函数极限的求法(共10页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业序言极限研究的是变量在变化过程中的趋势问题。数学分析中所讨论的极限大体上分为两类：一类是数列的极限，一类是函数的极限。两类极限的本质上是相同的，在形式上数列界限是函数极限的特例。因此，本文只就函数极限进行讨论。函数极限运算是高等数学的一个重要的基本运算，一部分函数的极限可以通过直接或间接的运用“极限四则运算法则”来求解，而另一部分函数极限需要通过特殊方法解决。求函数极限的方法较多，但是每种方法都有其局限性，都不是万能的。对某个具体的求极限的问题，我们应该追求最简便的方法。在求极限的过程中，必然以相关的概念、定理以及公式为依据，并借助一些重要的方法和技巧

2、。本文给出了十二种求极限的方法，每种方法都是以定理或简述开头，然后以例题来全面展示具体的求法。下面我们就根据函数的特点分类进行讨论。一、函数极限的定义定义一：若当 x 无限变大时，恒有|f(x)-a|，其中是可以任意小的正数，则称当 x 趋向无穷大时，函数 f（x）趋向于 a，记作f(x)=a 或 f(x)a(x+)。xlim定义二：若当 x 无限接近时，恒有|f(x)-a|，其中是可以任意小的正数，则称当 x0 x趋向时，函数 f（x）趋向于 a，记作f(x)=a 或 f(x) a(x-)。0 x0 xlimx0 x二、函数极限的求法下面我们以相关的概念、定理及公式为依据，解决常见函数极限的

3、求解方法：1、直接代入法适用于分子、分母的极限不同时为零或不同时为。例 1：求1352lim22xxxx分析：由于(2+x-5)=2+x-5=2+2-5=5,2limx2x2limx2x2limx2limx22精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业（3x+1）=3x+1=32+1=72limx2limx2limx所以采用直接代入法。解：原式=) 13 (lim5xx2lim222xxx）（12352222752、利用极限的四则运算法则求极限这是求极限的基本方法，主要应用函数的和、差、积、商的极限法则及若干基本函数的极限结果进行极限的计算，为此有事往往要对函数作一些变形。定理 若 f(x)=

4、A g（x）=B0 xlimx0 xlimx（1）f(x)g(x)= f(x) g(x)=A+B0 xlimx0 xlimx0 xlimx (2) f(x)g(x)= f(x) g(x)=AB0 xlimx0 xlimx0 xlimx (3)若 B0 则： =0 xlimx)()(xgxf)(lim)(lim00 xgxfxxxxBA (4) Cf(x)=Cf(x)=CA （C 为常数）0 xlimx0 xlimx上述性质对于 x，x+，x-时也同样成立例 2：求453lim22xxxx解： =453lim22xxxx4252322253、利用极限定义求解 函数极限-定义：=A: 当 0|x-

5、|时，|f（x）- A |)(lim0 xxfx, 0, 00 x=A: 当-x-0 时， |f（x）- A |)(lim-0 xfxx, 0, 00 x=A: 当 0 x-时，|f（x）- A |M 时，|f（x）- A |M 时，|f（x）- A |:)(limAxfx, 0, 0M当 xG:)(limxfx, 0, 0XG 例 3：用极限定义证明：=12limx2-x23x-2x证：由=12232xxx2442xxx =2)2(2xx2x 取= 则当 0|x-2|时，就有0 0，其极限f(x)未必大于 0，例如，f（x）=*limx显然 f(x)=0.0 x80 xx2，5、利用无穷大量

6、与无穷小量的关系求解例 5：求2limx4xx52解：因为-4=0，5x=10，所以我们可以求出=02limx2x2limx2limx5x4x2100 这就是说，当 x2 时，为无穷小量，由于恒不为零的无穷小量的倒数是无穷5x4x2大量，所以为 x2 时的无穷大量，即=4xx522limx4xx526、利用初等函数的连续性质求解（适用于求函数在连续点处的极限）利用初等函数的连续性求极限主要应用下列结果：（1）若 f(x)在处连续，则 f(x)= f()；0 x0 xlimx0 x精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业（2）若（x）=A，y=f(u)在 u=A 处连续则f(x)=f(A);)

7、(x0limxx)(x0limxx（3）若f(x)=A0, g(x)=B,则=)(x0limxx)(x0limxx)(x0limxx)()(xgxfBA例 6：（7x-6）1limx2ln解：因为 y=（7x-6）是初等函数，在定义域（，+）内是连续的，所以在 x=1 处2ln76也连续，根据连续的定义，极限值等于函数值，所以（7x-6）=（7-6）=01limx2ln2ln7、利用约零因子法求解例 7：求3limx9x3-x2分析 所给两个函数中,分子、分母的极限均是 0,不能直接使用法则四,故采用消去零因子法. 解： 原式= (因式分解) 3limx3)3)(x-(x3-x = (约分消去

