人教版高一下学期期末考试数学试题与答案解析（共五套）

人教A版高一下学期期末考试数学试卷（一）（测试时间：120分钟满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.复数为虚数单位在复平面内对应的点位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为

A. B. C. D.3.已知一个三棱柱的高为3，如图是其底面用斜二测画法画出的水平放置的直观图，其中，则此三棱柱的体积为

A.2B.4C.6D.124.已知非零向量，，若，且，则与的夹角为

A. B. C. D.5.设为平面，a，b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是

A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则6.已知圆锥的顶点为P，母线PA，PB所成角的余弦值为，PA与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的体积为

A. B. C. D.7.已知数据的方差为4，若，则新数据的方差为

A.16 B.13 C. D.8.在中，A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则

A.3 B.4 C.5 D.6二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.有甲乙两种报纸供市民订阅，记事件E为“只订甲报纸”，事件F为“至少订一种报纸”，事件G为“至多订一种报纸”，事件H为“不订甲报纸”，事件I为“一种报纸也不订”下列命题正确的是

A.E与G是互斥事件 B.F与I是互斥事件，且是对立事件C.F与G不是互斥事件 D.G与I是互斥事件10.下面是甲、乙两位同学高三上学期的5次联考的数学成绩，现只知其从第1次到第5次分数所在区间段分布的条形图从左至右依次为第1至第5次，则从图中可以读出一定正确的信息是

A.甲同学的成绩的平均数大于乙同学的成绩的平均数B.甲同学的成绩的中位数在115到120之间C.甲同学的成绩的极差小于乙同学的成绩的极差D.甲同学的成绩的中位数小于乙同学的成绩的中位数11.下列结论正确的是

A.已知是非零向量，，若，则B.向量，满足，，与的夹角为，则在上的投影向量为C.点P在所在的平面内，满足，则点P是的外心D.以，，，为顶点的四边形是一个矩形12.如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，底面ABCD，，截面BDE与直线PC平行，与PA交于点E，则下列判断正确的是

A.E为PA的中点B.平面PACC.PB与CD所成的角为D.三棱锥与四棱锥的体积之比等于．三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若复数z满足方程，则

．14.如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为AD，AB上的点，且，MN交于点若，则的值为

．15.某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于

．16.如图，在正方体中，点O为线段BD的中点，设点P在线段上，直线OP与平面所成的角为，则的最小值

，最大值

．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.如图，在矩形OACB中，E和F分别是边AC和BC上的点，满足，，若，其中，R，求，的值．18.已知函数，且当时，的最小值为2．(1)求a的值，并求的单调递增区间；(2)先将函数的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所得的图象向右平移个单位，得到函数的图象，当时，求的x的集合．19.如图，在棱长均为1的直三棱柱中，D是BC的中点．求证：平面求直线与平面所成角的正弦值．20.某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于65分到145分之间满分150分，将统计结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，第八组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．根据图表，计算第七组的频率，并估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值；若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值小于10分的概率．21.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若．求A的大小；若，，求的面积．22.如图，在三棱柱中，H是正方形的中心，，平面，且．求异面直线AC与所成角的余弦值；求二面角的正弦值；设N为棱的中点，E在上，并且，点M在平面内，且平面，证明：平面．参考答案一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.复数为虚数单位在复平面内对应的点位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】本题考查复数的几何意义，直接由复数求出在复平面内对应的点的坐标得答案．【解答】解：复数为虚数单位在复平面内对应的点的坐标为：，位于第四象限．故选D．2.从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为

A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查概率的求法，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用，属于基础题．先求出基本事件总数，再用列举法求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件个数，由此能求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率．【解答】解：从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件总数，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：，，，，，，，，，，共有个基本事件，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率，故选：D．3.已知一个三棱柱的高为3，如图是其底面用斜二测画法画出的水平放置的直观图，其中，则此三棱柱的体积为

A.2B.4C.6D.12【答案】C【解析】【分析】本题考察直观图与原图的关系，以及棱柱的体积公式，属于基础题．依据直观图可知原图的底面三角形的底边长为2，高为2，可求出柱体的底面面积，再依据棱柱体积公式可求出答案．【解答】解：设三棱柱的底面三角形为，由直观图可知，，且，，故．故答案选C．4.已知非零向量，，若，且，则与的夹角为

A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了向量的数量积，考查了向量垂直的关系，考查了向量夹角的求解本题的关键是由垂直求出数量积为0．由向量垂直可得，结合数量积的定义表达式可求出，又，从而可求出夹角的余弦值，进而可求夹角的大小．【解答】解：因为，所以，因为，所以，．故选：B．5.设为平面，a，b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是

A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则【答案】B【解析】【分析】本题考查命题的真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．利用空间线线、线面、面面间的关系对每一个选项逐一分析判断得解．【解答】解：若，，则a与b相交、平行或异面，故A错误；若，，则由直线与平面垂直的判定定理知，故B正确；若，，则或，故C错误；若，，则，或，或b与相交，故D错误．故选：B．6.已知圆锥的顶点为P，母线PA，PB所成角的余弦值为，PA与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的体积为

A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查线面角的概念、三角形面积公式、圆锥的体积公式，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力．设底面半径为，根据线面角的大小可得母线长为2r，再根据三角形的面积得到r的值，最后代入圆锥的体积公式，即可得答案．【解答】解：如图所示，设底面半径为，与圆锥底面所成角为，，，母线PA，PB所成角的余弦值为，，，，故选：C．7.已知数据的方差为4，若，则新数据的方差为

A.16 B.13 C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查利用方差的性质求解方差的问题，属于基础题．根据方差的性质直接计算可得结果．【解答】解：由方差的性质知：新数据的方差为：．故选：A．8.在中，A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则

A.3 B.4 C.5 D.6【答案】D【解析】【分析】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．根据题目已知条件应用余弦定理和正弦定理进行化简，即可得到答案．【解答】解：，，，，又．代入可得故答案选D．二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.有甲乙两种报纸供市民订阅，记事件E为“只订甲报纸”，事件F为“至少订一种报纸”，事件G为“至多订一种报纸”，事件H为“不订甲报纸”，事件I为“一种报纸也不订”下列命题正确的是

A.E与G是互斥事件 B.F与I是互斥事件，且是对立事件C.F与G不是互斥事件 D.G与I是互斥事件【答案】BC【解析】【分析】本题考查了互斥事件和对立事件的概念，属于基础题．根据互斥事件、对立事件的概念判断即可．【解答】解：对于A选项，E、G事件有可能同时发生，不是互斥事件；对于B选项，F与I不可能同时发生，且发生的概率之和为1，是互斥事件，且是对立事件；对于C选项，F与G可以同时发生，不是互斥事件；对于D选项，G与I也可以同时发生，不是互斥事件．故选：BC．10.下面是甲、乙两位同学高三上学期的5次联考的数学成绩，现只知其从第1次到第5次分数所在区间段分布的条形图从左至右依次为第1至第5次，则从图中可以读出一定正确的信息是

