新课程中的数学思想究竟要学生学到怎样的程度

1、新课程中的数学思想究竟要学生学到怎样的程度？由执教数学广角（集合）后引发的思考谈桥中心小学 沈瑞华一、背景：最近我有幸在海宁市新课程课堂教学研讨活动中上了一堂公开课，一堂课中凝聚了许多人的心血与汗水，在这一堂课中我们也尝到了许多的苦辣酸甜。从分析教材（由于我一直教高段数学，从没教过新课程，对新课程中教材的编排比较陌生），到了解学生（由于是借班上课，对学生一无所知），到形成初步教学预案，到试教、修改、再试教、再修改，到正式上课及课后的反思研讨与自己的再反思。其间得到了专家、领导以及教师们的热情帮助，从一次次思想的碰撞与交锋中，我深深地体会到了许多东西，开始思考一些以前从未想过的问题。这一次上课的

2、经历，可以说是我教学生涯中一笔宝贵的财富。二、问题：老教材中，数学思想不作为教学内容单列开来进行教学。而新课程中，数学思想既渗透在数与代数、量与计量等其它板块中，又作为一个独立的板块拿出来教学，统称为数学广角。通过对新课程前后教材的查阅，我们发现三年级数学广角中的集合思想处于悬浮状态。前面各册教材中没有这方面的独立板块，后面已经出版的四年级新教材中又没有这方面的内容。新课程刚刚进入三年级，三年级的教师成了“第一批吃螃蟹的人”。在这种实验、尝试阶段，教学这部分内容时究竟该让学生学到一个怎样的程度？这是广大三年级教师们普遍感到困惑的问题。基于这样一个问题，我选择了这一教学内容上了研讨课，目的是抛砖

3、引玉，激发广大教师对这一问题的思考与研讨，通过集体的智慧更好的推动新课程的顺利实施。三、片断与反思：很遗憾没有将这堂课的实录拍摄下来，所以在上好课后的几天里，我只能与本校听过这节课的老师们仔仔细细地对照教案及几本听课笔记，基本记下了这堂课上几个片断的实录。并对每一个环节进行了如下的反思：片断一：质疑激趣师：小朋友，你喜欢动物吗？生（高兴地）：喜欢！师：那你喜欢哪些动物呢？（几个学生分别介绍自己最喜欢的动物）师：今天老师也为大家带来了几种动物，想不想看看？生（众）：想！师：老师先不让你们看，而请你们猜一猜。这些动物中有6种会飞，还有5种会游泳。你知道一共有多少种动物吗？ 学生说出了很多不同的猜想

4、：11种、12种、8种、10种师：到底是几种呢？想不想看看？鸽子乌龟老鹰大雁鲨鱼金鱼蝴蝶天鹅猫头鹰鲸学生们充满期待地望着老师，接着教师用课件出示动物的图片，师生一起数，结果有10种。（这一结果大大出乎很多学生的意料）师：这究竟是怎么回事呢？下面我们就一起来研究这样的数学问题吧！ 反思：利用学生的认知经验，制造新的认知冲突在生活中存在着很多的交集现象，就比如6种会飞的动物和5种会游泳的动物，就有可能会形成交集。但是由于三年级学生认知经验的局限性，他们中的大部份会认为6种与5种合起来共有11种动物，这样想其实是把这两类动物看作了两个完全独立的集合了，忽略了两者存在着交集的可能性。教学时，我抓住学生

5、的这种认知经验，通过猜想后再揭示正确答案，制造出强烈的认知冲突。使学生在内心产生很强的驱动力，迫切的想要找到其中的原因。片断二：体会集合思想师：谁能把刚才这些动物按要求填入下面的圈内？（课件出示下图）会飞的 会游的学生纷纷举手。教师指名回答，并根据学生的回答逐个将这些动物移入相应的圈内（利用课件）。师：会飞的圈内有6种，会游泳圈内的有5种，加起来照理说应该是11种呀，为什么刚才数出来却是10种呢？生：因为天鹅既会飞又会游泳。师：是呀，天鹅既会飞又会游泳，我们就可以用下面这个图来表示。（课件演示由以上两个独立的集合逐渐移动并形成交集的过程）师：你看到了什么？生：我看到这两个圈碰到了。师：你的意思

6、是交叉了是吗？（学生点头）那么这交叉的部份（鼠标指着）是什么呢？生：交叉的部份表示既会飞又会游泳。师：是啊，这交叉的部份表示既会飞又会游泳，它既在会飞的一圈中，又在会游泳的这个圈中（鼠标分别指着这两个圈）。（随后教师又引导学生体会到了图上另外两个部份分别表示只会飞不会游、只会游不会飞）反思：一、抓住教学起点，找准认知发展区集合思想是数学中最基本的思想，甚至可以说，集合理论是数学的基础。从学生一开始学习数学，其实就在运用集合的思想方法了。例如：学生在学习数数时，已经会把1个人、2朵花、3支铅笔用一条封闭的曲线圈起来表示，这就已经具备了简单的集合思想了。所以，对于这一数学思想，学生不是一张白纸。教

