垂直于弦的直径课例与反思

1、垂直于弦的直径课例与反思授课班级 九年级 授课时数 1一、 教学内容分析： 本节课主要研究的是圆的轴对称性与垂径定理及简单应用，垂径定理既是前面圆的性质的重要体现，是圆的轴对称性的具体化，也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时也是为进行圆的计算和作图提供了方法和依据，所以它在教材中处于非常重要的位置。 二、 教学目标： 1 知识和技能：通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性；掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题；掌握辅助线的作法过圆心作一条与弦垂直的线段。2 过程和方法：通过定理探究，培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力；向学生渗透“由特殊到一

2、般，再由一般到特殊”的基本思想方法。3 情感态度和价值观：激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望，以及对学生进行数学美的教育 三、 教学重点和难点 1教学重点 垂径定理及其应用： 通过动手操作，对比已有的知识，从一般到特殊的方法让学生经历了动手操作、观察、猜想、归纳等方法 2 教学难点 垂径定理的证明与垂径定理的理解及灵活应用. 通过学生动手做“找圆心”的游戏再利用多媒体播放整个折叠过程 四、 教学环境要求 1每个学生准备若干张圆形纸片；2教师自制的多媒体课件；3上课环境为多媒体大屏幕环境。五、板书设计 课题：垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。已知（1）CD过圆心

3、（2）CD AB于E则 （a）AE=BE（b）AD=BD（c）AC=BC垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。已知（1）CD过圆心（2）AE=BE（AB不是直径）则（a）CD AB于E (b）AD=BD（c）AC=BC2）垂径定理的应用：（1）解决有关弦、弧、半径等问题的计算、证明（和作图） （2）解决某些实际问题（如拱桥等）强化应用意识。 （3）常用的辅助线：（1）作半径； （2）过圆心作弦的垂线段。 （4）常用解法：（1）勾股定理 ；（2）解直角三角形 六、 教学过程：（一） 情景导入1 介绍和展示中国石拱桥中由隋代工匠李春建造的赵州桥（如挂图）。2 该实

4、例中建立与本课题密切有关的数学问题 聆听背景介绍和欣赏石拱桥的图形，并思考教师提出的问题 挂图 以同学们所熟知的赵州桥入手,并从该实例中建立与本课题密切有关的数学问题.这样既能激发学生的兴趣,又能引发学生更深层次的思考.使学生认识到数学总是与现实问题密不可分,将实际问题数学化,可让学生从一些简单实例中不断体会从现实世界中寻找数学模型,建立数学关系的方法. （二 ） 尝试诱导，发现定理1、活动1：让学生拿出事先准备好的圆形纸片，想想能否通过折叠的方法找到该圆的圆心？为什么？2、教师演示线段AB的运动变换。3、让学生大胆提出猜想。 学生通过找圆心的游戏复习了圆的轴对称性学生通过线段AB的运动变换很

5、自然地渡到垂直于弦的直径，经历了由特殊到一般的探索过程，并通过实验-观察-分析-猜想，主动地探索垂径定理的知识 利用多媒体播放折叠过程和线段AB的运动变换过程 教学内容重新整合，将圆的轴对称性的学习变成了操作性强，又具有趣味性的“找圆心”问题，激发了学生的求知欲望，调动了学生学习的积极性，通过线段AB的运动变换很自然地渡到垂直于弦的直径，让学生经历了由特殊到一般的探索过程，这符合学生的认知规律，引导学生通过实验-观察-分析-猜想，主动地探索垂径定理的知识。这一过程突出知识地产生过程，教会学生动眼看、动手做、动脑想、动口说，主动参与到教学活动中，这样做有利于发挥学生的主动性，发展他们的创造性，为

6、达到本课的教学目标奠定了坚实的基础 （三） 引导探究，证明定理教师板书出已知、求证并引导学生从以下两方面寻找证明思路，然后利用叠合法即可证出。根据上面的证明，请学生自己用文字语言和符号语言进行归纳，并将其命名为“垂径定理”。让学生观察图形中，AB是O的弦，CD是O的弦，它们是否适用于“垂径定理”？若不适用，说明理由；若适用，能得到什么结论。 学生在教师的引导下进行定理的证明根据上面的证明，学生自己用文字语言和符号语言进行定理归纳学生观察教师给出的定理的变式图形，以强化对定理基本图形的理解1、在学生动手操作折纸和课件演示的基础上，利用圆的轴对称性，采用叠合法证明垂径定理是学生容易接受的，目的是既

