Matlab统计工具

1、1Matlab统计工具箱统计工具箱一一:统计工具箱简介统计工具箱简介二二:概率分布概率分布三三:参数估计参数估计四四:描述性统计描述性统计五五:假设检验假设检验六六:统计绘图统计绘图2一一.matlab统计工具箱统计工具箱(statistics toolbox)简介简介 统计学是处理数据的艺术和科学,通过收集,分析,解释和表达数据来探索事物中蕴含的规律.随着科技水平的迅猛发展,知识经济的时代来临,海量的数据需要人们处理.matlab统计工具箱为人们提供了一个强有力的统计分析工具. 统计工具箱基于matlab数值计算环境,支持范围广泛的统计计算任务.它包括200多个处理函数(m文件)主要应用于以

2、下几方面:31.1 统计工具箱的几大功能统计工具箱的几大功能 *概率分布概率分布 *参数估计参数估计 *描述性统计描述性统计 *假设检验假设检验 *统计绘图统计绘图 4统计工具箱提供了20种概率分布类型,其中包括离散型离散型分布:(如binomial二项分布, 即n次贝努里试验中出现k次成功的概率.poisson 分布, 和 分布等). knkppknpnkb)1 (),;(2ekkpk!);(1.1.1概率分布概率分布-离散型离散型51.1.2 概率分布概率分布连续型连续型分布如正态分布F(x)=beta分布,uniform平均分布等.每种分布提供5类函数: 1 概率密度 2 (累积)分布函

3、数 3 逆累积分布函数 4 随机数产生器 5 均值和方差函数.dyeyx2)(22161.1.3另外另外4大功能大功能*参数估计参数估计-依据原始数据计算参数估计值置信区域依据原始数据计算参数估计值置信区域.*描述性统计描述性统计-方差方差,期望等数字特征期望等数字特征.*假设检验假设检验-提供最通用的假设检验函数提供最通用的假设检验函数t-检验检验,z-检验检验.*统计绘图统计绘图- box图函数图函数,正态概率图函数等正态概率图函数等.注意:统计工具箱中的说有函数都可用 type function_name语句查看其代码,也可进行修改,从而变为己用,加入到工具箱中. 7二 概率分布随机变量

4、的统计行为取决于其概率分布，而分布函数常用连续和离散型分布。统计工具箱提供20种分布。每种分布有五类函数。1: 概率密度(pdf) ; 2: 累积分布函数(cdf); 3:逆累积分布函数(icdf);4: 随机数产生器 5: 均值和方差函数；一：离散型概率密度函数:为观察到的特定值的概率。 连续型概率密度函数定义为：如存在非负函数p(x) 0,使对任意ba，X 在(a,b)上取值概率为paX0，xi0, 如果有不等式约束，则对含的约束，在左边加上一个非负变量使其成为等式约束；对含的约束，在左边减去一个非负变量使其成为等式约束。 4.3.2 lp函数lp 功能 ：求解线性规划问题 格式 ：x =

5、 lp(c,A,b) x = lp(c,A,b,vlb) x = lp(c,A,b,vlb,vub) % 设置解向量的上下界 x = lp(c,A,b,vlb,vub,x0) % 设置初始解向量 x0 x = lp(c,A,b,vlb,vub,x0,neqcstr) % 设置在约束中的等式约束的个数 x,lambda,how = lp (c,A,b,) % 同时返回拉格朗日乘子51例子 求下面线性规划问题：目标函数 ：f(x) = 5x1 4x2 6x3 约束方程 ：x1-x2+x320 3x1+2x2+4x342 3x1+2x230 0 x1, 0 x2, 0 x3 第一步：输入系数 c =

6、 -4,-5,-6 a = 1 1 1 3 2 4 3 2 0 ; b = 20 ; 42 ; 30 ;第二步 ：求解 x, lambda = lp ( c, a, b, zeros (3,1)解为：x = 0 15.0000 3.000lambda = 0 1.5000 0.5000 1.0000 0 0 A 为约束方程系数矩阵 c 为目标方程系数 b 为约束方程系数向量52例子： 求无约束非线性问题f(x) = 100 ( x2 x12 )2 + (1 x1)2初始解向量： x= -1.2 1 第一步：编写文件function f = fun(x)f = 100*(x(2) x(1)2)2

7、+(1 x(1)2;第二步：求解x = -1.2 , 1 x = fminu (fun, x) x = 1.0000 1.0000 fun(x) = 8.8348e-11 4.4 非线性规划4.4.1 无约束规划fminu, fmins 功能 ： 求解无约束非线性最优化问题 格式 ： x = fminu ( fun , x0) % 求函数fun的最小值，并设置初始值向量为x0 x = fminu ( fun , x0, options) % 可选参数在options向量中设置 x = fminu ( fun , x0, options, grad) x = fminu ( fun , x0,