A.甲同学的成绩的平均数大于乙同学的成绩的平均数B.甲同学的成绩的中位数在115到120之间C.甲同学的成绩的极差小于乙同学的成绩的极差D.甲同学的成绩的中位数小于乙同学的成绩的中位数【答案】DB【解析】【分析】本题考查了频数分布直方图与应用问题，是基础题．根据频数分布直方图的数据，对选项中的命题进行分析，判断正误即可．【解答】解：对于A，甲同学的成绩的平均数，乙同学的成绩的平均数，所以甲同学的成绩的平均数小于乙同学的成绩的平均数，故A错误；由题图甲知，B正确；对于C，由题图知，甲同学的成绩的极差介于之间，乙同学的成绩的极差介于之间，所以甲同学的成绩的极差也可能大于乙同学的成绩的极差，故C错误；对于D，甲同学的成绩的中位数在之间，乙同学的成绩的中位数在之间，所以甲同学的成绩的中位数小于乙同学的成绩的中位数，故D正确．故选：BD．11.下列结论正确的是

A.已知是非零向量，，若，则B.向量，满足，，与的夹角为，则在上的投影向量为C.点P在所在的平面内，满足，则点P是的外心D.以，，，为顶点的四边形是一个矩形【答案】DBA【解析】【分析】本题考查向量数量积的运算，向量的坐标运算，向量垂直的转化，属中档题．利用平面向量的数量积运算，结合向量的线性运算，对每个选项进行逐一分析，即可容易判断选择．【解答】解：对A：因为，又，可得，故，故A选项正确；对B：因为，，与的夹角为，所以．故在上的投影向量为，故B选项正确；对C：点P在所在的平面内，满足，则点P为三角形ABC的重心，故C选项错误；对D：不妨设，则，故四边形ABCD是平行四边形；又，所以，故四边形ABCD是矩形故D选项正确；综上所述，正确的有ABD．故选ABD．12如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，底面ABCD，，截面BDE与直线PC平行，与PA交于点E，则下列判断正确的是

A.E为PA的中点B.平面PACC.PB与CD所成的角为D.三棱锥与四棱锥的体积之比等于．【答案】ABD【解析】【分析】本题考查立体几何的综合应用，熟练线线、线面、面面之间的位置关系，审清题意，考验分析能力，属中档题．采用排除法，根据线面平行的性质定理以及线面垂直的判定定理，结合线线角的求法，锥体体积公式的计算，可得结果．【解答】解：对于A，连接AC交BD于点M，连接EM，如图所示，面BDE，面APC，且面面，，又四边形ABCD是正方形，为AC的中点，为PA的中点，故A正确．对于B，面ABCD，面ABCD，，又，，面PAC面PAC，故B正确．对于C，，为PB与CD所成的角，面ABCD，面ABCD，，在中，，，故C错误．对于D，由等体积法可得，又，，故D正确．故选：ABD．三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若复数z满足方程，则

．【答案】【解析】【分析】本题考查复数的计算，属基础题．根据题意可得，然后根据复数的乘法可得结果．【解答】解：由，则，所以，所以，故答案为：14.如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为AD，AB上的点，且，MN交于点若，则的值为

．【答案】【解析】【分析】本题考查平面向量共线定理的推论，涉及向量的线性运算，属基础题．用向量表示，结合三点共线，即可求得参数值．【解答】解：根据题意，，因为三点共线，所以，解得．故答案为．15.某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于

．【答案】【解析】【分析】本题考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．根据题意，若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，必有第二个问题回答错误，第三、四个问题回答正确，第一个问题可对可错．【解答】解：根据题意，记“该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮”为事件A，若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，必有第二个问题回答错误，第三、四个问题回答正确，第一个问题可对可错；由相互独立事件的概率乘法公式，可得，故答案为．16.如图，在正方体中，点O为线段BD的中点，设点P在线段上，直线OP与平面所成的角为，则的最小值

