函数概念及其表示复习

1、函数的概念及其表示一函数的概念函数的定义：映射的定义：函数与映射的关系例题 二.函数的表示方法图像法，列表法，解析法三.求函数的定义域1、 . 基本的（1）分式中的分母不为零；（2）偶次方根下的数（或式）大于或等于零；（3）指数式的底数大于零且不等于一；（4）对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零；2、 抽象的一、已知的定义域，求的定义域例1 已知函数的定义域为，求的定义域分析：该函数是由和构成的复合函数，其中是自变量，是中间变量，由于与是同一个函数，因此这里是已知，即，求的取值范围解：的定义域为，故函数的定义域为二、已知的定义域，求的定义域例2已知函数的定义域为，求函数的定义域分析：令，则

2、，由于与是同一函数，因此的取值范围即为的定义域解：由，得令，则，故的定义域为（运算型抽象函数）例若的定义域为，求的定义域解：由的定义域为，则必有解得所以函数的定义域为3、逆向型例5已知函数的定义域为求实数的取值范围。分析：函数的定义域为，表明，使一切都成立，由项的系数是，所以应分或进行讨论。解：当时，函数的定义域为；当时，是二次不等式，其对一切实数都成立的充要条件是 综上可知。评注：不少学生容易忽略的情况，希望通过此例解决问题。例6已知函数的定义域是，求实数的取值范围。解：要使函数有意义，则必须恒成立，因为的定义域为，即无实数解当时，恒成立，解得；当时，方程左边恒成立。综上的取值范围是。练习：

3、1、 求下列函数的定义域2、 求抽象函数定义域（1）若函数的定义域为，求的定义域。（2）若函数的定义域为，求的定义域。（3）若函数的定义域为，求的定义域。（4）若函数的定义域为，求的定义域。四求函数的值域相关概念1、值域：函数，我们把函数值的集合称为函数的值域。2、最值：求函数最值常用方法和函数值域的方法基本相同。事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大数，这个数就是函数的最小(大值。因此，求函数的最值和值域，其实质是相同的，只是提问不同而已。3、值域与最值的联系与区别：联系：若函数同时具有最大值b和最小值a，则值域为a, b；区别：凡函数都有值域,但不一定有最值.4、与最值有关的“恒成立”

4、的意义： f(xa恒成立 f(xmina，f(xb恒成立 f(xmaxb.基本函数的值域1、一次函数的值域为R；2、二次函数 3、反比例函数的值域为；4、数函数的值域为；5、对数函数的值域为R。常用方法：1、直接法：从自变量的范围出发，推出的取值范围。例1：求函数的值域。解：， 函数的值域为。2、配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如的函数的值域问题，均可使用配方法。例2：求函数（）的值域。解：， ，函数（）的值域为。3、反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。例3：求函数的值域。解：由解得， ， 函数的值域为。4、分离常数

5、法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。例4：求函数的值域。解：，函数的值域为。5、换元法：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如（、均为常数，且）的函数常用此法求解。例5：求函数的值域。解：令（），则，当，即时，无最小值。函数的值域为。6、判别式法：把函数转化成关于的二次方程；通过方程有实数根，判别式，从而求得原函数的值域，形如（、不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。例6：求函数的值域。解：由变形得，当时，此方程无解；当时，解得，又，函数的值域为7、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）

6、上的单调性，求出函数的值域。例7：求函数的值域。解：当增大时，随的增大而减少，随的增大而增大，函数在定义域上是增函数。，函数的值域为。8、利用有界性：利用某些函数有界性求得原函数的值域。例8：求函数的值域。解：由函数的解析式可以知道，函数的定义域为，对函数进行变形可得， ，（，）， 函数的值域为9、图像法（数型结合法）：函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法。例9：求函数的值域。解： ，的图像如图所示，由图像知：函数的值域为练习：3、 求下列函数的值域分式函数求值域的方法：分离常数法、判别式法、反解法（1） （2）(3 整式函数或可化

7、为整式函数求值域的方法：配方法、换元法、（4）（5）（6）绝对值函数求值域的方法：图像法（7）五求函数的解析式一、 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。例1 设是一次函数，且，求二、 配凑法：已知复合函数的表达式，求的解析式，的表达式容易配成的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数的定义域不是原复合函数的定义域，而是的值域。 例2 已知 ，求 的解析式三、换元法：已知复合函数的表达式时，还可以用换元法求的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。例3 已知，求四、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。例5 设求例6 设为偶函数，为奇函数，又试求的解析式六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，