对柳比莫夫摆运动规律的探讨

1、对柳比莫夫摆运动规律研究张邦健、陈永强、田心怡、丰七星（内江师范学院物电学院09级1班）摘要 本文推出了柳比莫夫摆的动力学特征方程，证明柳比莫夫摆做非匀速圆周运动，并得到了柳比莫夫摆的周期公式。利用本文结果研究表明，小球质量远远小于框的质量时的周期公式可以作为柳比莫夫摆运动周期公式的特例给出。关键词 柳比莫夫摆 特征方程 周期1. 问题的提出图1所示为柳比莫夫摆，框架上悬挂小球，将小球移开平衡位置并给其一起切向速度，同时释放框架。当时，小球绕框做匀速圆周运动。那么不满足这个条件时，而是m与M可比拟时，小球又将做怎样的运动呢？本文研究了柳比莫夫摆的动力学特征，结合Mathematica进行分析，

2、并给出了正确的结论。2柳比莫夫摆的动力学特征方程Mm图1 柳比莫夫摆装置图图我们采用隔离法来建立方程，首先以M为研究对象，该物体受到三个力的作用，即重力，绳对框的拉力，杆对框的作用力，如图2所示图2 框的受力示意图根据牛顿第二定律可知 （1）式中 （2）由于M固定在两杆之间，只有在y轴方向上才有加速度，因此有 （3） y轴方向上有 （4）再以小球作为研究对象，该物体收到三个力，即重力，绳给小球的拉力，惯性力的作用，如图3所示。图3 小球的受力示意图根据牛顿第二定律，有 （5）式中 （6）其中，均为小球相对于框的加速度对应的x、y轴上的标量方程为 （7） （8）利用x、y方向的分速度与夹角的关系

3、可知 （9）对m建立轨迹法线方向动力学方程方程，有 （10）其中，均为小球相对于框的速度由（4）（7）得 （11）由（8）（10）得 （12）（11）代入（12）得 （13）根据加速度间的关系可知 （14）再对m建立轨迹切线方向动力学方程，有 （15）联立（11）（14）（15）可解得 （16） （17）将其代入（13）得 （18）又有 （19）因此就有 （20）3.证明小球做圆周运动3.1. 证明小球不是做摆运动假设小球做摆运动，因很小，则近似有即 （21）令，则（20）可化 （22）通过分离变量法，可解得 （23）（或）恒成立，是关于t的单调递增（或递减）函数，与小球做摆的运动矛盾。也可从

4、定性的角度进行分析，从而得出小球的运动规律并非为摆：（7）式变形可得。若为摆，则小球始终在悬点以下，因此球对框的拉力始终向下，由（4）有 (因与同向)。恒成立。即小球相对于框的竖直加速度一直向上。而摆在最大摆角处时为切线方向且向下，此时，由此也可说明小球不是做摆运动,并验证了上述推导的正确性。3.2.证明细绳始终是绷直的假设在某时刻，小球的位置在指向悬点方向有一微小偏量，如图4所示。mg图4 ab则此时拉力F为零，即，惯性力与小球所受的重力恰好抵消。小球将以相对于框的原速度运动，即沿弦ab方向做直线运动，则必然会使细绳拉直，由于偏量很小，所以经历的时间也无限短。也即小球一偏离圆弧轨道，就会马上

5、重新回到圆弧轨道上，说明小球在法线方向上不可能有位移，也就证明了细绳始终是绷直的。由于绳在任意时刻都是绷直的，且小球又不是做摆运动，则相对于框，小球必然做圆周运动。由于摆角可取任意值，不能通过这个近似条件进行简化。下面通过理论推导，再借助Mathematica数学软件进行处理，从而得出小球的运动规律，并给出周期公式。4.柳比莫夫摆的运动周期4.1.柳比莫夫摆运动的一般周期由（4）（7）得 （24）再与（4）（8）联立，可得 （25）又由（5）式有 （26）即 （27）两边同时积分得 （28）将初速度条件代入得 （29）将（13）代入（9）得 （30）将（14）（15）得 （31）令 （32）可

6、化为 （33）其中, （34）或由于二式是对称的，两者的规律应是相同的，以下只对进行讨论。一般来说，有， 即与相比较大。因此在附近做微小的摆动，根据Mathematica所绘关系，如图5所示（下图初始条件均为，）(a)5101520t102030405060a（M=m）(b)5101520t102030405060a（M=3m）(c)5101520t1020304050a(M=10m) 图5 a与t的关系图从而，近似的有， （35）所以，在求周期时可近似看作 （36） （37） （说明：（36）式本身误差是较大的，因为是将它看成了匀速圆周运动。由于是在上下波动，因此角速度与上述等效角速度相比是

7、时大时小，这样就可以再一定程度上进行抵消，使所求周期的精度更为准确，而且波动也较小，所以完全可以按照这种等效法来近似地求出周期）4.2.时的周期此时，因此 （38）因此小球相对于框做匀速圆周运动 （39）下面由以上所求周期公式计算该情形的周期因 （40）其中当时， （41） （42） （43）即小球质量远远小于框的质量时的周期公式可作为柳比莫夫摆周期公式的特例给出，同时也说明了柳比莫夫摆周期公式的正确性。5结论本文利用经典力学理论推出了柳比莫夫摆的动力学特征方程，证明了柳比莫夫摆做非匀速圆周运动，并得到了柳比莫夫摆运动的周期公式。利用本文结果研究表明，时的柳比莫夫摆周期公式可作为柳比莫夫摆运动周期公式的特例给出。参考