，最大值

．【答案】1【解析】【分析】此题考查正方体的性质和直角三角形的边角关系，线面角的求法，考查推理能力，属于中档题。由题意，直线OP与平面所成的角的最小值为和中的最小者，然后利用正方体的性质和直角三角形的边角关系，求出的取值范围，再确定其最值【解答】解：连接，，因为，平面，所以平面，又平面所以平面平面，所以直线OP与平面所成的角的最小值为和中的最小者，不妨设，在中，，，所以的取值范围为，所以的最小值为，最大值为1，故答案为：；1．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.如图，在矩形OACB中，E和F分别是边AC和BC上的点，满足，，若，其中，R，求，的值．【答案】解：因为，，在矩形OACB中，，又，所以，，所以．【解析】本题考查平面向量基本定理，属于基础题．根据题意得出，则，由此即可求出结果．18.已知函数，且当时，的最小值为2．求a的值，并求的单调递增区间；先将函数的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所得的图象向右平移个单位，得到函数的图象，当时，求的x的集合．【答案】解：函数，，，，得，即．令，，得，，函数的单调递增区间为，．由得，由的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，得，再将图象向右平移个单位，得，又，即，，即，，不等式的解集．【解析】本题主要考查了二倍角和辅助角公式，求三角函数的单调区间，三角函数图象变换，解三角不等式等，属于中档题．化简可得，由题意可得，，解方程可得a的值，解不等式，可得单调递增区间．由函数图象变换可得：，可得，令，解不等式与求交集即可．19.如图，在棱长均为1的直三棱柱中，D是BC的中点．求证：平面求直线与平面所成角的正弦值．【答案】证明：直三棱柱中，平面ABC，平面ABC，，，D是BC的中点，，又，BC、平面，平面．解：如图，连接，由可知，平面，则即为直线与平面所成角，因为平面，平面，所以，在中，，，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为．【解析】本题考查线面垂直的判定，直线与平面所成角，属于中档题．由题意，可得到，并且，从而由线面垂直的判定定理可得到平面；连接，可得到为直线和平面所成角，即可得解．本题考查线面垂直的判定，直线与平面所成角，属于中档题．由题意，可得到，并且，从而由线面垂直的判定定理可得到平面；连接，可得到为直线和平面所成角，即可得解．20.某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于65分到145分之间满分150分，将统计结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，第八组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．根据图表，计算第七组的频率，并估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值；若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值小于10分的概率．【答案】解：由频率分布直方图得第七组的频率为：．用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分为：．样本成绩属于第六组的有人，设为，样本成绩属于第八组的有人，设为，从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，基本事件有：AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab共10个他们的分差的绝对值小于10分，即在同一组中包含的基本事件有：AB，AC，BC，ab共4个他们的分差的绝对值小于10分的概率．【解析】本题考查利用频率分布直方图求解样本数据的平均值，考查古典概型概率的计算，难度中档．计算样本数据的平均值时，只需利用每组中间值乘以本组频率求和即可得到答案；古典概型的解答注意分析清楚基本事件总数及某事件成立时所包含的基本事件数．利用所有组频率和为1即可求得第七组的频率，然后利用其中表示第i组的中间值，表示该组的频率求出平均值；利用古典模型概率的计算方法求解即可．21.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若．求A的大小；若，，求的面积．【答案】解：，由正弦定理得：，，，，又，；由余弦定理可得，，，，，或舍去．【解析】本题考查三角形的解法，正弦定理以及余弦定理的应用，考查计算能力．由与正弦定理可得，又，得；由，与余弦定理可得，得，由可得结果．22.如图，在三棱柱中，H是正方形的中心，，平面，且．求异面直线AC与所成角的余弦值；求二面角的正弦值；设N为棱的中点，E在上，并且，点M在平面内，且平面，证明：平面．【答案】解：连接，为正方形的中心，，则，，在三棱柱中，，或补角是异面直线AC与所成的角．平面，平面，，，可得，由余弦定理得，因此，异面直线AC与所成角的余弦值为；连接，平面，平面，，为的中点，则，又由于，，，，过点A作于点R，连接，，，，，，则，且，故为二面角的平面角．在中，．连接，在中，，，，从而，因此，二面角的正弦值为．平面，平面，．取的中点D，则，连接ND，由于N是棱中点，，又平面，平面，平面，，又，平面MND，平面MND，，四边形是正方形，，，连接DE，由，得，、D、E三点共线，，平面，平面，平面．【解析】本题考查异面直线所成角、二面角的计算，同时也考查了线面平行的证明，考查推理能力与计算能力，属于中等题．连接，由可知或补角是异面直线AC与所成的角，计算出各边边长，利用余弦定理可求得的值，进而得解；连接，过点A作于点R，连接，证明，可得出为二面角的平面角，计算出的三边边长，利用余弦定理可求得，利用同角三角函数的基本关系可求得二面角的正弦值；取的中点D，连接ND，证明出平面MND，可得出，进而推导出，推导出，可得出M、D、E三点共线，进而得出，利用线面平行的判定定理可得出平面．人教A版高一下学期期末考试数学试卷（二）（测试时间：120分钟 满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题1.若复数的虚部为1，则在复平面对应的点的坐标为A. B. C. D.2.“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高，现随机抽取6位小区居号，他们的幸福感指数分别为5，6，7，8，9，5，则这组数据的第80百分位数是A.7 B. C.8 D.93.设为平面，a，b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则4.在平行四边形ABCD中，=，=，则=A.- B.-+C.- D.-+5.已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为A. B. C. D.6.《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事，其中，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马，若双方各自拥有上等马、中等马、下等马各1匹，且双方各自随机选1匹马进行1场比赛，则田忌的马获胜的概率为A. B. C. D.7.雕塑成了大学环境不可分割的一部分，有些甚至能成为这个大学的象征，在中国科学技术大学校园中就有一座郭沫若的雕像．雕像由像体AD和底座CD两部分组成．如图，在中，，在中，，且米，求像体AD的高度最后结果精确到米，参考数据：，，A.米 B.米 C.米 D.米8.如图，在平面直角坐标系xOy中，原点O为正八边形的中心，轴，若坐标轴上的点异于点满足其中，且i、，则满足以上条件的点M的个数为A.2 B.4 C.6 D.8二、多项选择题9.已知复数z满足，则下列关于复数z的结论正确的是A.B.复数z的共轭复数为C.复平面内表示复数z的点位于第二象限D.复数z是方程的一个根10.某市教体局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了100名学生，他们的身高都处在A，B，C，D，E五个层次内，根据抽样结果得到统计图表，则下面叙述正确的是

