B1B,则其顶点可以为E,E1,D,D1;若阳马的底面矩形为AA1F1F,则其顶点可以为C,C1,D,D1;若阳马的底面矩形为AA1C1C,则其顶点可以为D,D1,F,F1;若阳马的底面矩形为AA1E1E,则其顶点可以为B,B1,D,D1.故满足题意的阳马有16个.故选D.2.(2019年全国卷)中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方

16、体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有个面,其棱长为. 答案262-1解析由图2知最上面是一个正方形,即1个面,其4条棱对应4正方形,其4个顶点对应4个三角形,共计9个面;4个正方形与4个三角形分别对应8个正方形,共计17个面.由半正多面体的对称性可知,共17+9=26个面.设小正方形的棱长为a,则由题意知a+2×22a=1,解得a=2-1.对应高效

17、训练P59基础打磨1.用任意一个平面截一个几何体,各个截面都是圆面,则这个几何体一定是().A.圆柱B.圆锥C.球体D.圆柱、圆锥、球体的组合体答案C解析截面是任意的且都是圆面,则该几何体为球体.2.(2020届湖北省孝感市联考)如图,已知某圆柱的底面周长为12,高为2,矩形ABCD是该圆柱的轴截面,则在此圆柱的侧面上,从A到C的路径中,最短路径的长度为().A.210B.25C.3D.2答案A解析圆柱的侧面展开图是如图所示的矩形,且矩形的长为12,宽为2,则在此圆柱侧面上从A到C的最短路径为线段AC,AC=22+62=210.3.下列命题正确的是().A.两个面平行,其余各面都是梯形的多面体

18、是棱台B.两个面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台C.直角梯形以一条直角腰所在的直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的旋转体是圆台D.用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形答案C解析如图所示,可排除A、B选项.对于D选项,只有截面与圆柱的母线平行或垂直时,截得的截面为矩形或圆,否则截面为椭圆或椭圆的一部分.故选C.4.已知一个圆锥底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内切球的半径为().A.22B.1C.2D.2答案A解析依题意,作出圆锥与球的轴截面,如图所示,设球的半径为r,易知轴截面三角形边AB上的高为22,因此22-r3=r1,解得r=22.5.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6

19、个顶点都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,ABAC,AA1=12,则球O的半径为().A.3172B.210C.132D.310答案C解析如图,由球心作平面ABC的垂线,则垂足为BC的中点M.又AM=12BC=1232+42=52,OM=12AA1=6,所以球O的半径R=OA=522+62=132.6.(本题为多项选择题)以下命题中为真命题的是().A.若棱柱被一平面所截,则分成的两部分不一定是棱柱B.有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C.有一个面是多边形,其余各面都是三角形的多面体一定是棱锥D.当球心到平面的距离小于球面半径时,球面与平面的交线总是一个圆答案AD解析只有平

20、行于底面的平面截棱柱分成的两部分一定是棱柱,故A正确;有两个面平行,其余各面都是平行四边形并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱,故B不正确;有一个面是多边形,其余各面都是三角形的多面体不一定是棱锥,由三棱锥的定义可知,其余各面都是共有同一个顶点的三角形,故C不正确;当球心到平面的距离小于球面半径时,球面与平面的交线总是一个圆,故D正确.综上可得,AD正确.7.(2020届江苏模拟)已知圆锥的侧面展开图是一个半径为6,圆心角为3的扇形,则圆锥的高为().A.33B.34C.35D.6答案C解析因为侧面展开图是一个半径为6,圆心角为3的扇形,所以圆锥的母线长为6,设其底面半径为r,

21、则3×6=2r,所以r=1,所以圆锥的高为62-12=35.故选C.8.(2020届四川乐山市第一次调研)如图所示,用一边长为2的正方形硬纸,按各边中点垂直折起四个小三角形,做成一个蛋巢,将体积为43的鸡蛋(视为球体)放入其中,蛋巢形状保持不变,则鸡蛋离蛋巢底面的最短距离为().A.2-12B.2+12C.6-12D.3-12答案D解析因为蛋巢的底面是边长为1的正方形,所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1.又因为鸡蛋的体积为43,所以球的半径为1,所以球心到截面的距离d=1-14=32,故截面到球体最低点的距离为1-32,而蛋巢的高度为12,故球体到蛋巢底面的最短距离为12-1

