2224一元二次方程根与系数的关系H

1、 数学就是这样一种东西：她要求我数学就是这样一种东西：她要求我们扎扎实实地学习，勤勤恳恳地探索。们扎扎实实地学习，勤勤恳恳地探索。她提醒你有无形的灵魂，她赋予她所发她提醒你有无形的灵魂，她赋予她所发现的真理以生命；她唤起心神，澄清智现的真理以生命；她唤起心神，澄清智能；她给我们的内心思想添辉；她涤尽能；她给我们的内心思想添辉；她涤尽我们有生以来的蒙昧与无知；并赐予你我们有生以来的蒙昧与无知；并赐予你能力去解决你遇到的问题。能力去解决你遇到的问题。22.2.4一元二次方程根与系数的关系1.一元二次方程的一般形式是什么？一元二次方程的一般形式是什么？3.一元二次方程的根的情况怎样确定？一元二次方程

2、的根的情况怎样确定？2.一元二次方程的求根公式是什么？一元二次方程的求根公式是什么？)0(02acbxaxacb42没有实数根两个相等的实数根两个不相等的实数根000) 04(2422acbaacbbx填写下表：填写下表：方程方程两个根两个根两根之两根之和和两根之两根之积积0432xx0652xx01322 xx2x1x21xx 12xxabac41343423565621123212321Pq2121212+ =0+=_=_.xpx qxxxxxx如果一元二次方程的两个根是 、 ，则有，12:_(1).xx以 、 为两个根的一元二次方程可以写成二次项系数为2121 2( + )0 xx x

3、xx x2121212+ =0(a0)+=_=_.xbx cxxxxxx如果一元二次方程a的两个根是 、 ，则有，aca2222+ =0(a0)4422xbx cbbacbbacxxaa 由求根公式得，一元二次方程a的两根为，2212+44+ =+22bbacbbacx xaa 2=2ba=ba2212+44=22 bbacbbacxxaa2222()(4)=4bbaca24=4aca=caaacbbacbb2442222244aacbb21212120(0)+=.axbxcaxxbcxxxxaa， 如果一元二次方程的两个根分别是 和 则有，小结小结： 这这就是一元二次方程就是一元二次方程根与

4、系根与系数的关系数的关系，也叫也叫韦达定理韦达定理.前提条件前提条件b24ac0韦达（法国数学家）韦达（法国数学家）韦达简介：韦达，韦达简介：韦达，15401540年生于法国的年生于法国的普瓦图，普瓦图，16031603年年1212月月1313日卒于巴黎。日卒于巴黎。年青时学习法律当过律师，后从事政年青时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会的议员，在对西班治活动，当过议会的议员，在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码。牙的战争中曾为政府破译敌军的密码。韦达还致力于数学研究，第一个有意韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、识地和系统地使用字母来表示已知数、未知

5、数及其乘幂，带来了代数学理论未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根研究的重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系，所以人们把叙述一元数之间的关系，所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理韦达定理”。韦达是法国十六世纪。韦达是法国十六世纪最有影响的数学家之一，在欧洲被尊最有影响的数学家之一，在欧洲被尊称为称为“代数学之父代数学之父”。1、根据根与系数的关系，说出下列各方程的两根、根据根与系数的关系，说出下列各方程的两根之和与两根之积：之和与两根之积：(1) x2

6、 - 2x - 1=0（3）2x2 - 6x =0（4)4) 3x2 = 4(2）2x2 - 3x + =021x1+x2=2x1x2=-1x1+x2=3x1+x2=0 x1x2=0 x1+x2=23x1x2=41x1x24=30122 xx21,xx_21xx_21xx632 xx21,xx_21xx_21xx02 qpxx21213126.以以2和和3为根的一元二次方程是为根的一元二次方程是_.5.已知两个数的和是已知两个数的和是7,积是积是12，则这两个数，则这两个数是是_.和2+6=0 xx例例1、已知方程、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个的一个根是根是2 ,求它的另一个根及