A.样本中女生人数多于男生人数B.样本中B层人数最多C.样本中E层次男生人数为6人D.样本中D层次男生人数多于女生人数11.已知事件A，B，且，，则下列结论正确的是A.如果，那么，B.如果A与B互斥，那么，C.如果A与B相互独立，那么，D.如果A与B相互独立，那么，12.如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题正确的是A.若点M，N分别是线段，的中点，则B.点C到平面的距离为C.直线BC与平面所成的角等于D.三棱柱的外接球的表面积为三、填空题13.已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且，则__________.14.已知数据，，，…，的平均数为10，方差为2，则数据，，，…，的平均数为__________，方差为__________.15.已知，，，则与的夹角为__________.16.如图，在三棱锥中，，，，且，，则二面角的余弦值是__________.四、解答题17.已知向量，求向量与的夹角；若，且，求m的值18.已知a、b、c分别为三个内角A、B、C的对边，且，，求b及的面积S；若D为BC边上一点，且，______，求的正弦值．从①，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中，并作答．19.在四面体中，点E，F，M分别是AB，BC，CD的中点，且，求证：平面ACD；求异面直线AC与BD所成的角.20.溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分．在竞赛中，甲、乙两个中学代表队狭路相逢，假设甲队每人回答问题正确的概率均为，乙队每人回答问题正确的概率分别为，且两队各人回答问题正确与否相互之间没有影响．分别求甲队总得分为3分与1分的概率；求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率．21.如图，在三棱锥中，底面ABC，，，点D为线段AC的中点，点E为线段PC上一点.求证：平面平面当平面BDE时，求三棱锥的体积.22.2020年开始，山东推行全新的高考制度，新高考不再分文理科，采用“”模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还需要依据想考取的高校及专业要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试选，每科满分100分，2020年初受疫情影响，全国各地推迟开学，开展线上教学．为了了解高一学生的选科意向，某学校对学生所选科目进行线上检测，下面是100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩，以组距20分成7组：画出频率分布直方图如图所示．求频率分布直方图中a的值；由频率分布直方图；求物理、化学、生物三科总分成绩的中位数；估计这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数同一组中的数据用该组区间的中点值作代表；为了进一步了解选科情况，由频率分布直方图，在物理、化学、生物三科总分成绩在和的两组中，用分层随机抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生来自不同组的概率．参考答案一、单项选择题1.若复数的虚部为1，则在复平面对应的点的坐标为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考察复数的概念，共轭复数和复数的几何意义，属于基础题.根据虚部为1求出m，再根据共轭复数定义写出答案.【解答】解：的虚部为1，得，所以，，故在复平面对应的点的坐标为，故答案选2.“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高，现随机抽取6位小区居号，他们的幸福感指数分别为5，6，7，8，9，5，则这组数据的第80百分位数是A.7 B. C.8 D.9【答案】C【解析】【分析】本题考查一组数据的百分数问题，属于基础题.把该组数据从小到大排列，计算，从而找出对应的第80百分位数；【解答】解：该组数据从小到大排列为：5，5，6，7，8，9，且，故选：3.设为平面，a，b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则【答案】B【解析】【分析】本题考查命题的真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．利用空间线线、线面、面面间的关系对每一个选项逐一分析判断得解．【解答】解：若，，则a与b相交、平行或异面，故A错误；若，，则由直线与平面垂直的判定定理知，故B正确；若，，则或，故C错误；若，，则，或，或b与相交，故D错误．故选：4.在平行四边形ABCD中，=，=，则=A.- B.-+C.- D.-+【答案】B【解析】【分析】本题考查平面向量的加减运算，属于基础题.利用向量的加法表示出，再利用共线转化可得到答案.【解答】解：因为，，所以故答案选5.已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查圆的面积、周长、圆锥的侧面积及体积等知识点，考查运算求解能力，属于基础题型.设圆锥的底面半径为r，高为h，母线为l，根据其表面积为，得到，再由它的侧面展开图是一个半圆，得到，联立求得半径和高，利用体积公式求解.【解答】解：设圆锥的底面半径为r，高为h，母线为l，因为其表面积为，所以，即，又因为它的侧面展开图是一个半圆，所以，即，所以，所以此圆锥的体积为故选：6.《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事，其中，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马，若双方各自拥有上等马、中等马、下等马各1匹，且双方各自随机选1匹马进行1场比赛，则田忌的马获胜的概率为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查古典概型，是基础题.本题先将所有的基本事件都列出来共9种，再将田忌的马获胜的事件选出共3种，最后计算概率即可.【解答】解：设田忌的上等马为，中等马为：，下等马为，齐王的上等马为，中等马为：，下等马为，双方各自随机选1匹马进行1场比赛产生的基本事件为：，，，，，，，，，共9种；其中田忌的马获胜的事件为：，，，共3种，所以田忌的马获胜的概率为：故选：7.雕塑成了大学环境不可分割的一部分，有些甚至能成为这个大学的象征，在中国科学技术大学校园中就有一座郭沫若的雕像．雕像由像体AD和底座CD两部分组成．如图，在中，，在中，，且米，求像体AD的高度最后结果精确到米，参考数据：，，A.米 B.米 C.米 D.米【答案】B【解析】【分析】本题考查解三角形的实际应用中的高度问题的求解，属于基础题.在和中，利用正切值可求得AC，进而求得【解答】解：在中，米，在中，米，米故选：8.如图，在平面直角坐标系xOy中，原点O为正八边形的中心，轴，若坐标轴上的点异于点满足其中，且i、，则满足以上条件的点M的个数为A.2 B.4 C.6 D.8【答案】D【解析】【分析】本题考查符合条件的点的个数的求解，考查了平面向量加法法则的应用，属于中等题.分点M在x、y轴进行分类讨论，可得出点、关于坐标轴对称，由此可得出点M的个数.【解答】解：分以下两种情况讨论：①若点M在x轴上，则、关于x轴对称，由图可知，与、与、与、与关于x轴对称，此时，符合条件的点M有4个；②若点M在y轴上，则、关于y轴对称，由图可知，与、与、与、与关于y轴对称，此时，符合条件的点M有4个.综上所述，满足题中条件的点M的个数为故选：二、多项选择题9.已知复数z满足，则下列关于复数z的结论正确的是A.B.复数z的共轭复数为C.复平面内表示复数z的点位于第二象限D.复数z是方程的一个根【答案】ABCD【解析】【分析】本题考查了复数的除法运算，考查了复数的模长公式，考查了复数的几何意义，属于基础题.利用复数的除法运算求出，再根据复数的模长公式求出，可知A正确；根据共轭复数的概念求出，可知B正确；根据复数的几何意义可知C正确；将z代入方程成立，可知D正确.【解答】解：因为，所以，所以，故A正确；所以，故B正确；由知，复数z对应的点为，它在第二象限，故C正确；因为，所以D正确.故选：10.某市教体局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了100名学生，他们的身高都处在A，B，C，D，E五个层次内，根据抽样结果得到统计图表，则下面叙述正确的是