22、-32=3-12.9.(2020届广州模拟)正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱DD1和BB1上的点,MD=13DD1,NB=13BB1,那么正方体中过M,N,C1的截面图形是().A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形答案C解析先确定截面上的已知边与几何体上和其共面的边的交点,再确定截面与几何体的棱的交点.设直线C1M,CD相交于点P,直线C1N,CB相交于点Q,连接PQ交直线AD于点E,交直线AB于点F,则五边形C1MEFN为所求截面图形.10.圆台的两个底面面积之比为49,母线与底面的夹角是60°,轴截面的面积为1803,则圆台的母线长l=().A.63B.62

23、C.123D.12答案D解析设圆台的上底面半径为2r,则其下底面半径为3r.可作圆台的轴截面如图所示:其中DEAB,CFAB,DAE=CBF=60°,DE=CF=3r,AE=BF=r,EF=4r,轴截面面积S=SEFCD+SADE+SBFC=4r·3r+r·3r=1803,解得r=6,母线长l=AD=2AE=2r=12.能力拔高11.下列说法一定正确的是().A.直角三角形绕其一边旋转形成圆锥B.等边三角形绕其一边旋转形成圆锥C.平面截圆锥所得的图形是圆D.过圆锥顶点的截面图形是等腰三角形答案D解析直角三角形绕其斜边旋转形成的是两个圆锥组成的组合体,故A错误;等边

24、三角形绕其一边旋转组成的是两个圆锥组成的组合体,故B错误;平面截圆锥所得的图形是圆或椭圆或抛物线或双曲线的一支,故C错误;圆锥的母线均相等,故过圆锥顶点的截面图形是等腰三角形,故D正确.12.(云南名校2020届联考)棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是AB,AD,B1C1的中点,那么正方体内过E,F,G的截面面积为().A.32B.33C.23D.22答案B解析分析正方体结构可以得知,该截面为一个边长为2的正六边形,其面积为6×34×(2)2=33.故选B.13.如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,BC=2,BB1=1,则线段BD

25、1的长是().A.14B.27C.28D.32答案A解析BD1=AB2+AD2+AA12=9+4+1=14,故选A.14.设球O是正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球,若平面ACD1截球O所得的截面面积为6,则球O的半径为().A.32B.3C.32D.3答案B解析如图,易知B1D过球心O,且B1D平面ACD1,不妨设垂足为M,正方体棱长为a,则球半径R=a2,易知DM=13DB1,OM=16DB1=36a,截面圆半径r=a22-OM2=66a,由截面圆面积S=r2=6,得r=66a=6,a=6,球O的半径为R=a2=3.思维拓展15.(湖南长沙市2020届高三月考)圆锥的母线长为2,其侧

26、面展开图的中心角为弧度,过圆锥顶点的截面中,面积的最大值为2,则的取值范围是().A.2,2)B.,2C.2D.22,答案A解析设轴截面的中心角为,过圆锥顶点的截面的顶角为,且.过圆锥顶点的截面的面积为12×2×2×sin =2sin ,又过圆锥顶点的截面中,面积的最大值为2,故此时=2,故2<.圆锥底面半径r=2sin 22,2),故侧面展开图的中心角为弧度=×2sin2×22=2sin 22,2).16.(2020届湖北部分重点中学联考)如图,已知四面体ABCD为正四面体,AB=2,E,F分别是AD,BC的中点.若用一个与直线EF垂直

27、,且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体,由此得到一个多边形截面,则该多边形截面面积的最大值为().A.1B.2C.3D.2答案A解析将四面体ABCD补成正方体,如图所示.EF,截面为平行四边形MNKL,可得NK+KL=2.又MNAD,KLBC, 且ADBC,KNKL,可得S四边形MNKL=NK·KLNK+KL22=1,当且仅当NK=KL时取等号,故选A.第2节空间几何体的表面积与体积对应学生书自学听讲P133课标要求考向分析知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式,能用公式解决简单的实际问题1.规则几何体的表面积与体积.2.组合体的表面积与体积.3.体积中的最值问题.

