《函数与导数》测试题(含标准答案)

1、函数与导数测试题 、选择题 1. 函数f(x) (x 3)ex的单调递增区间是 () A. ( ,2) B.(0,3) C.(1,4) D. (2,) 解析 f (x) (x 3) ex (x 3) ex (x 2)ex,令 f (x) 0,解得 x 2,故选 D 2. 已知直线 y=x+1 与曲线 y ln(x a)相切，则a的值为 () A.1 B. 2 C.-1 D.-2 1 解：设切点 P(x,y)，则 yo xo 1,yo ln(xo a),又Q y |x 沧 1 xo a x0 a 1 y 0,x 1 a 2.故答案选 B 3. 已知函数 f(x)在 R 上满足f(x) 2f (2

2、 x) x2 8x 8，则曲线 y f (x)在点 (1,f(1)处的切线方程是() A. y 2x 1 B. y x C. y 3x 2 D y 2x 3 解析 由 f (x) 2f (2 x) x2 8x 8得几何 f (2 x) 2f(x) (2 x)2 8(2 x) 8， 即 2f (x) f(2 x) 2 2 x 4x 4，二 f (x) x f/ (x) 2x ，二 切线方程 y 1 2(x 1)，即 2x y 1 0 选 A 4.存在过点(1,0)的直线与曲线y x3和y ax2 7x 9都相切, 则 a 等于() A. 1或 -25 .1 或21 C z 或-25 D .-或

3、7 64 4 4 64 4 解析 设过(1,0)的直线与y x3相切于点(xo,x。3)，所以切线方程为 y X。3 3x2(x Xo) 3 即y 3x2x 2x3，又(1,0)在切线上，则x0 0或 xo -， 15 25 当X0 0时由y 与y ax2 7x 9相切可得a 64， 当 x 3时，由 y 27x 27与 y ax2 x 9 相切可得a 1，所以选 A. 2 4 4 4 5.设函数f(x) g(x) x2，曲线 y g(x)在点(1,g(1)处的切线方程为 y 2x 1, 贝 U 曲线 y f (x)在点(1,f(1)处切线的斜率为 () 1 1 A. 4 B. C. 2 D.

4、- 4 2 解析由已知 g(1) 2，而 f (x) g (x) 2x，所以 f (1) g(1) 2 1 4 故选 A 答案 B 间a,b上各点处的斜率 k 是递增的，由图易知选 A. 注意 C 中 y k 为常数 6.曲线y 2x X -在点 1,1 处的切线方程为( 1 A. x y 2 B. x y 2 0 C. x 4y 5 0 D. 4y 5 0 解 y lx 1 2x (2x1f1 (2x 1)2x1 1, 故切线方程为 y 1 (x 1),即 x y 2 0 故选 B. 7.若函数 y f(x)的导函数在区间a,b上是增函数，则函数 y f (x)在区间 a,b上的图象可能D

5、. f (x)在区间a,b上是增函数，即在区 噢.8.若捲满足 2x+2x=5, x2满足 2x+2log2 (x 1)=5, x1 +x2 = 5 7 A. B.3 C. D.4 2 2 答案 C 解析 由题意2X1 2 5 2X2 2log2(x2 1) 5 所以 2 5 2人，x log2(5 2%) 即 2 人 2log2 (5 2x) 令 2xp 7 2t,代入上式得 7 2t = 2log2(2t 2) = 2 + 2log 2(t 1) 5 2t = 2log 2(t 1)与式比较得 t = X2 于是 2x1 = 7 2x2 1 9.设函数 f(x) -x ln x(x 0),

6、则 y f(x) 3 1 A 在区间(-,1),(1,e)内均有零点。 e 1 B 在区间(-,1),(1,e)内均无零点。 e C 在区间(丄,1)内有零点，在区间(1,e)内无零点。 e 1 D 在区间(-,1)内无零点，在区间(1,e)内有零点。 e 【考点定位】本小考查导数的应用，基础题。 解析 由题得f(x) 1丄仝3，令 f(x) 0 得x 3 ;令 f(x) 0 得 3 x 3x 0 x3 ; f(x) 0 得x 3，故知函数 f (x)在区间(0,3)上为减函数，在区间 (3,) 为增函数，在点x 3处有极小值1 ln 3 0 ；又 1 e 11 f (1) , f e 1 0

7、, f ( ) 1 0，故选择 Db e 3e (X 是 團 10 2 ax 2x2 (x 1) a = 3 或是 a |a 0 。 、填空题 垂直于 y 轴的切线，故此时斜率为 0，问题转化为x 0范围内导函数 1 f x 2ax 存在零点。 x 1 解法 1 （图像法）再将之转化为 g x 2ax 与 h x -存在交点。当a 0不 x 解法 2 （分可得 a 10.若函数f (x) 2 x a在x 1处取极值，则a x 1 解析 f =2x(x 1) (x2 a) f (1)=晋=0 11.若曲线 f x Inx 存在垂直于 y 轴的切线，则实数a的取值范围 解析解析 1 由题意该函数的

8、定义域x 0，由 f x 2ax 。因为存在 x 符合题意，当a 0时，如图 1,数形结合可得显然没有交点，当a 0如图 2, 此时正好有一个交点，故有a 0应填 ,0 12.函数f （x） x3 15x2 33x 6的单调减区间为 1) 2 f (x) 3x2 30 x 33 3(x 11)(x 1), 由(x 11)(x 1) 0得单调减区间为(1,11)。亦可填写闭区间或半开半闭区间。 13. 在平面直角坐标系 xoy 中，点 P 在曲线C : y x3 10 x 3上，且在第二象限内， 已知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2,则点 P 的坐标为 _ 解析y 3x2 10 2 x 2，又点 P 在第二象限内，x 2点 P 的坐标为(- 2, 15) 答案：a 1 14. (2009 福建卷理)若曲线f(x) ax3 In x存在垂直于 y 轴的切线，则实数a 取值范围是 _ . 答案 (，0) 1 由题意可知 f(x) 2ax2 -，又因为存在垂直于 y 轴的切线, x 解析 考查利用导数判断函数的单调性。 所以 2ax2 -(x 0) a ( ,0) o 2x 15.设曲线y xn 1(n N*)在点(1，1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 Xn ,令 an lg Xn，贝U a1 a? L a99的值为 答案-2 解析：点(1，1)在函数 y xn 1的导函