A.样本中女生人数多于男生人数B.样本中B层人数最多C.样本中E层次男生人数为6人D.样本中D层次男生人数多于女生人数【答案】ABC【解析】【分析】本题考查了统计图表，意在考查学生的计算能力和应用能力.根据直方图和饼图依次判断每个选项的正误得到答案.【解答】解：样本中女生人数为：，男生数为，A正确；样本中A层人数为：；样本中B层人数为：；样本中C层人数为：；样本中D层人数为：；样本中E层人数为：；故B正确；样本中E层次男生人数为：，C正确；样本中D层次男生人数为：，女生人数为9，D错误.故选：11.已知事件A，B，且，，则下列结论正确的是A.如果，那么，B.如果A与B互斥，那么，C.如果A与B相互独立，那么，D.如果A与B相互独立，那么，【答案】BD【解析】【分析】本题考查在包含关系，互斥关系，相互独立的前提下的和事件与积事件的概率，是基础题.A选项在前提下，计算出，，即可判断；B选项在A与B互斥前提下，计算出，，即可判断；C、D选项在A与B相互独立前提下，计算出，，，，即可判断.【解答】解：A选项：如果，那么，，故A选项错误；B选项：如果A与B互斥，那么，，故B选项正确；C选项：如果A与B相互独立，那么，，故C选项错误；D选项：如果A与B相互独立，那么，，故D选项正确.故选：12.如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题正确的是A.若点M，N分别是线段，的中点，则B.点C到平面的距离为C.直线BC与平面所成的角等于D.三棱柱的外接球的表面积为【答案】ACD【解析】【分析】本题考查命题真假的判断，通过线线平行、点到面的距离、线面角，以及外接球的知识点来考查，解题时要注意空间思维能力的培养，是中档题.A选项：通过平行的传递性得到结论；B选项：根据点C到平面的距离为CE，进一步得到答案;C选项：根据直线BC与平面所成的角为，进一步得出结论；D选项：根据三棱柱的外接球的半径为正方体体对角线的一半，进一步得到答案.【解答】解：A选项：若点M，N分别是线段，的中点，则又所以，故A正确；B选项：连接交于点E，由题易知点C到平面的距离为CE，正方体的棱长为1，，故B错误；C选项：易知直线BC与平面所成的角为，，故C正确；D选项：易知三棱柱的外接球的半径为正方体体对角线的一半，表面积为，故D正确.故选：三、填空题13.已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且，则__________.【答案】【解析】【分析】本题主要考查正弦定理的应用．解题的关键是利用正弦定理把等式中的边转化为角的正弦，属于基础题．根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简求得的值进而求得【解答】解：，，，，由于A为三角形内角，可得故答案为：14.已知数据，，，…，的平均数为10，方差为2，则数据，，，…，的平均数为__________，方差为__________.【答案】198【解析】【分析】本题考查了平均数与方差的计算，考查了运算求解能力，属于基础题.由题意结合平均数公式和方差公式计算即可得解.【解答】解：由已知条件可得，，所以数据、、、、的平均数为，方差为，故答案为：19；15.已知，，，则与的夹角为__________.【答案】【解析】【分析】本题考查运用向量数量积的定义与运算求向量的夹角，是基础题.先求，，，再根据化简整理得，最后求与的夹角为【解答】解：，，，，，，，整理得：，与的夹角为：故答案为：16.如图，在三棱锥中，，，，且，，则二面角的余弦值是__________.【答案】【解析】【分析】本题考查二面角余弦值的计算，考查二面角的定义，考查计算能力，属于中等题.取AB的中点O，连接VO、OC，证明出，，可得出二面角的平面角为，计算出VO、OC，利用余弦定理求得，由此可得出二面角的余弦值.【解答】解：取AB的中点O，连接VO、OC，如下图所示：，O为AB的中点，则，且，，，同理可得，且，所以，二面角的平面角为，由余弦定理得，因此，二面角的余弦值为故答案为：四、解答题17.已知向量，求向量与的夹角；若，且，求m的值【答案】解：，，，由题得，，设向量与的夹角为，则，，所以，即向量与的夹角为，，，，，，，解得【解析】本题考查了向量的夹角公式，向量的坐标运算和向量的垂直的条件，属于中档题．根据向量的坐标运算和向量的夹角公式即可求出.根据向量的坐标运算先求出，再由垂直的条件得到，解得即可．18.已知a、b、c分别为三个内角A、B、C的对边，且，，求b及的面积S；若D为BC边上一点，且，______，求的正弦值．从①，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中，并作答．【答案】解：由余弦定理得，整理得，，，；选①，如下图所示：在中，由正弦定理得，可得，在中，，则，；选②，在中，由正弦定理得，可得，由于为锐角，则，，【解析】本题考查利用正、余弦定理解三角形以及三角形面积的计算，同时也考查了三角恒等变换，考查计算能力，属于中档题.利用余弦定理可得出关于b的二次方程，可解出b的值，进而可求得的面积S；选①，在中，利用正弦定理可求得的值，再由可得出，进而可求得的正弦值；选②，利用正弦定理求得的值，由同角三角函数的基本关系可求得，再利用两角和的正弦公式可求得的值.19.在四面体中，点E，F，M分别是AB，BC，CD的中点，且，求证：平面ACD；求异面直线AC与BD所成的角.【答案】解：由题意，点E，F分别是AB，BC的中点，所以，因为平面ACD，平面ACD，所以平面ACD；由知，因为点F，M分别是BC，CD的中点，可得，所以即为异面直线AC与BD所成的角或其补角在中，，所以为等边三角形，所以，即异面直线AC与BD所成的角为【解析】本题主要考查了线面平行的判定与证明，以及异面直线所成角的求解.由点E，F分别是AB，BC的中点，得到，结合线面平行的判定定理，即可求解；由知和，得到即为异面直线AC与BD所成的角，在中，即可求解.20.溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分．在竞赛中，甲、乙两个中学代表队狭路相逢，假设甲队每人回答问题正确的概率均为，乙队每人回答问题正确的概率分别为，且两队各人回答问题正确与否相互之间没有影响．分别求甲队总得分为3分与1分的概率；求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率．【答案】解：记“甲队总得分为3分”为事件A，记“甲队总得分为1分”为事件B，甲队得3分，即三人都回答正确，其概率为，甲队得1分，即三人中只有1人回答正确，其余两人都答错，其概率为甲队总得分为3分与1分的概率分别为，记“甲队得分为2分”为事件C，记“乙队得分为1分”为事件D，事件C即甲队三人中有2人答对，其余1人答错，则，事件D即乙队3人中只有1人答对，其余2人答错，则，由题意得事件C与事件D相互独立，甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率：【解析】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．记“甲队总得分为3分”为事件A，记“甲队总得分为1分”为事件B，甲队得3分，即三人都回答正确，甲队得1分，即三人中只有1人回答正确，其余两人都答错，由此利用相互独立事件概率乘法公式能求出甲队总得分为3分与1分的概率．记“甲队得分为2分”为事件C，记“乙队得分为1分”为事件D，事件C即甲队三人中有2人答对，其余1人答错，事件D即乙队3人中只有1人答对，其余2人答错，由题意得事件C与事件D相互独立，由此利用相互独立事件概率乘法公式能求出甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率．21.如图，在三棱锥中，底面ABC，，，点D为线段AC的中点，点E为线段PC上一点.求证：平面平面当平面BDE时，求三棱锥的体积.【答案】解：证明：因为底面ABC，且底面ABC，所以因为，且点D为线段AC的中点，所以又，所以平面又平面BDE，所以平面平面解：因为平面BDE，平面PAC，平面平面，所以因为点D为AC的中点，所以点E为PC的中点.法一：由题意知点P到平面BDE的距离与点A到平面BDE的距离相等，所以所以三棱锥的体积为法二：因为平面BDE，由题意知点P到平面BDE的距离与点A到平面BDE的距离相等.所以，又，，，，由知，，又，且，所以平面BDE，所以所以三棱锥的体积为法三：又，，，，由知：平面PDE，且所以所以三棱锥的体积为【解析】本题考查面面垂直的证明，三棱锥的体积，是中档题.