7、使学生重视证明表述，又加深对它的发现与理解。2、让学生经历了实验观察猜想证明，学生的思维逐步被展开，现在可以引导学生证明并归纳定理，归纳定理时采用了文字语言和符号语言两种形式3、强化对基本图形的理解，从特殊到一般，培养学对几何图形的化归思维能力。几何定理中文字语言、符号语言，图形语言的相互联系与转换也是学生应具备的能力。 （四） 例题示范，变式练习1、教师出示例题：例1 如图，已知在O中，弦AB的长8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求O的半径.讲完例1后，教师总结：半径、圆心到弦的距离及弦长三者有何关系？ 例2 在例1图形的基础上，以O的圆心再画一个圆交弦AB于C、D，则AB与CD可能存在的

8、关系？试证明教师总结：在圆中，解弦的有关问题时，常常需要作“垂直于弦的直径”作为辅助线，实际上，往往只须从圆心作一条与弦垂直的线段。 在教师的分析引导下学会利用垂径定理解决相关的数学问题把握解决此类问题的关键点将例2作为例1的延伸，渗透了从“特殊”到“一般”解题思想方法，使学生体会到由浅到深，由表及里的学习过程 ，符合学生的认知规律，引导学生的解法要突出“七字口诀”的重要性及垂径定理的优越性，.通过题组训练使学生对垂径定理有了更进一步认识，并掌握了有关计算、证明等方面的简单应用，教师教学时应突出作圆心到弦的垂线段，是应用垂径定理时常用的添加辅助线方法。（ 五 ） 巩固练习 化疑解难 教师出示课

9、前所留的有关赵州桥桥拱半径的问题。 赵州桥的桥拱呈圆弧形的，它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦AB的距离，也叫弓高）为7.2米。请问：桥拱的半径（即AB所在圆的半径）是多少？ 学生独立思考，当堂练习 数学来源于实践，又应用于实践。在例题中，老师把新课引入的实际问题，在结束前引导学生运用所学知识加以解决，注重培养学生解决实际问题的能力。首尾呼应，形成一个课堂教学的整体。 （六 ） 课堂回顾 画龙点睛 通过本节课的学习你有哪些想法和收获？ 小组讨论后师生共同小结师生共同回顾学习内容，有助于学生将知识系统化，条理化，帮助学生全面理解、掌握所学知识，同时可说明弦的中点、弧的中点都

10、集中在垂直于弦的直径上，对学生进行数学美育教育。 （七） 课后作业 结合学生的实际情况，为了更好地因材施教，作业题分为必做题与选做题， 及时巩固知识，达到课堂内容的延伸，调动学生学习积极性，提高学生思维的广度，培养学生良好的学习习惯及思维品质。 个性化教学 为学有余力的学生所做的调整:为了更好地因材施教，作业题分为必做题与选做题，选做题：有一石拱桥是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽AB=60m，水面到拱顶距离CD=18m，当洪水泛滥时，水面宽MN=32m是否需要采取紧急措施？请说明问题为需要帮助的学生所做的调整:教师参与到讨论当中，做弱势小组的组织者和指导者 形成性检测 1 理解：让学生拿出

11、事先准备好的圆形纸片，想想能否通过折叠的方法找到该圆的圆心？为什么？ 2 应用 根据上面的证明，请学生自己用文字语言和符号语言进行归纳，并将其命名为“垂径定理”. 3 迁移、思考、探究赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图1），它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦AB的距离，也叫弓高）为7.2米。请问：桥拱的半径（即AB所在圆的半径）是多少？ 形成性评价 形成性练习题中的基础题完成得很好，但对于知识迁移的思考题，部分学生解答得不是特别好。通过课堂教学发现学生的知识点掌握较好，学习中投入性与主动性非常高，也乐于发表自己的见解，取得了很好的教学效果。多媒体课件能较好的解决教学的重难点，既提高了教学效率，学生又非常感兴趣。 七、教学反思 数学源于生活，而又服务于生活。本节课的内容与生活是息息相关的，因此学生反映很