28、4.空间几何体的切接问题一、几何体的表面积1.棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各个面的面积之和.2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环. 3.若圆柱、圆锥的底面半径为r,母线长为l,则其表面积为S柱=2r2+2rl,S锥=r2+rl. 4.若圆台的上、下底面半径分别为r1,r2,母线长为l,则圆台的表面积为S=(r12+r22)+(r1+r2)l. 5.半径为R的球的表面积为4R2. 二、几何体的体积1.V柱体=Sh. 2.V锥体=13Sh.3.V台体=13(S'+SS'+S)h,V圆台=13(r12+r1r2+r2

29、2)h.4.V球= 43R3.  1.与体积有关的几个结论(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差.(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等.2.几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a,球的半径为R,若球为正方体的外接球,则2R=3a;若球为正方体的内切球,则2R=a;若球与正方体的各棱相切,则2R=2a.(2)若长方体过同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,则2R=a2+b2+c2.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为31. 【概念辨析】判断下列结论的正误.(对的打“”,错的打“×”)(1)锥体的体积等于底面面

30、积与高之积.()(2)球的体积之比等于半径比的平方.()(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.()(4)已知球O的半径为R,其内接正方体的棱长为a,则R=32a.()答案(1)×(2)×(3)(4)解析(1)错误.锥体的体积等于13×底面积×高.(2)错误.球的体积之比等于半径比的立方.(3)正确.台体是由一个锥体截去一个较小的锥体形成的.(4)正确.若球为正方体的外接球,则2R=3a.【基础自测】1.已知圆锥的表面积等于12 cm2,其侧面展开图是一个半圆,则圆锥底面圆的半径为().A.1 cmB.2 cmC.3 cmD.32 cm答案B解析S表

31、=r2+rl=r2+r·2r=3r2=12,r2=4,r=2 cm.2.(2015年全国卷)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有().A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛答案B解析设圆锥底面半径为r,则14×2×3r=8(尺),所以r=163(尺),所以米堆的体积为14×

32、;13×3×1632×5=3209(立方尺),故堆放的米约为3209÷1.6222(斛).3.平面截球O所得截面圆的半径为1,球心O到平面的距离为2,则此球的体积为().A.6B.43C.46D.63答案B解析设球的半径为R,由球的截面性质得R=(2)2+12=3,所以球的体积V=43R3=43.【易错检测】4.若圆锥的侧面积是底面积的2倍,则其母线与旋转轴所成角的大小是. 答案6解析设圆锥的母线与旋转轴所成角为,由题意得Rl=2R2,即l=2R,所以sin =Rl=12,即=6.故母线与轴所成角的大小是6.5.如图,直角梯形ABCD中,ADD

33、C,ADBC,BC=2CD=2AD=2,若将该直角梯形绕BC边旋转一周,则所得的几何体的表面积为. 答案(2+3)解析根据题意可知,该几何体的上半部分为圆锥(底面半径为1,高为1),下半部分为圆柱(底面半径为1,高为1),如图所示,则所得几何体的表面积为圆锥的侧面积、圆柱的侧面积以及圆柱的下底面面积之和,即表面积为×1×12+12+2×12+×12=(2+3).对应学生书自学听讲P134空间几何体的表面积(1)已知四棱台的上、下底面分别是边长为4 cm和8 cm的正方形,侧面是腰长为8 cm的等腰梯形,则它的侧面积为cm2. (2)已

34、知正三棱锥P-ABC的底面边长为6,PA所在直线与底面ABC所成的角为60°,则该三棱锥的侧面积为. 分析(1)根据此四棱台的侧面积是由四个面积全部相等的等腰梯形构成,所以先求出等腰梯形的面积,从而得到四棱台的侧面积.(2)画出图形,过P作底面的垂线,垂足O落在底面正三角形的中心,得PAO,求出AO,即可求出PD,进而得出侧面积.答案(1)4815(2)939解析(1)如图,在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,过B1作B1FBC,垂足为F,在RtB1FB中,B1F=82-22=215cm,所以梯形BCC1B1的面积S1=12×(BC+B1C1)×B1F

35、=12×(8+4)×215=1215cm2.故四棱台的侧面积S=4S1=4×1215=4815cm2.(2)如图,作ADBC于点D,因为三棱锥P-ABC为正三棱锥,所以D为BC的中点,连接PD,则PDBC,过点P作PO平面ABC,则点O为正三角形的中心,点O在AD上,所以PAO=60°,正三角形的边长为6,则AD=62-32=33,AO=23AD=23,DO=3,所以PO=AO×tan 60°=6,斜高PD=PO2+OD2=39,故三棱锥的侧面积为S=3×12×6×39=939.分别求出各侧面的面积,则几

36、何体的侧面积为各侧面的面积之和.【针对训练1】1.如图,已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形,PD底面ABCD,PD=1,则四棱锥P-ABCD的侧面积为. 答案2+25解析PD底面ABCD,BC,CD平面ABCD ,PDBC.又BCCD,PDCD=D,PD,CD平面PCD,BC平面PCD,PC平面PCD ,BCPC,同理可得BAAP,四棱锥P-ABCD的侧面积为S=12PD·AD+12PA·AB+12PC·BC+12PD·CD=1+5+5+1=2+25.2.(2018辽宁沈阳三模)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中