先证明，再证明，从而证明平面PAC，最后证明平面平面PAC；先判断点E为PC的中点，再判断三棱锥的体积等于三棱锥的体积，最后求体积即可.22.2020年开始，山东推行全新的高考制度，新高考不再分文理科，采用“”模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还需要依据想考取的高校及专业要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试选，每科满分100分，2020年初受疫情影响，全国各地推迟开学，开展线上教学．为了了解高一学生的选科意向，某学校对学生所选科目进行线上检测，下面是100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩，以组距20分成7组：画出频率分布直方图如图所示．求频率分布直方图中a的值；由频率分布直方图；求物理、化学、生物三科总分成绩的中位数；估计这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数同一组中的数据用该组区间的中点值作代表；为了进一步了解选科情况，由频率分布直方图，在物理、化学、生物三科总分成绩在和的两组中，用分层随机抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生来自不同组的概率．【答案】解：由，得；因为，，所以中位数在设中位数为x，所以，解得，所以物理、化学、生物三科总分成绩的中位数为224；这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数为物理、化学、生物三科总分成绩在和的两组中的人数分别为：人，人，根据分层随机抽样可知，从成绩在的组中应抽取人，记为，从成绩在的组中应抽取2人，记为，从这7名学生中随机抽取2名学生的所有基本事件为：，，共有21种，其中这2名学生来自不同组的共有10种，根据古典概型的概率公式可得所求概率为【解析】本题考查了利用频率分布直方图求中位数、平均数，考查了分层抽样，考查了古典概型的概率公式，属于中档题.根据7组频率和为1列方程可解得结果；根据前三组频率和为，前四组频率和为可知中位数在第四组，设中位数为x，根据即可解得结果；利用各组的频率乘以各组的中点值，再相加即可得解；根据分层抽样可得从成绩在的组中应抽取5人，从成绩在的组中应抽取2人，再用列举法以及古典概型的概率公式可得解.人教A版高一下学期期末考试数学试卷（三）（测试时间：120分钟满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一．选择题（共8小题）1．在一次抛硬币的试验中，同学甲用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了45次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（）A．0.450.45 B．0.50.5 C．0.50.45 D．0.450.52．已知i是虚数单位，则复数的实部和虚部分别是（）A．﹣7，3 B．7，﹣3i C．7，﹣3 D．﹣7，3i3．在某次测量中得到的A样本数据如下：42，43，46，52，42，50，若B样本数据恰好是A样本数据每个都减5后所得数据，则A、B两样本的下列数字特征对应相同的是（）A．平均数 B．标准差 C．众数 D．中位数4．如图是一个正方体的表面展开图，则图中“有”在正方体中所在的面的对面上的是（）A．者 B．事 C．竟 D．成5．加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60°，每只胳膊的拉力大小均为400N，则该学生的体重（单位：kg）约为（）（参考数据：取重力加速度大小为g＝10m/s2，≈1.732）A．63 B．69 C．75 D．816．已知向量不共线，，，若，则m＝（）A．﹣12 B．﹣9 C．﹣6 D．﹣37．如图所示是一样本的频率分布直方图，样本数据共分3组，分别为[5，10），[10，15），[15，20]．估计样本数据的第60百分位数是（）A．14 B．15 C．16 D．178．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为4，P是AA1中点，过点D1作平面α，满足CP⊥平面α，则平面α与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的截面周长为（）A．4 B．12 C．8 D．8二．多选题（共4小题）9．某城市为了解二手房成交价格的变化规律，更有效地调控房产经济，收集并整理了2019年1月至2019年12月期间二手房成交均价（单位：元/平方米）的数据（均价＝销售总额÷销售总面积），绘制了下面的折线统计图，那么下列结论中正确的有（）A．月均价的极差大于4000元/平方米 B．年均价一定小于18000元/平方米 C．月均价高峰期大致在9月份和10月份 D．上半年月均价变化相对下半年，波动性较小，变化比较平稳10．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列结论正确的是（）A．若b2+c2﹣a2＞0，则△ABC为锐角三角形 B．若A＞B，则sinA＞sinB C．若b＝3，A＝60°，三角形面积S＝3，则a＝ D．若acosA＝bcosB，则△ABC为等腰三角形11．下列说法正确的是（）A．对于任意两个向量，若|，且与同向，则 B．已知，为单位向量，若，则在上的投影向量为 C．设为非零向量，则“存在负数λ，使得”是“”的充分不必要条件 D．若，则与的夹角是钝角12．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，动点E在线段A1C1上，F、M分别是AD、CD的中点，则下列结论中正确的是（）A．FM∥A1C1 B．BM⊥平面CC1F C．存在点E，使得平面BEF∥平面CC1D1D D．三棱锥B﹣CEF的体积为定值三．填空题（共4小题）13．甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为和，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为．14．我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百零八人，问北乡人数几何？“其意思为：“今有某地北面若干人，西面有7488人，南面有6912人，这三面要征调300人，而北面共征调108人（用分层抽样的方法），则北面共有人．”15．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°．已知山高BC＝100m，则山高MN＝m．16．在底面为等腰梯形的四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝CD＝3，BC＝6，PA＝8，PA⊥平面ABCD，该四棱锥的各个顶点都在球O的球面上，则球O的半径为，球O的体积与四棱锥P﹣ABCD的体积的比值为．四．解答题（共6小题）17．已知不共线向量与，其中＝（2，m），＝（1，2）．（Ⅰ）若（﹣）⊥，求m的值；（Ⅱ）若向量2﹣与+2共线，求m的值．18．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，SA⊥平面ABCD．（1）求证：CD∥平面SAB；（2）求证：BD⊥SC．19．20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图．（1）求频率分布直方图中a的值；（2）分别求出成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数；（3）从成绩在[50，70）的学生中任选2人，求这两人的成绩都在[60，70）中的概率．20．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB＝AA1＝6，AC＝8，D，E分别是AC，CC1的中点．（1）求证：AB1∥平面BDC1；（2）若异面直线AB与A1C1所成的角为30°，求三棱锥C1﹣BDE的体积．21．已知△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．（1）证明acosB+bcosA＝c；（2）在①，②ccosA＝2bcosA﹣acosC，③2a﹣这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答．若a＝7，b＝5，______，求△ABC的周长．22．2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．员工项目ABCDEF子女教育〇〇×〇×〇继续教育××〇×〇〇大病医疗×××〇××住房贷款利息〇〇××〇〇住房租金××〇×××赡养老人〇〇×××〇（1）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？