中考数学专题：宽高模型解决二次函数中的面积问题(解析版)

1、专题21 宽高模型解决二次函数中的面积问题【模型展示】面积中的宽高模型如图，试探究ABC面积【解法】一：如图1，过点C（定点）作CDx轴交AB于点D，则SABC=SACD+SBCD图1 图2如图2，过点B作BFCD于点F，过点A作AECD于点E，过点A作AGx轴于点G，则SABC=SACD+SBCD=CD·AE+CD·BF=CD·（AE+BF）=CD·OG说明：其中OG表示A、B两点之间在水平方向上的距离，可称为ABC的水平宽，CD可称为ABC的铅垂高，即SABC=×水平宽×铅垂高，可称为“宽高公式”【解法】二：如图3，过点A作ADx

2、轴交BC的延长线于点D，则SABC=SABD-SACD图3 图4如图4，过点B作BHAD交于点H，则SABC=SABD-SACD=AD·BH-AD·CG=AD·（BH-CG）=AD·OC说明：OC是ABC的水平宽，AD是ABC的铅垂高.【解法】三：如图5，过点B作BDy轴交AC于点D，则SABC=SABD+SBCD图5 图6如图6，过点C作CHBD于点H，过点A作AGx轴于点G，交BD的延长线于点E，则SABC=SABD+SBCD=BD·AE+BD·CH=BD·（AE+CH）=BD·AG说明：BD是ABC的水平宽，

3、AG是ABC的铅垂高.【解法】四：如图7，过点A作AEy轴于点E，延长AE交BC反向延长线于点D，则SABC=SACD-SABD图7 图8如图8，过点C作CFAD交于点F，则SABC=SACD-SABD=AD·CF-AD·BE=AD·（CF-BE）=AD·OB说明：AD是ABC的水平宽，OB是ABC的铅垂高.【模型总结】无论点A、B、C三点的相对位置如何，“宽高模型”对图形面积求解总是适用，其证明方法、证明过程、最终结论都基本一致，利用大面积-小面积或割补法求解，体现出数学中“变中不变”的和谐统一之美。1、如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（-3，0

4、），B（1，0），C（0，3）三点（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P为抛物线上在第二象限内的一点，若PAC面积为3，求点P的坐标；解：（1）y=-x2-2x+3；（1） 如图，过点P作PQ/y轴，交AC于点Q，A（-3,0），B（0,3）直线AC：y=x+3设P（x,-x2-2x+3），Q（x，x+3）PQ=-x2-2x+3-(x+3)=-x2-3xSPAC=PQ·OA（-x2-3x）·3=3解得：x1=-1,x2=-2P（-1,4）或（-2,3）2、 在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“

5、铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”S=ah例如：三点坐标分别为A（1，2），B（-3，1），C（2，-2），则“水平底”a=5，“铅垂高”h=4，“矩面积”S=ah=20（1）已知点A（1，2），B（-3，1），P（0，t）若A，B，P三点的“矩面积”为12，求点P的坐标；直接写出A，B，P三点的“矩面积”的最小值（2）已知点E（4，0），F（0，2），M（m，4m），N（n，），其中m0，n0若E，F，M三点的“矩面积”为8，求m的取值范围；直接写出E，F，N三点的“矩面积”的最小值及对应n的取值范围解：（1）由题意：a=4当t2时，h=t-1，则4（t-1）=12，可得t=

6、4，故点P的坐标为（0，4）；当t1时，h=2-t，则4（2-t）=12，可得t=-1，故点P 的坐标为（0，-1）；根据题意得：h的最小值为：1，A，B，P三点的“矩面积”的最小值为4；故答案为：4；（2）E，F，M三点的“矩面积”为8，a=4，h=2，0mm0，0m3、如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+6（a0）交x轴于A（-4，0），B（2，0），在y轴上有一点E（0，-2），连接AE（1）求二次函数的表达式；（2）点D是第二象限内的抛物线上一动点求ADE面积最大值并写出此时点D的坐标；若tanAED=，求此时点D坐标；（3）连接AC，点P是线段CA上的动

7、点，连接OP，把线段PO绕着点P顺时针旋转90°至PQ，点Q是点O的对应点当动点P从点C运动到点A，则动点Q所经过的路径长等于 （直接写出答案）解：（1）将A（-4，0），B（2，0）代入y=ax2+bx+6（a0），可得：a=，b=y=x2x+6（2）如图所示，由“宽高模型”易证得SADE=DF·OE由A（-4,0）E（0，-2）可得：直线AE解析式为：y=x-2设D（x，x2x+6）则F点的纵坐标为x2x+6点F在直线AE上，F的横坐标为x2x-16DF=x2x+16又OE=2SADE=DF·OE=x2x+16=（x+）2+<0，抛物线开口向下当x=-时

8、，SADE取最大值，此时点D（-，）如图，过点A作AHDE交DE于点H，tanAED=，OA=4，OE=2AE=AH=，HE=3易证AHGEOG=设OG=m，则HG=mGE=HE-HG=3-m在RtOGE中，由勾股定理可得：m=2OG=2G（-2,0）直线GE解析式为：y=-x-2联立抛物线和直线GE函数解析式，可得：D（）（3）如图所示，Q点随P点运动而运动，P点在线段AC上运动，Q点的运动轨迹是线段，当P点在A点时，Q（-4，-4），当P点在C点时，Q（-6，6），Q点的轨迹长为2.4、如图，已知抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C（1）求A、B、C三点的坐标;（2）过点A作APCB交抛

9、物线于点P，求四边形ACBP的面积;（3）在轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由【解析】解：（1）令，得 解得令，得 A B C （2）OA=OB=OC= BAC=ACO=BCO=APCB， PAB= 过点P作PE轴于E，则APE为等腰直角三角形令OE=，则PE= P点P在抛物线上 解得，（不合题意，舍去） PE=四边形ACBP的面积=ABOC+ABPE=(3) 假设存在PAB=BAC = PAACMG轴于点G， MGA=PAC =在RtAOC中，OA=OC= AC=在RtPAE中，AE=PE

10、= AP= 设M点的横坐标为，则M 点M在轴左侧时，则() 当AMG PCA时，有=AG=，MG=即 解得（舍去） （舍去）() 当MAG PCA时有=即 解得：（舍去） M 点M在轴右侧时，则 () 当AMG PCA时有=AG=，MG= 解得（舍去） M () 当MAGPCA时有= 即 解得：（舍去） M 存在点M，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似M点的坐标为，5、如图,在平面直角坐标系中，ABC是直角三角形,ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4，抛物线经过A，B两点，抛物线的顶点为D（1）求b,c的值；（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点(点A、B除外)，过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下：求以点、为顶点的四边形的面积；在抛物线上是否存在一点P，使EFP是以EF为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由.【解析】解：（1）由已知得：A（-1，0） B（4，5）二次函数的图像经过点A（-1，0）B(4,5)解得：b=-2 c=-3（2）如题图：直线AB经过点A（-1，0） B(4,5)直线AB的解析式为：y=x+1二次函数 设点E(t， t+1),则F（t，）EF= =当时，EF的最大值=点E的坐标为（，）（