333_点到直线的距离_课件（人教A版必修2）

1、点点P(2,5)到直线到直线 l 的距离的距离 d =_.512)25895)2522(PQ22(|d则直线则直线 l 的方程为的方程为_.已知直线已知直线 l 经过点经过点R (2, 1) 和和 S (-1, 5),3x 4y+14=0512则则l1的方程为的方程为_.过点过点 P (2, 5) 作直线作直线 l1l，设设l、l1交于交于Q , 由由 4x+3y 11=03x 4y+14=04x+3y 11=0)2589252Q(,得得:3(x-2) -4(y-5)=0点到直线的距离点到直线的距离（课堂教学实录）（课堂教学实录）问题问题 已知已知：点点P (x0 , y0) 和直线和直线 l

2、: Ax+By+C=0 求点求点P到直线到直线l 的距离的距离.分析分析1 1 过点过点P作作l1l ，垂足为垂足为Q，则，则 |PQ| 就是点就是点P 到到 直线直线l 的距离的距离. 依题意依题意 l1: B x-Ay-Bx0+Ay0=0Ax+By+C=0 B x-Ay-Bx0+Ay0=0Q(x, y)满足满足:2200BABCByABxy22002BAACAByxBx22000BACByAxAxx)(22000BACByAxByy)(220022200222002020)()()()PQBA|CByAx|BACByAxBBACByAxAyyxx(|结论结论 点点P (x0 , y0)到直

3、线到直线 l: Ax+By+C=0的距离为的距离为:2200BA|CByAx|dA(x-x0)+B( y-y0)= -Ax0-By0-C - B(x-x0)A( y-y0)=0 -Ax+By+C=0 B x-Ay-Bx0+Ay0=0Q(x, y)满足满足:22002020)()(PQBA|CByAx|yyxx|d2+2：(A2+B2)(x-x0)2+( y-y0)2=(Ax0+By0+C)2 分析分析2 2 设设M(x, y)是直线是直线 l 上的一个动点上的一个动点, 则则P到直线到直线 l 的距离就是的距离就是 |PM| 的最小值的最小值.20202)()(PMyyxx|222002200

4、0022022022222200222020202222)(2224)2()2(4|PMBACByAxBABCyyABxACxCyBxABBABACAByxBBCBCyyxBBA|min2200PMBA|CByAx|dmin2020)()(yBCAxxx2202020200222222)(2BCBCyyxxBACAByxBxBBA2220022200222002222220202020022222202020202)()()(2)( 2)()()()(PMBACByAxBACByAxBAACAByxB-xBBABCBCyyxxBACAByxBxBBAyBCAxxxyyxx|222002)(|P

5、MBACByAx|min2200PMBA|CByAx|dmin刚才你在计算时画图了吗刚才你在计算时画图了吗? ?|PS|=3，|PR|=4，|RS|=5512|RS|PR|PS|d 已知直线已知直线 l 经过点经过点R (2, 1) 和和 S (-1, 5), 则直线则直线 l 的方程的方程为为 4x+3y-11=0 . 点点P(2,5)垂直于垂直于l 的方程为的方程为3x-4y+14=0，点点P(2,5)到直线到直线 l 的距离的距离 d = .5125-5-55PQSR分析分析3 3当当A.B0 时时, 直线直线 l 与与x 轴轴、y 轴都相交轴都相交.过过P分别分别作作x 轴轴、y 轴的

6、平行线轴的平行线,交直线交直线l 于于S 、R两点两点, 则则RtPRS中斜边中斜边RS上的高上的高PQ的长就是的长就是P到直线到直线 l 的距离的距离. |ACByAx|xx|0010PS|BCByAx|yy|0020PR|CByAx|AB|BA|002222PRPSRS2200|RS|PS|PR|PQBA|CByAx|d由由P (x0 , y0)及及l: Ax+By+C=0 设设S(x1, y0),R(x0, y2),则则BCAxy02ACByx01得得:Ax1+By0+C=0Ax0+By2+C=0当当A=0A=0或或B=0B=0时仍适用时仍适用1. 当当P(x0 ,y0)在直线在直线 l

7、: Ax+By+C=0上时上时, d=0.2. 当当A=0或或B=0时时,公式也适用公式也适用. 但可以直接求距离但可以直接求距离.结论结论 点点P (x0 , y0)到直线到直线 l: Ax+By+C=0的距离为的距离为:2200BA|CByAx|d另有分析另有分析4，有兴趣的可课后探索（见后），有兴趣的可课后探索（见后）例例1.求点求点 P ( -1, 2 ) 到下列直线的距离到下列直线的距离: 2 x + y 10 =0 3 x =2解解: 5251012|10-21(-1)222|d35|(-1)32|d 因为直线因为直线3x=2平行于平行于y轴轴, 所以所以练习练习2 A(-2,3)

8、到直线到直线 3x+4y+3=0的距离为的距离为_. B(-3,5)到直线到直线 2y+8=0的距离为的距离为_.959132 0 练习练习1 求原点到下列直线的距离：求原点到下列直线的距离：(1) 3x+2y-26=0 (2) y=x例例2. 求平行线求平行线 2x -7y +8=0 和和 2x -7y -6=0 的距离的距离.解解: 在直线在直线 2x -7y -6=0 上取上取 P( 3, 0), 则则 P( 3, 0)到到直线直线 2x -7y +8 =0 的距离就是两平行线间的距离的距离就是两平行线间的距离.5353145314(-7)28073222|d 两条平行线两条平行线 A

9、x+By+C1=0 和和Ax+By+C2=0的距离公式是什么的距离公式是什么?2221BA|CC|d例例4. 边长为边长为4 的正方形中心为的正方形中心为Q (1,-1), 一边的斜率为一边的斜率为 ,求正方形各边所在直线的方程求正方形各边所在直线的方程.3例例3. 在抛物线在抛物线 y=4x2 上求一点上求一点P, 使使P到直线到直线 l: y=4x-5 的的距离最短距离最短,并求出这个最短距离并求出这个最短距离.解解:依题意设依题意设 P(x,4x2), 则则P到直线到直线l: 4x- y-5=0的距离为的距离为174) 1(2175441454) 1(42002022200-x|xx|x

10、x|d17174.1)21(P210有有最最小小值值时时点点坐坐标标为为即即当当d,x作业：作业：P54 / 13、14、15、16.)(00BCAx,xR|BCByAx|00PR-55105-5QPSR-55105-5QPSR22211BA|B|tancos .BA|CByAx|BA|B|B|CByAx|cos|PR|PQ|22002200 tan2= tan2=22BA(90)如图如图RtPR中中, |PQ|=|PR|cos分析分析4 4= 或或= 180( 是倾斜角是倾斜角) 教师提供知识背景，创设问题情境，让学生教师提供知识背景，创设问题情境，让学生从不同的角度分析比较从不同的角度分析比较, 寻求计算点到直线距离寻求计算点到直线距离的方法的方法, 从按常规思路从按常规思路“求交点算距离求交点算距离”、到观、到观察动画从变化的角度构造函数求察动画从变化的角度构造函数求“极值极值”，再挖，再挖掘几何条件掘几何条件“形数结合形数结合”，在直角三角形中求解。，在直角三角形中求