（2）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F．享受情况如上表，其中“〇”表示享受，“×”表示不享受现从这6人中随机抽取2人接受采访．（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率．参考答案一．选择题（共8小题）1．在一次抛硬币的试验中，同学甲用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了45次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（）A．0.450.45 B．0.50.5 C．0.50.45 D．0.450.5【分析】出现正面的频率是45÷100＝0.45，出现正面的概率是0.5．【解答】解：出现正面的频率是45÷100＝0.45，出现正面的概率是0.5，故选：D．2．已知i是虚数单位，则复数的实部和虚部分别是（）A．﹣7，3 B．7，﹣3i C．7，﹣3 D．﹣7，3i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z＝，∴复数的实部和虚部分别是7，﹣3．故选：C．3．在某次测量中得到的A样本数据如下：42，43，46，52，42，50，若B样本数据恰好是A样本数据每个都减5后所得数据，则A、B两样本的下列数字特征对应相同的是（）A．平均数 B．标准差 C．众数 D．中位数【分析】根据样本A，B中数据之间的关系，结合众数，平均数，中位数和标准差的定义即可得到结论．【解答】解：设样本A中的数据为xi，则样本B中的数据为yi＝xi﹣5，则样本数据B中的众数和平均数以及中位数和A中的众数，平均数，中位数相差5，只有标准差没有发生变化，故选：B．4．如图是一个正方体的表面展开图，则图中“有”在正方体中所在的面的对面上的是（）A．者 B．事 C．竟 D．成【分析】直接把正方体的展开面图复原为空间图，进一步求出结果．【解答】解：根据正方体的表面展开图，复原成正方体．如图所示：其中“者”在最里面，“有”在最外面．构成对面关系．故选：A．5．加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60°，每只胳膊的拉力大小均为400N，则该学生的体重（单位：kg）约为（）（参考数据：取重力加速度大小为g＝10m/s2，≈1.732）A．63 B．69 C．75 D．81【分析】由题意知＝＝400，夹角θ＝60°，计算＝﹣（+）的模长，再求出体重即可．【解答】解：由题意知，＝＝400，夹角θ＝60°，所以++＝，即＝﹣（+）；所以＝＝4002+2×400×400×cos60°+4002＝3×4002；||＝400（N），则该学生的体重（单位：kg）约为40＝40×1.732≈69（kg），故选：B．6．已知向量不共线，，，若，则m＝（）A．﹣12 B．﹣9 C．﹣6 D．﹣3【分析】由向量平行的性质得3+＝λm+λ（m+2），由此能求出m．【解答】解：∵向量不共线，，，，∴3+＝λm+λ（m+2），∴，解得λ＝﹣1，m＝﹣3．故选：D．7．如图所示是一样本的频率分布直方图，样本数据共分3组，分别为[5，10），[10，15），[15，20]．估计样本数据的第60百分位数是（）A．14 B．15 C．16 D．17【分析】由频率分布直方图，根据样本数据的百分位数列方程求出即可．【解答】解：由频率分布直方图知，第1组的频率为0.04×5＝0.2，第2组的频率为0.10×5＝0.5，设样本数据的第60百分位数是x，则0.2+0.10（x﹣10）＝0.6，解得x＝14，所以估计样本数据的第60百分位数是14．故选：A．8．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为4，P是AA1中点，过点D1作平面α，满足CP⊥平面α，则平面α与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的截面周长为（）A．4 B．12 C．8 D．8【分析】取AD中点E，AB中点F，连接PD，D1E，EF，B1F，B1D1，AC，先证明E，F，B1，D1四点共面，再由EF⊥CP，D1E⊥CP证明CP⊥平面EFB1D1可知平面EFB1D1为平面α与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的截面，根据正方体的棱长即可求得EFB1D1的周长．【解答】解：取AD中点E，AB中点F，连接PD，D1E，EF，B1F，B1D1，AC，如下图所示：E为AD中点，F为AB中点，则EF∥BD，BD∥B1D1所以EF∥B1D1所以E，F，B1，D1四点共面．根据正方形性质可知CD⊥平面ADD1A1，而D1E⊂平面ADD1A1，所以CD⊥D1E，A△D1DE≌△DAP，可知∠ED1D＝∠PDA，而∠PDA+∠PDD1＝90°，所以∠ED1D+∠PDD1＝90°，即PD⊥D1E为CD∩PD＝D，所以D1E⊥平面PDC，而CP⊂平面PDC，所以D1E⊥CP；E为AD中点，F为AB中点，由正方形和正方体性质可知EF⊥AC，PA⊥EF，且PA∩AC＝A，所以EF⊥平面PAC，而CP⊂平面PDC，所以EF⊥CP，又因为D1E⊥CP，D1E∩EF＝E所以CP⊥平面EFB1D1即平面EFB1D1为平面α与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的截面，正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为4所以EFB1D1的周长为B1D1+D1E+EF+B1F＝＝，故选：A．二．多选题（共4小题）9．某城市为了解二手房成交价格的变化规律，更有效地调控房产经济，收集并整理了2019年1月至2019年12月期间二手房成交均价（单位：元/平方米）的数据（均价＝销售总额÷销售总面积），绘制了下面的折线统计图，那么下列结论中正确的有（）A．月均价的极差大于4000元/平方米 B．年均价一定小于18000元/平方米 C．月均价高峰期大致在9月份和10月份 D．上半年月均价变化相对下半年，波动性较小，变化比较平稳【分析】数据分析题目，可根据定义进行分析判断．【解答】A．极差等于极大值﹣极小值．根据折线统计图，可得极大值＞19000，极小值＜15000，所以极差＞19000﹣15000＝4000元/平方米，故A正确；B．由于每月的成交数量未知，因此平均价无法确定，故B错误；C．根据折线图可得，月均价高峰期大致在9月份和10月份，故C正确；D．根据折线图，可知1﹣6月份极差＜18000﹣15000＝3000元/平方米，7﹣12月份极差＞4000元/平方米，所以可判定上半年月均价变化相对波动性较小，变化比较平稳．故D正确．故选：ACD．10．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列结论正确的是（）A．若b2+c2﹣a2＞0，则△ABC为锐角三角形 B．若A＞B，则sinA＞sinB C．若b＝3，A＝60°，三角形面积S＝3，则a＝ D．若acosA＝bcosB，则△ABC为等腰三角形【分析】A，根据余弦定理，判定命题A为锐角；B，由大角对大边，及正弦定理判定；C，利用三角形的面积计算公式、余弦定理即可得出；D，据正弦定理把等式acosA＝bcosB的边换成角的正弦，再利用倍角公式化简整理得sin2A＝sin2B，进而推断A＝B，或A+B＝90°，即可判定．【解答】解：对于A，若b2+c2﹣a2＞0，则cosA＞0，A为锐角，不能判定△ABC为锐角三角形，故错；对于B，在△ABC中，若a＞b，则2RsinA＞2RsinB，则sinA＞sinB，故正确；对于C，A＝60°，b＝3，面积S＝3，即有，解得c＝4．∴a2＝b2+c2﹣2bccosA＝32+42﹣2×3×4cos60°＝13．∴a＝，故正确；对于D，∵acosA＝bcosB，∴sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B，∴A＝B，或2A+2B＝180°即A+B＝90°，∴△ABC为等腰或直角三角形，故不正确．故选：BC．11．下列说法正确的是（）A．对于任意两个向量，若|，且与同向，则 B．已知，为单位向量，若，则在上的投影向量为 C．设为非零向量，则“存在负数λ，使得”是“”的充分不必要条件 D．若，则与的夹角是钝角【分析】利用向量的定义判断A；向量的投影判断B；向量的数量积与充要条件判断C；向量的数量积的符号判断D；【解答】解：对于任意两个向量，若|，且与同向，但是不能说，因为向量不能比较大小，所以A不正确；已知，为单位向量，若，则在上的投影为：＝﹣3，投影向量为，所以B正确；存在负数λ，使得，则与反向共线，夹角为180°，此时成立，当成立时，则与夹角满足90°＜θ≤180°，则与不一定反向共线，即“存在负数λ，使得”是“”的充分而不必要条件成立，故C正确，若，则与的夹角是钝角或平角，所以D不正确；故选：BC．