精编一元二次方程竞赛训练题一

1、一元二次方程竞赛训练题1方程是实数)有两个实根、，且01，12，那么k的取值范围是（ ）（A）3k4； （B）2k1； （C）3k4或2k1（D）无解。2方程，有两个整数根，则 3方程的解是（ ）（A）； （B）；（C）或； （D）4已知关于x的一元二次方程没有实数解甲由于看错了二次项系数，误求得两根为和；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为和，那么， 5若是一元二次方程的根,则判别式与平方式的关系是( )(A)> (B)= (C)< (D)不确定.6若方程有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列,则=_.7如果方程的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m的取

2、值范围是（ ）（A）； （B）； （C） ； （D）8设是二次方程的两个根，那么，的值等于（ ）（A） （B）8； （C）6； （D）0. .9已知m，n是有理数，并且方程有一个根是，那么m+n的值是_。10 求所有正实数a，使得方程仅有整数根。11 已知且，则_。12已知：a ，b，c三数满足方程组，试求方程bx2+cx-a=0的根。13设m是整数，且方程的两根都大于而小于，则m=_14已知实数，且满足，.则的值为（ ）.（A）23 （B） （C） （D）15如果x和y是非零实数，使得和，那么x+y等于（ ）. （A）3 （B） （C） （D）16已知实数a、b、x、y满足，则 .17实数x

3、、y、z满足x+y+z=5，xy+yz+zx=3，则z的最大值是 .18已知a，b是实数，关于x，y的方程组有整数解，求a，b满足的关系式.19已知b2-4ac是一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的一个实数根，则ab的取值范围为（ ）(A) (B) (C) (D) 20在中，斜边AB=5，而直角边BC，AC之长是一元二次方程的两根，则m的值是（ ） A、4 B、-1 C、 4或 -1 D、-4 或 121已知a 为实数，且使关于x 的二次方程有 实根，该方程的根x 所能取到的最大值是 。22设，为互不相等的实数，且满足关系式 及 ， 求的取值范围一元二次方程竞赛训练题 (答案)：1解：记

4、由28原方程整理为设x1,x2为方程 的两个整数根，由x1+x2=a+8，知a为整数，因此，x-a和x-8都是整数。故由原方程知x-a=x-8(=±1) 所以a=83（D） 设是方程的解，则也是方程的解，排除（A）、（B）；（D）的两值必是方程的解，否则方程的解也不是（C）将代入方程，左边0，排除（C）4设甲将a看为a，由韦达定理得由于一次项系数b的符号不改变判别式的值，因此，乙只能是看错a或c的符号于是a 由得5(B)设是方程的根,则.所以 .6 设，原方程变为.设此方程有根，则原方程的四个根为，.由于它们在数轴上对应的四个点等距排列，故.由韦达定理 ，得 ，于是 ， .7（C）因

5、为有两根，故0，得m1.原方程的三根为，.显然，x2x1x3.注意到，由此得.8（D）x1,x2是二次方程的两个根， ，即 ，.由根与系数的关系知，从而有 .93因为m、n为有理数，方程一根，那么另一个根为，由韦达定理。得m = 4 , n = -1 , m+n=310设两整数根为x , y（xy） x=5时，a=25时，y=20时；x=6时，a=18时，y=12；x=7时，a不是整数，x=8时；a=16，y=8；于是a=25或18或16均为所求。11解：，即，12由方程组得：a、b是方程x2-8x+c2-c+48=0的两根 =-4(c-)20，c=4 a=b=4所以原方程为 x2+x-1=0

6、 x1=，x2=13解：这是一个二次方程的区间根问题，可根据二次函数图象的特点建立关于m的不等式，先求出m的取值范围，再由m是整数确定m的根设f(x)3x2+mx-2，由二次函数的图象，得 解得 m是整数，只有m=414答：选（B） a、b是关于x的方程的两个根，整理此方程，得， ， ，. 故a、b均为负数. 因此15答：选（D）将代入，得.（1）当x>0时，方程无实根；（2）当x<0时，得方程解得，正根舍去，从而.于是.故.因此，结论（D）是在正确的.16答：解：由，得， ， .因而，17答：解： ， x、y是关于t的一元二次方程的两实根. ，即，. ，当时，. 故z的最大值为.

7、18解：将代入，消去a、b，得 ， （5分）.若x+1=0，即，则上式左边为0，右边为不可能. 所以x+10，于是.因为x、y都是整数，所以，即或0，进而y=8或0. 故 或 （10分）当时，代入得，；当时，代入得，.综上所述，a、b满足关系式是，或者，a是任意实数.（151920设方程的根为 ，依题意=即 解得 m=4或- 1但> 0 ，2m - 1> 0 所以 m>0 故m= 4 选A21a为实数，当时， 关于a的二次方程有实根，于是。 当a=0时，x =0 综上， 22解法1：由2×得，所以当时，10分又当时，由，得， ， 将两边平方，结合得，化简得 ，故 ，

8、解得，或所以，的取值范围为且，15分解法2：因为，所以，所以 又，所以，为一元二次方程 的两个不相等实数根，故，所以当时， 10分另外，当时，由式有，即，或，解得，或所以，的取值范围为且，15分二答案:一、1解：设2004年城市的人口总量为m，绿地面积为n，这两年该城市人口的年平均增长率为x，由题意，得 =1+21%，整理，得（1+x）2= x1=（舍去） 答：这两年该城市人口的平均增长率应控制在9%以内点拨：本题重点考查增长率的问题2分析：假设当P点移到E点时可满足本题的条件，那么就有ABE为直角三角形，BE=PB，EA=PA，由题意，得PA28PB=1解：设经过x秒后点P到点A的距离的平方