7、求它的另一个根及k的值的值.解法一：设方程的另一个根为解法一：设方程的另一个根为x1.由根与系数的关系，得由根与系数的关系，得x1 2= k+12x1 = 3k解这个方程组，得解这个方程组，得x1 =3 k =2答：方程的另一个根是答：方程的另一个根是3 , k的值是的值是2.解法二：设方程的另一个根为解法二：设方程的另一个根为x1.把把x=2代入方程，得代入方程，得 42(k+1)+3k=0解这方程，得解这方程，得 k=2由根与系数的关系，得由根与系数的关系，得2x13k即即2x16 x13答：方程的另一个根是答：方程的另一个根是3 , k的值是的值是2.212222212122112122

8、11122241 011(1)+ (2)+ (3)+ (4)( +1)( +1)(5)+ (6)xxxxxxx xx xxxxxxxxxxx 例 、已知 、 是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：12121+=2=.2xxxx解：由根与系数的关系得：，222212121212+=+22xxxxx xx x212122 =( +)21 =22 ()=52xxx x12121211(2)+=+xxxxx x2212121212 (6)= () = ( +)xxxxxxx x42212211212(3)+=( +)x xx xx x xx121212+1)(+1)=+ +4

9、)1(+(xxx xxx2221211212(5)+=+xxxxxxx x1、已知方程、已知方程3x219x+m=0的一个根是的一个根是1，求它的，求它的另一个根及另一个根及m的值的值.3、设、设x1,x2是方程是方程2x24x3=0的两个根，求的两个根，求 (x1x2)2 x13x2x1x23 的值的值.m= 3，x= 16 2、若关于、若关于x的方程的方程x2kx60的一个根是的一个根是2，求它的另一个根及求它的另一个根及k的值的值. 4.4.方程方程 的两根互为倒数，的两根互为倒数，求求k的值的值.01232kkxx1kk=1，x = 3 21212 =( +)4=10 xxx x212

10、1212=( +)2=14x xxxx x24 (m+1) +=0、已知关于 的方程1xxx m若两根和为若两根和为3，则，则m=_.若两根互为相反数，则若两根互为相反数，则m=_.若两根互为倒数，则若两根互为倒数，则m=_.若两根积为若两根积为0，则，则m=_.21325.5.已知方程已知方程 的两根的两根为为 、 ， 且满足且满足 ，求，求k的值的值.02) 12(2kxkkx1x2x32221 xx2.2.应用一元二次方程的根与系数关系时应用一元二次方程的根与系数关系时, ,特特别注意别注意: :把方程化成一般形式把方程化成一般形式. . 1.1.一元二次方程一元二次方程axax2 2+

11、 +bx+c=0(a0)bx+c=0(a0)根与系根与系 数的关系数的关系2240bac（ ）（1 1）若两根互为相反数）若两根互为相反数, ,则则b 0;（2 2）若两根互为倒数）若两根互为倒数, ,则则a c;（3 3）若一根为）若一根为0, ,则则c 0 ; ;（4 4）若一根为）若一根为1,1,则则a b c 0 ; ;（5 5）若一根为）若一根为 1, ,则则a b c 0;（6 6）若）若a、c异号异号, ,方程一定有两个实数根方程一定有两个实数根. .拓展：拓展：一元二次方程一元二次方程ax2 bx c 0 (a 0，0)解解: :设方程的两实数根为设方程的两实数根为x1、x2，则由根与系数的关系得则由根与系数的关系得 x x1 1+x+x2 2=m=m 1 1，x x1 1x x2 2 =2m=2m 1 1， (m(m 1)1)2 2 4(2m4(2m 1)1) m m2 2 6m6m 5 5两根互为相反数两根互为相反数 x x1 1+x+x2 2= =0,即即m10, m1,当m1时m m2 2 6m6m 5=125=120 m1时时, ,方程的两根互为相反数方程的两根互为相反数.