12．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，动点E在线段A1C1上，F、M分别是AD、CD的中点，则下列结论中正确的是（）A．FM∥A1C1 B．BM⊥平面CC1F C．存在点E，使得平面BEF∥平面CC1D1D D．三棱锥B﹣CEF的体积为定值【分析】本题利用中位线定理以及线面垂直，三棱锥的特征求解．【解答】解：A：∵F，M分别是AD，CD的中点，∴FM∥AC∥A1C1，故A正确；B：由平面几何得BM⊥CF，又BM⊥C1C，∴BM⊥平面CC1F，故B正确；C：BF与平面CC1D1D有交点，∴不存在点E，使平面BEF∥平面CC1D1D，故C错误；D：三棱锥B﹣CEF以面BCF为底，则高是定值，∴三棱锥B﹣CEF的体积为定值，故D正确．故选：ABD．三．填空题（共4小题）13．甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为和，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为．【分析】设事件事件A表示“甲参加知识竞赛”，事件B表示“乙参加知识竞赛”，则P（A）＝，P（B）＝，利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出这两个人中恰有一人获得一等奖的概率．【解答】解：设事件事件A表示“甲参加知识竞赛”，事件B表示“乙参加知识竞赛”，则P（A）＝，P（B）＝，∵甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，∴这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为：P（A）+P（）＝P（A）P（）+P（）P（B）＝＝．故答案为：．14．我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百零八人，问北乡人数几何？“其意思为：“今有某地北面若干人，西面有7488人，南面有6912人，这三面要征调300人，而北面共征调108人（用分层抽样的方法），则北面共有8100人．”【分析】根据分层抽样时抽取的比例相等，列方程求出结果．【解答】解：设北面有x人，根据题意得＝，解得x＝8100．故答案为：8100．15．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°．已知山高BC＝100m，则山高MN＝150m．【分析】由题意，可先求出AC的值，从而由正弦定理可求AM的值，在RT△MNA中，AM＝100m，∠MAN＝60°，从而可求得MN的值．【解答】解：在RT△ABC中，∠CAB＝45°，BC＝100m，所以AC＝100m．在△AMC中，∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，从而∠AMC＝45°，由正弦定理得，，因此AM＝100m．在RT△MNA中，AM＝100m，∠MAN＝60°，由得MN＝100×＝150m．故答案为：150．16．在底面为等腰梯形的四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝CD＝3，BC＝6，PA＝8，PA⊥平面ABCD，该四棱锥的各个顶点都在球O的球面上，则球O的半径为5，球O的体积与四棱锥P﹣ABCD的体积的比值为π．【分析】由题意可得底面等腰梯形的外接圆的半径，过底面外接圆的圆心E作垂直于底面的直线，则外接球的球心在此直线上，在两个三角形中求出外接球的半径，进而求出球的体积，及体积之比．【解答】解：如图，取BC的中点E，过E作EO⊥面AC，因为PA⊥面AC，所以PA∥OE因为AB＝CD，AD∥BC，AB＝AD＝CD＝3，BC＝6，所以△ABC为等边三角形，∠ABC＝60°∠CAB＝90°，所以E为梯形ABCD的外接圆的圆心，则外接圆的半径r＝3，取O为外接球的球心，设外接球的半径为R，过O作OH⊥PA于H，则四边形OHAE为矩形，所以OE＝AE＝BE＝r＝3，AH＝OE，连接OB，OP，则OP＝OB＝R，在△OBE中，OB2＝R2＝OE2+BE2＝OE2+9①，在△OPH中，OP2＝R2＝OH2+PH2＝AE2+（PA﹣AH）2＝9+（8﹣OE）2②，由①②可得OE＝4，所以R2＝9+42＝25，所以R＝5，所以V球＝＝π，VP﹣ABCD＝S底ABCD•PA＝（3+6）•3•8＝18，所以＝＝．故答案分别为：5，π．四．解答题（共6小题）17．已知不共线向量与，其中＝（2，m），＝（1，2）．（Ⅰ）若（﹣）⊥，求m的值；（Ⅱ）若向量2﹣与+2共线，求m的值．【分析】（Ⅰ）可求出，从而根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出m的值；（Ⅱ）可求出，，然后根据与共线即可得出关于m的方程，解出m即可．【解答】解：（Ⅰ），∵，∴，解得；（Ⅱ），，又与共线，∴3（m+4）﹣4（2m﹣2）＝0，解得m＝4．18．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，SA⊥平面ABCD．（1）求证：CD∥平面SAB；（2）求证：BD⊥SC．【分析】（1）推导出AB∥CD，由此能证明CD∥平面SAB．（2）连结AC，推导出SA⊥BD，AC⊥BD，从而BD⊥平面SAC，由此能证明BD⊥SC．【解答】证：（1）在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，所以AB∥CD，……（2分）∵AB⊂平面SAB，CD⊄平面SAB，∴CD∥平面SAB……（4分）（2）连结AC．∵SA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴SA⊥BD……（6分）∵底面ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∵AC∩SA＝A，AC，SA⊂平面SAC，∴BD⊥平面SAC，又SC⊂平面SAC……（9分）∴BD⊥SC．……（10分）19．20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图．（1）求频率分布直方图中a的值；（2）分别求出成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数；（3）从成绩在[50，70）的学生中任选2人，求这两人的成绩都在[60，70）中的概率．【分析】（1）根据频率分布直方图求出a的值；（2）由图可知，成绩在[50，60）和[60，70）的频率分别为0.1和0.15，用样本容量20乘以对应的频率，即得对应区间内的人数，从而求出所求．（3）分别列出满足[50，70）的基本事件，再找到在[60，70）的事件个数，根据古典概率公式计算即可．【解答】解：（1）根据直方图知组距＝10，由（2a+3a+6a+7a+2a）×10＝1，解得a＝0.005．（2）成绩落在[50，60）中的学生人数为2×0.005×10×20＝2，成绩落在[60，70）中的学生人数为3×0.005×10×20＝3．（3）记成绩落在[50，60）中的2人为A，B，成绩落在[60，70）中的3人为C，D，E，则成绩在[50，70）的学生任选2人的基本事件有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共10个，其中2人的成绩都在[60，70）中的基本事件有CD，CE，DE共3个，故所求概率为P＝．20．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB＝AA1＝6，AC＝8，D，E分别是AC，CC1的中点．（1）求证：AB1∥平面BDC1；（2）若异面直线AB与A1C1所成的角为30°，求三棱锥C1﹣BDE的体积．【分析】（1）如图，连接B1C，交BC1于点F，连接DF，由已知结合三角形中位线定理可得DF∥AB1，再由直线与平面平行的判定定理，证明AB1∥平面BDC1；（2）由AC∥A1C1，可得∠BAC即为异面直线AB与A1C1所成的角为30°，求三角形ABC的面积，得到三角形DBC的面积，然后分别求出三棱锥C1﹣BCD，E﹣BCD的体积，再由求解．【解答】解：（1）证明：如图，连接B1C，交BC1于点F，连接DF，在△ACB1中，由于D为AC的中点，F为B1C的中点∴DF为△ACB1的中位线，∴DF∥AB1，∵DF⊂平面BDC1，AB1⊄平