8、零因子 ) 3limx3)(x1 = (应用法则) = 当分子和分母的极限同时为零时，可以考虑约去分子、分母的零因子（若不方便约分，可以考虑用重要极限或等价无穷小量代换或洛比达法则求解） 。想例题这种含根式型（或差式-型）求极限时，一下看不出零因子，常常需要分子、分母有理化00 （或通分） ，然后再因式分解约去零因子进行求解。8、利用等价无穷小量代换求解当 x0 时，有（1）sinxx， （2）tanxx，(3) arcsinxx，(4) arctanxx，(5) x，1ex精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业(6) ln(x+1) x，例 8：求0limx2xcos2x-1解：因为当

9、x0 时，1-cos2x，212x2 ）（ 所以=20limx2xcos2x-10limx22xx221）（0limx22x2x（注意：在利用等价无穷小做代换时，一般只是在以乘积形式出现时才进行互换，而以和、差出现时，不要轻易代换，否则可能出现改变了它的无穷小量之比的“阶数”之情况。）9、利用两个重要极限公式及其推导公式来解（1）第一个重要极限：=1：其变形为：=10limxxsinx0lim）（x）（）（xxsin（2）第二个重要极限：=e：其变形为：=e0limxx1x1）（ 0lim）（x）（）（x1x1或=e：其变形为：=exlimxx11）（ ）（xlim(x)x11）（ 例 9：求

10、0limx2xcosx-1解：先判断类型，是“”型，含三角函数（sin0） ，且不能消零因子，现在我们利用002x第一个重要极限求解。解：原式=1=0limx22x2x2sin0limx222x22xsin）（210limx22x2xsin）（212110、运用洛比达法则求解（适用于未定式极限） 洛比达法则是求“”型和“”未定式极限的有效方法，但是非未定式极限却不能00求。 （0-，-，型未定式可以转化为“”型和“”未定式） 001000定理：若（i） f(x)=0，g（x）=00 xlimx0 xlimx精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业（ii）f 与 g 在的某空心领域内可导，且

11、g（x）00 x)(xU00（iii）=A（A 可为实数，也可为或） ，则=A0 xlimx)()(xgxf0 xlimx)()(xgxf0 xlimx)()(xgxf此定理是对“”型而言，对于函数极限的其他类型，均有类似的法则。00例 10： （型）1limx1x-x23233xxx00解：原式=1limx123x3322xx1limx266xx23注意：（1）并不是类似于“”型和“”型的极限都能用洛比达法则，利用洛比达法00则求解，一定要先验证是否满足洛比达法则求解。例如：xlimx1sinxx解：原式=，xlim1cosx1但是（1+cosx）极限不存在，所以不能再用洛比达法则求解。xl

12、im正确解法为原式=（1+cosx）=1xlimx1（2）应用洛比达法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数。（3）要及时简化极限符号后面的分式，在化简以后检查时候仍是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用洛比达法则，否则会引起错误。（4）当不存在时，本法则失效，但并不是说极限不存在，此时求极限须用另外0limx)()(xgxf方法。（5）将等价无穷小量代换等求极限的方法与洛比达法则结合起来使用，可简化计算。11、利用左、右极限讨论分段函数在其分段点处的极限定理：函数极限f（x）存在且等于 A 的充分必要条件是左极限f（x）及右极限0 xlimx-0limxxf（x）都存在且

13、都等于 A。即有：0limxx精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业 f（x）=f（x）=f（x）=A0 xlimx-0limxx0limxx例 11：设 讨论 在点 处的极限是否存在. 分析 所给函数是分段函数, 是分段点, 要知 是否存在,必须从极限存在的充要条件入手. 解 因为 f(x)= (x-1)= - 1 0limx0limx f(x)= (x+1)=10limx0limx f(x) f(x)0limx0limx 所以 f(x)不存在. 0limx注 1： 因为 从 的左边趋于 ,则 ,故 . 注 2： 因为 从 的右边趋于 ,则 ,故 . 此题也可以转化为讨论函数 f(x)在

14、 x=0 处的连续性问题。12、利用函数极限的迫敛性求解迫敛性（两边夹）若f（x）=g(x)=A,且在某内有 f(x)h(x) g(x),0 xlimx0 xlimx);(xU00则h(x)=A0 xlimx例 12：求x0limxx1解：当 x0 时有 1-x x1,故由迫敛性得：xx10limxx1另一方面，当 x0 时有 1x1-x，故由磨练下又可得：x=1x10limxx1综上，可求得x=10limxx1精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业参考文献1李德才，张文军，骆汝九.高等数学（第一版） 【M】.北京：中国大地出版社.2004.13-47.872华东师范大学数学系 数学分析（第三版） 【M】.上海：高等教育出版社.2001.43-85.134-1383同济大学应用数学系.高等数学