梯子模型(轨迹的探究)

1、走进数学实验室系列用几何画板探究“梯子模型”茂名一中数学科组 杨金光【片段摘抄】我们将目光落在梯子模型中的MAB的费马点上（或许大家觉得奇怪，怎么会想到这个点呢？其实没什么，只是去年有道高考题涉及到费马点，从而产生试试这个点的想法），却发现，它的轨迹一直是我想要的（哈，套用了孙俪的广告词）一、 几何画板软件简介几何画板是一个适合数学和物理学科辅助教学的工具，它能为老师和学生提供一个观察和探索数学图形或物理现象内在关系的环境。几何画板最大的特色是“动态性”，即用鼠标拖动图形上的任一元素（点、线、圆），而事先给定的所有几何关系都保持不变。学生可以任意拖动图形、观察图形、猜测并验证，在观察、探索、发

2、现的过程中增加对各种图形的感性认识，形成丰厚的几何经验背景，从而更有助于学生理解和证明，因而也极易激发或培养学生的创造力。相关链接1：两位美国中学生用几何画板发现了“任意等分线段”的新方法，在美国引起轰动效应。我国东北吉林石化实验学校的初二学生关雪扬、黄卉、刘馨，又在两位美国中学生的基础上，加以改进、推广，得到了另一种“等分线段”的新方法。相关链接2：我国东北育才中学冯伟同学，利用几何画板，在“蝴蝶定理”的基础上，将一个圆推广到两个圆，从而发现了“广义蝴蝶定理”。二、“梯子模型”探究1、什么叫“梯子模型”如下图，一根长度一定的梯子斜靠在竖直的墙上，当梯子底端滑动时，探究梯子上某点（如中点）或梯

3、子构成图形上的点的轨迹的模型，就是所谓的梯子模型。 “梯子模型”是个探究性很强的模型。大陆称它为“定长杆问题”，台湾师范大学陈创义教授称它为“等棍问题”。巧的是，我们的高中数学必修课本里也出现了“梯子模型”。它源自于我们课本的一道题：“定长为2a的一条线段，它的两个端点分别在x,y轴上滑动，求线段中点的轨迹。”那么，这个梯子模型，会给我们带来些什么呢？会有意外的惊喜吗？正所谓“一沙一世界”，当笔者带领同学们走进“梯子模型”这个世界时，就好象忽然来到一座开满鲜花的山上，我们随手摘一朵，都是不知名的花儿，我们陶醉了2、上帝是数学家？ 我们是无神论者，由于在探究梯子模型过程中得到的点的轨迹五花八门，

4、结果又出乎人的意料，仿佛来自上帝之手，让人不得不承认，原来上帝也偏爱数学，上帝是不折不扣的数学家。 下面我们与学生一起，先利用几何画板软件，画出“定长为2a的一条线段，它的两个端点分别在x,y轴上滑动”的这个梯子模型，然后再去探究梯子模型的点的轨迹。（1）探究梯子及其延长线上的点的轨迹椭圆规 梯子中点的轨迹（圆，见图1） 梯子非中点的轨迹（椭圆, 见图1） 梯子延长线上点的轨迹（椭圆，见图1）相关链接3：人们利用梯子模型的特性，发明了“椭圆规”。有了它，同学们就可以象用圆规画圆那样，轻易地画出椭圆了。 （图1） (图2)（2） 探究梯子本身的轨迹利用几何画板的跟踪功能，跟踪梯子本身，我们得到一

5、个星形。（见图2）星形，太漂亮了，她来得太突然了,我们一点思想准备都没有。她常在清凉夏夜闪亮登场，她是退潮时海滩浪漫的海星。相关链接4：星形线。它的直角坐标方程是:,参数方程是:.星形线有着广泛的应用.如公共汽车折叠式的门开与关时,就划出星形线.这种门能比普通门节约了更多空间，使车辆载更多的乘客。相关链接5:星形线的另一种形成方法.一个小圆在一个大圆内滚动,小圆上某一固定点形成的轨迹.星形线是内摆线.如右图.（3） 探究梯子上与某线垂直相交的交点（垂足）的轨迹如果我们过平面上任一点Q作梯子AB的垂线，垂足P的轨迹会是什么呢？ Q的位置不特殊（轨迹有点象导弹，见图3） Q点与O点重合（轨迹是玫瑰

6、线，或称梅花，见图4） （图3） （图4）哈，难以想象，一个人类最可恶的东西（导弹）和一个人类最可爱的东西（玫瑰）居然会同时出现在梯子模型中，且是通过同一方法得到，正与邪只不过是一念之差，一纸之隔。我们由得到了玫瑰，自然爱不释手，于是突发奇想：变形1：把墙与地面弄成不垂直，垂足轨迹会是什么？（不是吧，居然是古代女孩子头发上蝴蝶结。难怪此图一出，女同学马上尖叫起来了。见图5）变形2：墙与地面依然垂直，只是把梯子作平行滑动，跟踪中得到的轨迹,形成了色彩斑斓的蝴蝶，见图6。 （图5） （图6）初步的探究,让我们惊喜频频.我们仿佛看到,在一个开满鲜花的山上,一个头戴蝴蝶结的小姑娘,正在追逐着一只色彩斑

