人教版八年级数学上册 13.4 课题学习　最短路径问题

1、 “将军饮马将军饮马”的遐想的遐想 将军饮马问题：将军饮马问题： 早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦一天，一位罗马将数学和物理的学者，名叫海伦一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：题： 将军每天骑马从城堡将军每天骑马从城堡A A出发，到城堡出发，到城堡B B，途中，途中马要到小河边饮水一次。将军问怎样走路程最短？马要到小河边饮水一次。将军问怎样走路程最短？ 这就是广为流传的这就是广为流传的将军饮马将军饮马问题。问题。P两点之间线段最短两点之间线段最短.

2、根据：根据：BA两点在一条直线两侧两点在一条直线两侧例例1.1.如图：古希腊一位将军骑马从城堡如图：古希腊一位将军骑马从城堡A A到城堡到城堡B B，途中，途中 马要到小溪边饮水一次。问将军怎样走路程最短？马要到小溪边饮水一次。问将军怎样走路程最短？ 最短路线：最短路线：（分类讨论分类讨论： A -P- B. 例例2.2.如图：一位将军骑马从城堡如图：一位将军骑马从城堡A A到城堡到城堡B B， 途途中马要到河边饮水一次，问：这位将军怎样走中马要到河边饮水一次，问：这位将军怎样走路程最短？路程最短？ AB河河 两点在一条直线同侧两点在一条直线同侧( (二二):):B/c例例2 2变式：已知：变

3、式：已知：P P、Q Q是是ABCABC的边的边ABAB、 ACAC上的点，你能在上的点，你能在BCBC上确定一点上确定一点R R， 使使PQRPQR的周长最短吗？的周长最短吗？两点在一条直线同侧两点在一条直线同侧( (二二) )一次轴对称：一次轴对称：p/R 问题问题 为什么这样做出的线段是最短的呢？你能用所学为什么这样做出的线段是最短的呢？你能用所学的知识证明吗？的知识证明吗？ BlABC证明：证明：如图，在直线如图，在直线l 上任取一点上任取一点C（与点（与点C 不不重合），连接重合），连接AC，BC，BC 由轴对称的性质知，由轴对称的性质知， BC = =BC，BC=BC AC + +

4、BC = = AC + +BC = = AB， AC+ +BC = = AC+ +BC 问题问题为什么这样做出的线段是最短的呢？你能用所学的为什么这样做出的线段是最短的呢？你能用所学的知识证明吗？知识证明吗？ BlABCC 问题问题为什么这样做出的线段是最短的呢？为什么这样做出的线段是最短的呢？你能用所学你能用所学的知识证明吗？的知识证明吗？ BlABCC证明：证明：在在ABC中中， ABAC+ +BC， AC + +BCAC+ +BC即即AC + +BC 最短最短若直线若直线l 上任意一点（与点上任意一点（与点C 不重合）与不重合）与A，B 两点的距离两点的距离和都大于和都大于AC + +B

5、C，就说明，就说明AC + + BC 最小最小 追问追问BlABCC证明证明AC + +BC 最短时，为什么要在直线最短时，为什么要在直线l 上上任取一点任取一点C（与点（与点C 不重合），证明不重合），证明AC + +BC AC+ +BC？这里的？这里的“C”的作用是什么？的作用是什么？ 例例2 2变式：已知：变式：已知：P P、Q Q是是ABCABC的边的边ABAB、 ACAC上的点，你能在上的点，你能在BCBC上确定一点上确定一点R R， 使使PQRPQR的周长最短吗？的周长最短吗？两点在一条直线同侧两点在一条直线同侧( (二二) )一次轴对称：一次轴对称：PR草地草地河边河边.驻地驻地

6、A例例3.3.如图：一位将军骑马从如图：一位将军骑马从驻地驻地A A出发，先牵马去出发，先牵马去草地草地 OMOM吃草，再牵马去吃草，再牵马去河边河边ONON喝水，喝水， 最后回到驻地最后回到驻地A A，问：这位将军怎样走路程最短？问：这位将军怎样走路程最短？OMN( (三三) )：一点在两相交直线内部一点在两相交直线内部例例3 3变式：已知变式：已知P P是是ABCABC的边的边BCBC上的点，上的点， 你能在你能在ABAB、ACAC上分别确定一点上分别确定一点Q Q和和R R， 使使PQRPQR的周长最短吗？的周长最短吗？( (三三) )： 一点在两相交直线内部一点在两相交直线内部例例4

7、4：如图，：如图，A A为马厩，为马厩，B B为帐篷，将军某一天要为帐篷，将军某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮助确定这一天的边饮马，然后回到帐篷，请你帮助确定这一天的最短路线。最短路线。（四）四）：两点在两相交直线内部两点在两相交直线内部ABA/B/PQ最短路线：最短路线：A P Q BA P Q BlMN例4变式：如图，OMCN是矩形的台球桌面，有黑、白两球分别位于B、A两点的位置上， 试问怎样撞击白球，使白球A依次碰撞球台边OM、ON后，反弹击中黑球？（四）二次轴对称：（四）二次轴对称： 两点在两相交直

8、线内部两点在两相交直线内部.AABBCDMON例4变式：A、B在直线OM、ON内部，在OM、ON上分别找点C、D，使四边形ACDB的周长最小。（四）四）：两点在两相交直线内部两点在两相交直线内部小结 将军饮马问题的实质最短路径问题-利用轴对称知识确定最短路线：（1 1）若动点只有一个，则只需做一次轴对称；（2 2）若动点有两个，则需做两次轴对称； (3) (3)不论做一次轴对称，还是两次轴对称，动点所在的直线就是对称轴。小结 将军饮马问题的实质最短路径问题-利用轴对称知识确定最短路线：（1 1）若动点只有一个，则只需做一次轴对称；（2 2）若动点有两个，则需做两次轴对称；求最短路径通常都需要构

9、造直角三角形，然后用勾股定理进行求解。著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的 沪 渝 高 速 公 路 X 同 侧 ，AB=50km,A、B到直线X的距离分别为10km和40km,要在沪渝高速公路旁修建一服务区P,向A、B两景区运送游客.小民设计了两种方案，图11（1）是方案一的示意图(AP与直线X垂直，垂足为P),P到A、B的距离之和S1=PA+PB； 图11（2）是方案二的示意图(点A关于直线X的对称点是A，连接BA交直线X于点P),P到A、B的距离之和S2=PA+PB. (1).求S1 、S2 ,并比较它们的大小.(2).请你说明S2=PA+PB的值为最小.(3).拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km,请你在X,旁和Y旁各修建一服务区P、Q,使P、A、B、Q 组成的四边形的周长最小.并求出这个最小值. 图11（1）? P X B A综合应用： 图11（2）? A B X P 图11（3）? Y Q A B X P 图11（1）? P X B ACQ10501030 图11（2）? A B X P