9、比点P到点B的距离的8倍大1，由题意，得BE=PB=1×x=xcm，AE=PA=42+x2 42+x28x=1解得x1=3，x2=5 答：经过3秒或5秒后，点P到点A的距离的平方比点P到点B的距离的8倍大1 点拨：本题应用了勾股定理和路程=速度×时间这个公式3解：（1）由b24ac0，得（2a3）24a（a1）0，a （2）x1，x2是方程（a1）x2（2a3）x+a=0的两个根， x1+x2=，x1x2= 又x12+x22=9，（x1+x2）22x1x2=9 （）22×=9 整理，得7a28a=0，a（7a8）=0a1=0，a2=（舍去） 点拨：本题主要应用根与

10、系数的关系及根的情况4分析：由=b24ac，得 =4（2m3）24（4m214m+8）=4（2m+1） 方程有两个整数根， =4（2m+1）是一个完全平方数，所以2m+1也是一个完全平方数 4<m<40，9<2m+1<81， 2m+1=16，25，36或49，m为整数，m=12或24 代入已知方程，得x=16，26或x=38，25综上所述m为12，或24 点拨：本题应用的方程有整数根，b24ac必为一个完全平方数求解5分析：如图所示，半圆的直径=矩形的长=窗宽=窗高；矩形的宽=窗高半圆半径；全窗面积=半圆面积+矩形面积解：设半圆的半径为xm，则半圆的直径为2xm，半圆的

11、面积为m2，矩形面积为x·2x=2x2（m2），根据题意，有x2+2x2=，25x2=25x=1或x=1（舍去），当x=1时，2x=2 答：窗的高和宽都是2m 点拨：本题借助图分析比较直观简单，另外本题中x=1虽符合所列方程，但不符合题意，故舍去6解：设每千克水果应涨价x元，由题意，得（50020x）（10+x）=6 000，解得x1=5，x2=10 要使顾客得到实惠，应取x=5 点拨：本题与实际问题有关，应考虑题中要使顾客得到实惠这个条件得以应用二、7分析：本题可以分两种情况进行讨论 解：（1）当蚂蚁在AO上运动时，设xs后两只蚂蚁与O点组成的三角形面积为450cm2 由题意，得&

12、#215;3x×（502x）=450 整理，得x225x+150=0 解得x1=15，x2=10 （2）当蚂蚁在OB上运动时， 设xs钟后，两只蚂蚁与O点组成的三角形面积为450cm2 由题意，得×3x（2x50）=450 整理，得x225x150=0 解得x1=30，x2=5（舍去） 答：15s，10s，30s后，两蚂蚁与O点组成的三角形的面积均为450cm2 点拨：本题考查的是学生的抽象思维能力，使学生学会用运动的观点来观察事物，同时要注意检验解的合理性三、8分析：在等腰三角形中，要分清楚腰与底边，本题应进行分类讨论 解：b、c是方程x2+mx+2m=0的两个根，b+c

13、=m，b·c=2m （1）若a为腰，则b=a=3 c=mb，即3（m3）=2m 解得m=，b+c=周长Q=b+c+a=+3= （2）若a为底，则b=c=m24（2）=0 m1=4，m2=2，b+c=4或b+c=2（舍去） 周长Q=b+c+a=4+3=7 答：ABC的周长为或7 点拨：了解形与数结合分类讨论的思想9分析：通过引元，把不满意的总分用相关的字母的代数式表示，然后对代数式进行恰当的配方，进而求出代数式的最小值 解：由题意易知，这32个人恰好是第2层至第33层各住1人，对于每个乘电梯上、下楼的人，他所住的层数一定不小于直接上楼的人所住的层数事实上，设住s层的人乘电梯，而住在t层

14、的人直接上楼，s<t，交换两人的上楼方式，其余的人不变，则不满意的总分减少 设电梯停在第x层，在第1层有y人没有乘电梯即直接上楼，那么不满意的总分为： s=31+2+3+（33x）+3（1+2+y）+1+2+（xy2） = =2x2（y+102）x+2y2+3y+1 684 =2（x）2+（15y2180y+3 068） =2（x）2+（y6）2+316316又当x=27，y=6时，s=316，故当电梯停在第27层时，不满意的总分最小，最小值为316四、10分析：模拟例子，求出a+b，ab的值，然后再求值 解：+1=0， （）2+1=0 又b4+b21=0，（b2）2+b21=0、b2是

15、方程x2+x1=0的两个根 +b2=1，×b2=1 =b2+=1 点拨：把、b2看成是方程x2+x1=0的两个根是解本题的关键所在五、1120% 分析：设月平均增长率为x，由400（1+10%）（1+x）2=633.6，解得x=0.2=20%点拨：基数×（1+平均增长率）n=n次增长后到达的数12应设y= 分析：设y=，原方程为+6y=7，6y27y+2=0 点拨：利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想132 设一个根为x，则另一根为2x，由题意，得 2x·x=m，2x+x=3，x=1 m=2 点拨：由两根之和为，两根之积为可得方程14证明：（1）设方程两个负实根分别为x1，x2 则 解得m>4由方程有两个实数根知m0，当m>4时，>0，即方程的两根之积为正，故方程的两根符号相同（2）得（n2）2=m（m3） 经讨论，m=6时，（n2）2=×6×3=81附加题分析：方程有两个不相等的实根，=4（m2）