37、提到了一种名为“刍甍”的五面体(如图):底面ABCD为矩形,棱EFAB.在此几何体中,AB=4,EF=2,ADE和BCF都是边长为2的等边三角形,则此几何体的表面积为().A.83B.8+83C.62+23D.8+62+23答案B解析过点F作FO平面ABCD,垂足为O,取BC的中点P,连接PF,OP,过点F作FQAB,垂足为Q,连接OQ.ADE和BCF都是边长为2的等边三角形,OP=12(AB-EF)=1,PF=3,OQ=12BC=1,OF=PF2-OP2=2,FQ=OF2+OQ2=3,S梯形EFBA=S梯形EFCD=12×(2+4)×3=33.又SBCF=SADE=34&

38、#215;22=3,S矩形ABCD=4×2=8,该几何体的表面积S=33×2+3×2+8=8+83.空间几何体的体积考向1:直接法求体积(1)在梯形ABCD中,ABC=2,ADBC,BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体的体积为().A.23B.43 C.53D.2(2)在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P在线段BD1上,且BPPD1=12,M为线段B1C1上的动点,则三棱锥M-PBC的体积为. 分析(1)画出空间几何体的直观图,然后根据几何体的结构特征代入体积公式求解.(2)根据比例求出三

39、棱锥的高,然后求MBC的面积,代入体积公式得出结论.答案(1)C(2)32解析(1)过点C作CE垂直AD所在直线于点E,梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆半径,线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆的半径,ED为高的圆锥,如图所示.由于V圆柱=·AB2·BC=×12×2=2,V圆锥=13·CE2·DE=13×12×(2-1)=3,所以该几何体的体积V=V圆柱-V圆锥=2-3=53,故选C.(2)BPPD1=12,点P到平面BB1C1C的距离是点D1到平面BB1C1C距离

40、的13,即三棱锥P-MBC的高h=D1C13=1.M为线段B1C1上的点,SMBC=12×3×3=92,VM-PBC=VP-MBC=13×92×1=32.考向2:转化法求体积如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,ABC是边长为4的正三角形,侧面BB1C1C是矩形,D,E分别是线段BB1,AC1的中点.(1)求证:DE平面ABC.(2)若平面ABC平面BB1C1C,BB1=10,求三棱锥A-DCE的体积.分析(1)设AC的中点为H,连接HE,BH,由中位线定理得HEBD,HE=BD,即证得平行四边形EHBD,于是有DEBH,即证得线面平行;(2)由等体积法

41、变换得VA-DCE=VE-ACD=12VC1-ACD=12VA-CDC1.解析(1)如图,设AC的中点为H,连接HE,BH,BDCC1,BD=12CC1,HECC1,HE=12CC1,HE􀱀BD,四边形HEDB是平行四边形,HBDE.又HB平面ABC,DE平面ABC,DE平面ABC.(2)E是线段AC1的中点,连接DC1,则VA-DCE=VE-ACD=12VC1-ACD=12VA-CDC1=12×13×23×12×10×4=2033.考向3:分割法求体积如图,在多面体ABCDEF中,已知四边形ABCD是边长为1的正方形,且AD

42、E,BCF均为正三角形,EFAB,EF=2,则该多面体的体积为. 分析本题是不规则图形,不能直接求解,转化也不方便,可以通过割补法求解.答案23解析如图,分别过点A,B作EF的垂线,垂足分别为G,H,连接DG,CH,易求得EG=HF=12,AG=GD=BH=HC=32,则BHC中BC边的高h=22,SAGD=SBHC=12×22×1=24,V多面体=VE-ADG+VF-BHC+VAGD-BHC=2VE-ADG+VAGD-BHC=13×24×12×2+24×1=23.1.若所给的几何体是规则几何体,则可直接利用公式进行求其表面

43、积与体积.在求三棱锥的体积时,如果条件给出的底面和高不好计算,可以考虑转换三棱锥的底面或高进行求解.2.若所给的几何体不规则,则可用分割法、补形法等方法进行求解.【针对训练2】1.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别为线段AA1,B1C上的点,则三棱锥D1-EDF的体积为. 答案16解析三棱锥D1-EDF的体积即为三棱锥F-DD1E的体积.因为E,F分别为AA1,B1C上的点,所以EDD1的面积为定值12,F到平面AA1D1D的距离为定值1,所以VF-DD1E=VD1-EDF=13×12×1=16.2.如图,AB=8,BC=10,AC=