7、学时，我找到学生的认知起点，让学生将动物分别填入相应的集合圈内。在学生的这种认知发展区内组织教学，便于学生进一步体会集合思想。二、借助课件，帮助学生体会交集的形成过程我一向不喜欢用课件，在平时的教学中，能不用的话尽量不用。因为一来是自己不太会制作；二来是害怕被课件所束缚，导致课堂上生成出来的东西难以把握。而今天这堂课非常特殊，两个集合相交，形成交集的过程是本节课的重点，但它又非常抽象。对三年级小朋友来说很难理解，教师也很难说得清楚。于是我就利用课件将会飞的动物与会游泳的动物这两个原本独立的集合圈相交的过程展示出来，给看不见、摸不着的数学思想一个具体的形象。让学生在头脑中建立起一个表象，明白两个

8、集合的交集是怎么形成的。三、深入分析，帮助学生体会每一部份的含义两个集合相交后，所形成的五个部份表示的具体含义是本节课的重中之重，是学生能否理性的体会到交集这一数学思想的关键所在。此环节中，我并不满足于让学生明白两个集合的相交部份表示什么，而更强调相交后另外两个部份表示什么含义，以及这三个部分与原来独立的两个集合圈之间的关系。通过让学生观察、体会、表达、补充的这一个过程，使学生不断清晰对这一数学思想的认识，从而深刻的体会到会飞的与只会飞的、会游泳的与只会游泳的之间的区别与联系。片断三列式计算两个相交的集合中各元素的总数师：刚才我们已经通过数一数的办法知道了一共有10种动物，那现在你能不能用个算

9、式表示出来呢？请把算式列在自备本上，有困难的可以举手，老师来帮你！（巡视一圈，发现有5、6个人不能正确列式，其余的小朋友则有许多不同的列式方法）师：刚才老师发现好多小朋友都有不同的方法，想不想把你的方法介绍给四人小组里的小朋友？（学生纷纷在组长的指挥下按次序交流起来）师：谁愿意把你的算式介绍给全班的小朋友，并说说你是怎么想的？生1：5+4+1=10（种）会飞的有5种，会游泳的有4种，既会飞又会游泳的有1种，加起来共10种。师：他说会飞的有5种，你们同意吗？冷场片刻后有4、5个小朋友举手了。生1：应该说成只会飞的有5种，只会游泳的有4种。师：大家同意吗？（众生点头）哦，你真了不起，加了一个字“只

10、”就把它说得很清楚了。其他小朋友还有不同的算法吗？生2：6+5-1=10（种）会飞的有6种，会游泳的有5种，加起来再减去既会飞又会游泳的一种，就是10种。师：他说的你们听懂了吗？（生众：听懂了）师（在1下加着重号）那这儿为什么还要减1呢？生1：因为这个1就代表天鹅，它既会飞又会游泳，所以要减去1。师（指着课件上的交集图）：算式中的6和5分别表示什么？生：6表示会飞的共6种。师（补充）：6种里面把天鹅算进去了吗？生1想了想后肯定地说算进去了，其他同学也一致同意。师：那这个5呢？生：5是会游泳的有5种，天鹅也算进去了。师：是啊，6种会飞的动物里天鹅算进去了，5种会游泳的动物里把天鹅也算进去了。天鹅

11、算了几次？（生众：两次）是啊，所以我们要减去一次。师：还有不同算法吗？生：（5-1）+（7-1）=10（种）师（一下子不太理解这种算法）你是怎么想的呢？生支支吾吾说不清，教师又引导他看图上，并追问：5-1表示什么？7-1表示什么？该生还是没能把自己的想法说出来。这时其他小朋友也都是一脸的迷惘师：这个小朋友做的时候可能多转了个弯，这个7-1是6种加重复部份的1种后又减去这1种，可也是可以的，就是有些麻烦。师：还有其它方法吗？（没有学生举手）好，刚才同学们出现了三种不同的方法，不管你用哪种方法，列对了就举手。（全班大约有5人左右未举手）反思：一、学生已经知道答案了，是否还要在这里安排计算？在学生靠

12、直觉已经知道两类动物共10种后，是否还有必要安排学生列式计算？备课时，我一直在思考这一个问题。经过前几次的试教，我发现这一环节需要安排列式计算。此时的计算不是为了得出答案，而是在有直观图可以借助的情况下，引导学生用算式表示出来。并借助直观的集合图理解算式中每个数字表示的含义，弄清这样算的道理。只有借助直观图的情况下能列式了，明白了这样算的道理，才能在没有直观图的实际问题中明明白白地列出算式。假设这一环节不安排列式，而在巩固练习中遇到纯文字叙述的问题时再安排学生列式的话，对学生来说难度太大。当然不排除少数尖子生能列出算式，但大部分中等及以下学生非但自己不会列式，恐怕对尖子生们列的算式也很难去理解

13、吧！二、本堂课的算法多样，是否需要优化？很多的计算课都需要算法的优化，但本堂课是否也存在着算法优化的问题呢？在计算两个相交集合中各元素的总数时，学生的方法很多，究竟要不要优化呢？如算法一：5+4+1=10这种算法对于这类有直观的集合图且数目较小的题来说最容易，但一旦遇到没有直观图的实际问题时，就很难用这种方法了。每一个实际问题其实都有着不同的特点，每一个学生也有着不同的观察与思考的角度。在这个例子中，有将近一半的学生看成三部份相加，即5+4+1=10（种），但也有学生看作两个独立的集合，再减去重复算的交集部份，即6+5-1=10（种），也有学生会看成两部份相加，即：6+4或5+5。各人观察的角度不同，思考的方式也不同，算法没