垂径定理2 (2)

1、垂径定理垂径定理 定理定理 垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦, ,并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧. .OABCDMCDAB,如图如图 CD是直径是直径,AM=BM, AC =BC, AD=BD.推论：平分弦推论：平分弦（不是直径）（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所的直径垂直于弦，并且平分弦所 对的两条弧。对的两条弧。课堂讨论课堂讨论根据已知条件进行推导：根据已知条件进行推导：过圆心过圆心垂直于弦垂直于弦 平分弦平分弦 平分弦所对优弧平分弦所对优弧 平分弦所对劣弧平分弦所对劣弧（1 1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，

2、并且平分弦所 对的两条弧。对的两条弧。（3 3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。（2 2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分 弦所对的另一条弧。弦所对的另一条弧。三个命题三个命题命题一：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且命题一：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。平分弦所对的两条弧。命题三：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分命题三：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。弦所对的两条弧。命题二：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，命题二

3、：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。并且平分弦所对的另一条弧。.OAEBDC已知：已知：AB是弦，是弦，CD平分平分AB，CD AB。求证：求证：CD是直径，是直径， ADBD，ACBC已知：已知：CD是直径，是直径，AB是弦，并且是弦，并且CD平分平分AB。求证：求证：CDAB，ADBD，ACBC已知：已知：CD是直径，是直径，AB是弦，并且是弦，并且ADBD （ACBC）。）。求证：求证：CD平分平分AB，ACBC（ADBD）CD AB 一、判断是非：一、判断是非：（1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。（2）平分弦的直线，

4、必定过圆心。）平分弦的直线，必定过圆心。（3）一条直线平分弦（这条弦不是直径），）一条直线平分弦（这条弦不是直径）， 那么这那么这 条直线垂直这条弦。条直线垂直这条弦。ABCDO(1)ABCDO(2)ABCDO(3)(4)弦的垂直平分线一定是圆的直径。弦的垂直平分线一定是圆的直径。（5）平分弧的直线，平分这条弧所对的）平分弧的直线，平分这条弧所对的 弦。弦。（6）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。ABCO(4)ABCDO(5)ABCDO(6)E（7）平分弦的直径垂直于弦）平分弦的直径垂直于弦随堂训练随堂训练1如图，在如图，在 O中，中，CD是直径，是直径，E

5、A=EB,请些出三个正确的结论请些出三个正确的结论_OBCADE选择：如图：在 O中，AB为直径，CD为非直径的弦，对于（1）ABCD （2）AB平分CD （3）AB平分CD所对的弧。若以其中的一个为条件，另两个为结论构成三个命题，其中真命题的个数为 （ ）A、3 B、2 C、1 D、0。OCDBAA(1)(1)如图如图, ,已知已知OO的半径为的半径为 6 6 cmcm, ,弦弦 ABAB与半径与半径 OAOA的夹角为的夹角为 30 30 , ,求弦求弦 AB AB 的长的长. .OAOCABM(2)(2)如图如图, ,已知已知OO的半径为的半径为 6 6 cm cm, ,弦弦 ABAB与半

6、径与半径 OCOC互相平分互相平分, ,交点为交点为 M M , , 求求 弦弦 AB AB 的长的长. .630EB在在a,d,r,ha,d,r,h中，已知其中任中，已知其中任意两个量意两个量, ,可以求出其它可以求出其它两个量两个量. .（注：（注：a a为弦长为弦长，d d为弦心距，为弦心距，r r为半径为半径，h h为弓形高）为弓形高）EOABDCd + h = rd + h = r222)2(adr例例.已知：如图，直径已知：如图，直径CDAB，垂足为，垂足为E .若半径若半径R = 2 ，AB = , 求求OE、DE 的长的长. 若半径若半径R = 2 ，OE = 1 ，求，求AB

7、、DE 的长的长.32知二求二知二求二 赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为的弦的长）为37.437.4米，拱高（弧的中点到弦的距米，拱高（弧的中点到弦的距离）为离）为7.27.2米，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？米，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？问题？问题？OAB 例例1 1：赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对：赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为的弦的长）为37.437.4米，拱高（弧的中点到弦的距离）为米，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.27.2米，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？米，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗

8、？问题？问题？OABDCr（3 3）. .如图，有一圆弧形桥拱，拱形的半径为如图，有一圆弧形桥拱，拱形的半径为1010米，米，桥拱的跨度桥拱的跨度AB=16AB=16米，则拱高为米，则拱高为 米。米。ABCD4O5.如图，水平放置的一个油管的截面半径为如图，水平放置的一个油管的截面半径为 13cm，其中有油部分油面宽，其中有油部分油面宽AB=24cm，则，则截截面上有油部分油面高面上有油部分油面高CD= 双基训练双基训练 半径、弦长、弓形的高、半径、弦长、弓形的高、圆心到弦的距离圆心到弦的距离知二求二知二求二8cmO OD DC CB BA A1.1.在直径为在直径为650mm650mm的圆柱

9、形油槽内装入一些油后，截面如图所示的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示. .若油面宽若油面宽AB = 600mmAB = 600mm，求油的最大深度，求油的最大深度. . BAOED 600CD在直径为在直径为650650mmmm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面的油面宽的圆柱形油槽内装入一些油后，截面的油面宽AB = 600AB = 600mmmm，求油的最大深度，求油的最大深度. . BAO600 650DCBAOED 600CD随堂训练随堂训练变式：变式：为改善市民生活环境，市建设污水管网工为改善市民生活环境，市建设污水管网工程，某圆柱型水管截面管内水面宽程，某圆柱型水管截面管内水面宽

10、AB=8dm，截，截面半径为面半径为5dm。则水深。则水深_dm.2或或87.7.已知已知:O:O中弦中弦ABCDABCD且且AB=9cm,CD=12cm, AB=9cm,CD=12cm, OO的直径为的直径为15cm,15cm,则弦则弦AB,CDAB,CD间的距离为间的距离为( )( ) A.1.5cm B.10.5cm; A.1.5cm B.10.5cm; C.1.5cm C.1.5cm或或10.5cm D.10.5cm D.都不对都不对; ;CABCDO船能过拱桥吗船能过拱桥吗? ?例例3.3.如图如图, ,某地有一圆弧形拱桥某地有一圆弧形拱桥, ,桥下水面宽为桥下水面宽为7.27.2米

11、米, ,拱顶高出水拱顶高出水面面2.42.4米米. .现有一艘宽现有一艘宽3 3米、船舱顶部为长方形并高出水面米、船舱顶部为长方形并高出水面2 2米的米的货船要经过这里货船要经过这里, ,此货船能顺利通过这座拱桥吗？此货船能顺利通过这座拱桥吗？船能过拱桥吗船能过拱桥吗解解: :如图如图, ,用用 表示桥拱表示桥拱, , 所在圆的圆心为所在圆的圆心为O,O,半径为半径为RmRm, ,经过圆心经过圆心O O作弦作弦ABAB的垂线的垂线OD,DOD,D为垂足为垂足, ,与与 相交于点相交于点C.C.根根据垂径定理据垂径定理,D,D是是ABAB的中点的中点,C,C是是 的中点的中点,CD,CD就是拱高

12、就是拱高. .由题设得由题设得ABABABAB. 5 . 121, 4 . 2, 2 . 7MNHNCDABABAD21, 6 . 32 . 721DCOCOD. 4 . 2 R在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得,222ODADOA.)4 . 2(6 . 3222RR即解得解得 R3.9（m）. 在在RtONH中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得,22HNONOH. 6 . 35 . 19 . 322OH即. 21 . 25 . 16 . 3DH此货船能顺利通过这座拱桥此货船能顺利通过这座拱桥.3cm8.已知已知P为为内一点，且内一点，且OP2cm，如果，如果的半径是的半径是，

13、则过，则过P点的最长点的最长的弦等于的弦等于.最短的弦等于最短的弦等于_。 o o随堂训练随堂训练OAPBNM9.P9.P为为OO内一点内一点, ,且且OP=2cm,OP=2cm,若若OO的半径为的半径为3cm,3cm,则过则过P P点的最短弦长等于点的最短弦长等于( )( ) A.1cm B.2cm C. cm D. A.1cm B.2cm C. cm D.5cm52DOBCADEOAPB10. 10. 同心圆中同心圆中, ,大圆的弦大圆的弦ABAB交小圆于交小圆于C,D,C,D,已知已知AB=4,CD=2,ABAB=4,CD=2,AB的弦心距为的弦心距为1,1,则两个同心圆则两个同心圆的半径之比为的半径之比为( )( ) A.3:2 B. : C. :2 D.5:4 A.3:2 B. : C. :2 D.5:4525B6、为改善市民生活环境，市建设污水管网工程，、为改善市民生活环境，市建设污水管网工程，某圆柱型水管截面如图所示，管内水面宽某圆柱型水管截面如图所示，管内水面宽AB=8dm 。若水管截面半径为若水管截面半径为5dm，则污水的最大深度为，则污水的最大深度为_ dm。若水