44、6,DB平面ABC,且AEFCBD,BD=3,FC=4,AE=5.求此几何体的体积.解析用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱,使AA'=BB'=CC'=8,所以V几何体=12V三棱柱=12×SABC×AA'=12×24×8=96.求球的表面积、体积在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若ABBC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是().A.4B.92C.6D.323分析要使球的体积最大,由体积公式可知,只需半径最大,然后根据几何关系求出半径.答案B解析由ABBC,AB=6,BC=8,得AC

45、=10,要使球的体积V最大,则球与直三棱柱的部分面相切,若球与三个侧面相切,设底面ABC的内切圆的半径为r,则12×6×8=12×(6+8+10)·r,则r=2,此时2r=4>3,不合题意.因此当球与三棱柱的上、下底面相切时,球的半径R最大.由2R=3,得R=32,故球的最大体积V=43R3=92.故选B.若本例中的条件变为“直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上”,若AB=3,AC=4,ABAC,AA1=12,求球O的表面积.解析将直三棱柱补形为长方体ABEC-A'B'E'C'(图略),则球O是长方

46、体ABEC-A'B'E'C'的外接球,长方体对角线BC'的长为球O的直径.因此2R=32+42+122=13,故S球=4R2=169.若本例中的条件变为“正四棱锥的顶点都在球O的球面上”,且该棱锥的高为4,底面边长为2,求该球的体积.解析如图,设所求球心为O,半径为r,则在RtAOF中,(4-r)2+(2)2=r2,解得r=94,则球O的体积V球=43r3=43×943=24316.(1)与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.球与旋转体的组合体通常是作它们的轴截面来解题;球与多面体的组合,通过多面体的一条侧棱和球心,或“切点”“接点”作

47、出截面图,把空间问题转化为平面问题.(2)若球面上四点P,A,B,C中,PA,PB,PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直,则可通过补形构造长方体或正方体确定直径,进而解决外接问题.【针对训练3】已知A,B是球O的球面上两点,AOB=90°,C为该球面上的动点,若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为().A.36B.64C.144D.256答案C解析因为AOB的面积为定值,所以当OC垂直于平面AOB时,此时三棱锥的高为R,三棱锥O-ABC的体积取得最大值.由13×12R2×R=36,得R=6.从而球O的表面积S=4R2=144.数学运算体积中的最值

48、问题体积中的最值问题是近年来高考考查的热点内容之一,立体几何中的最值问题涵盖了长度、面积、体积等最值问题,命题的方式多样,常用到函数、基本不等式等进行解答.如图,在四棱锥P-ABCD中,PDAC,AB平面PAD,底面ABCD为正方形,且CD+PD=3.若四棱锥P-ABCD的每个顶点都在球O的球面上,则球O的表面积的最小值为;当四棱锥P-ABCD的体积取得最大值时,二面角A-PC-D的正切值为.  答案65解析设CD=x(0<x<3),则PD=3-x.AB平面PAD,ABPD.又PDAC,PD平面ABCD,则四棱锥P-ABCD可补形成一个长方体,球O的球心为PB的中点,球O

49、的表面积为4x2+x2+(3-x)222=3(x-1)2+26.四棱锥P-ABCD的体积V(x)=13×(3-x)x2(0<x<3),则V'(x)=-x2+2x,当0<x<2时,V'(x)>0;当2<x<3时,V'(x)<0.故Vmax=V(2),此时AD=CD=2,PD=1.过点D作DHPC于点H,连接AH,则AHD为二面角A-PC-D的平面角.DH=1×25=255,tanAHD=ADDH=5.【突破训练】(2018年全国卷)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,ABC为等边三角形且其面

50、积为93,则三棱锥D-ABC体积的最大值为().A.123B.183C.243D.543答案B解析设ABC的外心为O1,球心为O,因为34×AB2=93,所以AB=6,从而AO1=6×33=23,所以OO1=OA2-O1A2=2.当点D到平面ABC的距离最大时,三棱锥D-ABC的体积最大,此时,D,O,O1三点共线,且DO1=2+4=6,体积最大值为13×93×6=183.1.(2019年全国卷)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上,PA=PB=PC,ABC是边长为2的正三角形,E,F分别是PA,AB的中点,CEF=90°,则球O的体积