7、斓的蝴蝶。不知不觉，天已暗下来，星星却挂满了天幕。正是这种惊喜，使我们倍受鼓舞。坐在山坡上，一阵阵花香飘来，我们精神为之一振，决心乘胜追击，扩大战果。（4） 探究三角形的各种心的轨迹珠江三角洲、长江三角洲的富裕发达，众所周知。梯子模型，好象也有好几个三角洲（形）哟，我们会满载而归吗？三角形的内心轨迹（设Q是平面上任一点）a)QAB的内心P的轨迹i)将Q拖至M处（P点轨迹是正方形，见图7）意外，太意外，刚才轨迹都还是曲的，现在突然成了方的。这难道是暗示着“方与圆的既矛盾又统一”辩证法原理？ii)将Q拖至O处（P点轨迹是“×”形，见图8。）这就怪了，怎么出现一个“×”形，难道这

8、是梯子模型中的禁区？我们无意中闯了进来，有打扰之处，还请多多见谅。iii)将Q在平面上拖动（会变出许多图形，见图9） （图7） （图8） （图9）b) QAM的内心P的轨迹i) Q点与O点重合（轨迹好象蜘蛛侠的“眼镜”？见图10）是不是闯进了梯子模型的禁区，我们都变成蜘蛛侠了？ii) Q在x轴上（P点轨迹象颗花生,见图11） （图10） （图11）三角形的内心，着实让我们的内心澎湃，梯子模型太神奇了，一会儿圆，一会儿方，一会儿变成了蜘蛛侠，让我们好象跨越了时空，在宇宙中翱翔。那么，三角形的其它心呢？外心、旁心、重心、垂心、界心，它们的轨迹又是什么？由于篇幅所限，我们就不在这里展开探究了。有兴趣

9、的同学，可以自己去试试。 探究三角形中特殊的心-费马点的轨迹我们将目光落在梯子模型中的MAB的费马点上（或许大家觉得奇怪，怎么会想到这个点上呢？其实没什么，只是去年有道高考题涉及到费马点，从而产生试试这个点的想法），却发现，它的轨迹一直是我想要的（哈，套用了孙俪的广告词）。如图12。 （图12） 茂名一中校徽我们一直想要的，就是在我们茂名一中50周年校庆之际，用我们数学特有的图形语言，表达我们对学校的爱。我们无意中，找到的茂名一中校徽的外形。相关链接6：在一个多边形中，到每个顶点距离之和最小的点叫做这个多边形的费马点。（5）探究角平分线与AM交点轨迹设N是y轴上高过B点的点，角NBM的平分线与

10、AM交点（轨迹是心形,见图13）角MOA平分线与AM交点（轨迹是无穷大“”形,哈，这个结论还挺数学的。见图14） （图13） （图14）天啊，这样的结果太意外了。上帝居然将一个偌大的心形，隐藏在这个再普通不过的梯子模型中。这难道有什么居心？是不是想告诉我们，大家只要齐心（ ），力量就无穷大（）呢？相关链接7：韩剧嫂子19岁中的浪漫主义数学天才承宰就是通过爱的方程式：17x2-16|x|y+17y2=225 传达他对女友柳敏的感情的。而这个方程式用几何画板画出来，就是右图。3、 神奇的彩色世界色彩几何？几何画板不但有极强的动态探究功能，更有极强的色彩表现功能。如果运用得当，我们可以得到一个更加神

11、奇、连画家都自叹不如的色彩世界。让我们用几何画板跟踪图7中的正方形吧。方法是：（1）量度图7中一些线段的长x；（2）构造x的函数值（如x-trunc(x)，tan(x)等） ;(3)由计算得到的值与要表现色彩的点进行颜色相关；（4）滑动梯子AB，跟踪正方形。由于构造出的图形色彩细腻、均匀，常伴有各种花纹、脸谱，比如罕见的水果、孙悟空脸谱等,简直让人匪思，犹如七仙女手舞仙笔彩带，在天地间飞舞、作画。（1） 单变量与颜色相关算式：PO-trunc(PO)；得到图形：圆系。如图15算式：PM-trunc(PM)；得到图形：街心花园。如图16算式：PS-trunc(PS)；得到图形：猪都笑了。如图17

12、。 其中O是坐标原点，S是角MOA平分线上的一点。 （图15） （图16） （图17）（2） 双变量与颜色相关算式：sin(PA+PB)；得到图形：星系。如图18.算式：sin(PA)+sin(PB)-truncsin(PA)+sin(PB)；得到图形：神奇“水果”、“地毯”。如图19算式：tan-1(PA)-tan-1(PB)-trunc tan-1(PA)-tan-1(PB) ；得到图形：四把剑锋相对的倚天剑。如图20 （图18） （图19） （图20） 怎么样，上面这样图，你能画得如此美丽、精细、神奇吗？或许你会说“不”。但下面一组图，一定会让你目瞪口呆，进而大叹不已双变量中的脸谱世界：

13、算式：sin(PT)+cos(PU)-truncsin(PT)+cos(PU)；图形：中年孙悟空。其中U，T分别在y轴正半轴和负半轴上。如图21算式：sin(PT)+cos(PU)×0.618-truncsin(PT)+cos(PU)×0.618；得到图形：少年孙悟空。如图22。算式：sin(PT)+cos(PU)×1.618-truncsin(PT)+cos(PU)×1.618；得到图形：老年孙悟空。如图23。 （图21） （图22） （图23） 细心的同学，或许在算法里发现了一个神奇的数字，不错，就是黄金分割率0.618或1.618.（3） 三变量与颜色相关算式：sin(PT)+sin(PV)-cos(PU)*0.618-truncsin(PT)+sin(PV)-cos(PU)*0.618；得到图形：居然