清华大学微积分习题有答案

1、第十二周习题课一 关于积分的不等式1 离散变量的不等式（1） Jensen不等式：设为上的下凸函数，则，有（2） 广义AG不等式：记为上的上凸函数，由Jesen不等式可得，有当时，就是AG不等式。（3） Young不等式：由（2）可得设，。（4） Holder不等式：设，则有在（3）中，令即可。（5） Schwarz不等式：。（6） Minkowski不等式：设，则有证明：记，由Holder不等式 即：。2 相应的积分不等式（1） Schwarz积分不等式：，则有（2） Holder积分不等式：，则有证明：等分，由Holder不等式,Riemann积分的定义，。（3） Minkowski积分不

2、等式：，则有证明：可以用Holder不等式证明。（4） Young积分不等式：设严格单调增，为的反函数，则有其中等号当且仅当是成立。（证明需要用到Riemann积分的定义）。3 用上述积分不等式证明另外的积分不等式例.1 设函数，证明证明：用Schward不等式 故 积分：。AG不等式：。 ，例.2 设函数。证明：。证明：，由Schward不等式， 积分，。注1：上述不等式可以改进为。证明：记，故，即。注2：若本题的条件改为，则有。证明：。在区间上，用类似的方法可得：，故。例.3 设函数，证明：。证明：。记，则4 其他证明题例.4 设，求证：。证明：，故在上存在最大值。 ， 因为，单调下降，例

3、.5 设，且，求证： 。证明：。因为，两边在上积分即可。例.6 设在上二阶可导，。证明证明：在点Taylor 展开，例.7 设在二阶可导，证明：存在使得证明：相加， 积分, 由导函数的介值定理，故以上证明方法有问题，因为与有关，不能提到积分号外。正确的证明方法如下：记，相减，由导函数的介值定理，故例.8 设在单调增，证明：为上的下凸函数。证明：不能求的导函数。只要证明，有二 定积分的数学应用例.9 求下列曲线所围的图形面积（1） 叶形线解：（2） 阿基米德螺线解：（3）解：将 代入 中，得到 ，于是面积，令，则。例.10 求弧长（1） 星形线解：（2） 心脏线，；解：例.11 球面和直圆柱面所

4、围的几何体。解：用平行于平面的平面去截这立体，则截面积为。由 ，及 ，得到 。例.12 设有曲线, 过原点作其切线, 求此曲线,切线及轴为成的平面区域绕轴旋转一周所得到的旋转体表面积.解: 可以求得切线为, 切点为. 旋转体表面积由两部分组成: 由曲线绕轴旋转一周所得到的旋转体表面积为 由切线绕轴旋转一周所得到的旋转体表面积为例.13 求由星形线 绕x轴旋转所成旋转体体积（如图）.解 由方程 xy0a-a解出 ，于是所求体积为 例.14 设函数在上连续，在内大于零，并满足（为常数），又曲线与直线所围的图形的面积为2.求函数；为何值时，图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积最小。分析 由已知等式（为常

5、数）可得 ，故由在的连续性，对关系式两边求不定积分，可确定的含有任意常数的表达式，再由已给的面积关系确定，从而可以讨论旋转体的体积。解 由已知条件可得 .对上式求不定积分，由在的连续性得 ，又由已知条件有 ，故，所以 .旋转体的体积 上式两边对求导，并令一阶导数为零，求其驻点。由，解得是惟一驻点，又，所以为体积的惟一极小值点，故为最小值点，因此时旋转体体积最小。例.15 在极坐标下，由所表示的区域绕极轴旋转一周所成的旋转体的体积为。证明：解一： 设, , , ,则 。解二： 首先，由所表示的扇形区域绕极轴旋转一周所成的旋转体的体积为 。然后作的划分：，考察由所表示的小曲边扇形区域绕极轴旋转一周

6、所成的旋转体的体积，这小区域可近似看作扇形，于是这小块的体积应近似等于 ，从而 。令，就有 。例.16 求心星线绕极轴旋转一周所得旋转体的体积解：利用极坐标系下曲线绕极轴旋转所成旋转体的体积公式进行计算三定积分的物理应用例.17 将半圆形平板闸门垂直放入水中, 直径与水平面重合,水的密度为1,求闸门受的压力.解: 以水平面为轴, 垂直向下为轴建立坐标系, , 其中为半径. 压力例.18 将一半径为的圆球压入水中, 使球体刚好与水平面相切, 求克服水的浮力作的功(设水的密度为1).解: 取厚度为的水平薄片, 其受水的浮力微元为, 功的微元为, 例.19 一个圆柱形水池半径10m，高30m，内有一半的水，求将水全部抽干所要做的功。解 (J)。例.20 使某个自由长度为1m的弹簧伸长2.5cm需费力15N，现将它从1.1m拉至1.2m，问要做多少功？解 由，当m时，N，代入得 。于是所做的功为 J。例.21 半径为1m，高为2m的直立的圆柱形容器中充满水，拔去底部的一个半径为1cm的塞子后水开始流出，试导