51、为().A.86B.46C.26D.6答案D解析依题意可知三棱锥P-ABC为正三棱锥,易证PBAC.因为E,F分别是PA,AB的中点,所以PBEF.又CEF=90°,所以PBCE,因为ACCE=C,所以PB平面PAC,所以PA,PB,PC两两垂直,从而三棱锥P-ABC可以补形成一个棱长为2的正方体,则球O的半径为62,故球O的体积为6.2.(2018年全国卷)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1与平面BB1C1C所成的角为30°,则该长方体的体积为().A.8B.62C.82D.83答案C解析由题意可知,AC1B=30°,所以BC1=23,

52、AC1=4,所以CC1=22,则该长方体的体积为2×2×22=82.3.(2018年全国卷)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB互相垂直,SA与圆锥底面所成角为30°.若SAB的面积为8,则该圆锥的体积为. 答案8解析不妨设该圆锥的母线长为a,因为SASB,所以SABS=12a2sinASB=12a2.又因为SABS=8,所以a=4.又在RtAOS中,SAO=30°,所以SO=2,AO=23,所以体积为V=13·OA2·SO=8.4.(2019年全国卷)学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型.如图,该模型为长方体ABCD

53、-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得几何体,其中O为长方体的中心,E,F,G,H分别为所在棱的中点,AB=BC=6 cm,AA1=4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3,不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为 g. 答案118.8解析由题意得V=62×4-13×12×6×4×3=132,故所需原料的质量为132×0.9=118.8(g).5.(2019年江苏卷)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是120,E为CC1的中点,则三棱锥E-BCD的体积是. 答案10解析因为长方体ABC

54、D-A1B1C1D1的体积为120,所以AB·BC·CC1=120,因为E为CC1的中点,所以CE=12CC1,由长方体的性质知CC1底面ABCD,所以CE是三棱锥E-BCD的底面BCD上的高,所以三棱锥E-BCD的体积V=13×12AB·BC·CE=13×12AB·BC·12CC1=112×120=10.对应高效训练P60基础打磨1.(2020届山东潍坊模拟)已知等腰直角三角形的直角边的长为2,将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周所形成的曲面所围成的几何体的体积为().A.223B.423C.22D.4

55、2答案B解析依题意知,该几何体是以2为底面半径,2为高的两个同底圆锥组成的组合体,则其体积V=13(2)2×22=423.2.(2020届烟台模拟)一直三棱柱的每条棱长都是3,且每个顶点都在球O的表面上,则球O的半径为().A.212B.6C.7D.3答案A解析此三棱柱的两个底面的中心的连线的中点就是球的球心,球心与顶点的连线长即为半径,所以r=322+(3)2=212.故选A.3.(2020届山东潍坊市期末)若圆锥的高等于底面直径,侧面积为5,则该圆锥的体积为().A.13B.23C.2D.163答案B解析设圆锥的底面半径为R,则高为2R,母线长l=(2R)2+R2=5R,又侧面积

56、S=Rl=5R2=5,所以R=1,所以V=13×(R2)×2R=23.4.(2020届衡水模拟)九章算术商功章有云:今有圆困,高一丈三尺三寸、少半寸,容米二千斛,问周几何?即一圆柱形谷仓,高1丈3尺313寸,容纳米2000斛(1丈=10尺,1尺=10寸,斛为容积单位,1斛1.62立方尺,3),则圆柱底面圆的周长约为().A.1丈3尺B.5丈4尺C.9丈2尺D.4丈8尺答案B解析由题意知圆柱的体积V=2000×1.62=3240立方尺,又因为圆柱的高h=10+3+13=403,则由题设可得3×403r2=3240,即r=9尺,故圆柱的底面周长l=2×3×9=54尺.5.(2020届安徽合肥联考)圆锥的母线长为4,侧面展开图为一个半圆,则该圆锥表面积为().A.10B.12C.16D.18答案B解析一个圆锥的母线长为4,它的侧面展开图为半圆,半圆的弧长为l=12×2×4=4,即圆锥的底面周长为4,设圆锥的底面半径是r,则得到2r=4,解得r=2,这个圆锥的底面半径是2,故圆锥的表面积为S=8+4=12.6.(2020届福建宁德市质检)已知三棱锥S-ABC的各顶点都在一个球面上,球心O在AB上,SO底面ABC,球的体积与三棱锥体积的比值是4,AC=2,则该球的表面积为().A.B.2 C.3D.4答