8、options, grad , p1, p2, ) x, options = fminu ( fun, x0, ) = fmins ( fun, x0, ) options(2)控制x的精度 options(3)控制目标函数f的精度 53fmins 线性搜索算法的控制: 缺省 options(7)=0，使用一种二次和三次多项式插值的混合算法 options(7)=1时，使用三次多项式插值算法。目标函数大于阶，一般用fminu函数；但对于非常不连续的函数则用fmuns函数 4.4.2二次规划4.4.3有约束规划 fmin函数 标量最优求解标量最优问题的一般描述: 目标函数： mina f(a)

9、区域约束单变量问题: 目标函数：minaf(a) 约束条件：a1a a2 fminu函数优化算法的控制：缺省options(6)=0 时，用拟牛顿方法 options(6) = 1 时，用DFP公式来逼近Hessian矩阵options(6) = 2 时，用最速下降法54例子 ：求下面标量函数在(0,5)区间的最小值 目标函数：f = (a-3)2 1 第一步： 编写M函数 function f = fun(a) f = (a-3)2 1 ; 第二步： 求解 a = fmin (fun, 0,5) a = 3 The value at the minimum is Y= f(a) Y = 1

10、fmin 功能： 求解区域约束单变量问题。 格式：a = fmin( fun, a1, a2 ) a = fmin( fun, a1, a2, options ) a = fmin( fun, a1, a2, options, p1, p2,.) a, options = fmin( function, a1, a2,) 说明： options(2) 控制x的精度 options(14)控制函数的计算次数 55 constr 功能 ：多变量非线性约束最优问题求解 格式 ：x =constr ( fun, x0 ) % 求解非线性约束最优化问题，初始向量为x0 x =constr ( fun,

11、x0, options ) x =constr ( fun, x0, options, vlb, vub, grad, ) % 设置解向量上下界 x =constr ( fun, x0, options, vlb, vub, grad, p1, p2, ) x, options = constr (fun. X0, ) x, options, lambda = constr (fun, x0, ) x, options, lambda, hess = constr (fun, x0, ) options(4)控制对约束的越限程度 3 constr函数多变量非线性约束最优化问题的一般描述目标函数

12、： minx f(x)约束条件： G(x)0 56目标函数：f(x) = -x1*x2*x3约束条件：-x1 2x2 2x30; x1+2x2+2x372初始解向量：x = 10 10 10 第一步：编写M文件function f , g = fun(x)f = -x(1)*x(2)*x(3) ;g(1) = -x(1) 2*x(2) 2*x(3) ;g(2) = x(1) + 2*x(2) + 2*x(3) 72 ;第二步：求解x0 = 10, 10, 10 ;x = constr ( fun, x0 )经过次运算后，结果为x = 24.0000 12.0000 12.0000 f, g =

13、 fun(x)f = 3.4560e+03g = 72 0 例子574.5最小最大（minmax)问题一般描述：目标函数：约束条件： G(x)0minimax 功能：求解最小最大问题 格式：x = minimax( fun,x0) % 求解最小最大问题，初始解向量为x0 x = minimax( fun,x0 , options) x = minimax( fun,x0 , options, vlb, vub,grad) x = minimax( fun,x0 , options, vlb, vub, grad, p1, p2,) x,options = minimax( fun, x0,)

14、minimax 功能：求解最小最大问题 格式：x = minimax( fun,x0) % 求解最小最大问题，初始解向量为x0 x = minimax( fun,x0 , options) x = minimax( fun,x0 , options, vlb, vub,grad) x = minimax( fun,x0 , options, vlb, vub, grad, p1, p2,) x,options = minimax( fun, x0,) 58举例 : (1)求下述最小最大问题： f1(x),f2(x),f3(x),f4(x),f5(x)其中 f1 = 2x12 + x22 48x

15、1 40 x2 + 304 f2 = -x12 3x22 f3 = x1 + 3x2 18 f4 = -x1 x2 f5 = x1 + x2 8 第一步：编写M文件function f,g = fun(x)f(1) = 2*x(1)2 + x(2)2 48*x(1) 40*x(2) +304;f(2) = x(1)2 3*x(2);f(3) = x(1) + 3*x(2) 18; f(4) = -x(1) x(2);f(5) = x(1) + x(2) 8;g = ; %无约束第二步：求解x0 = 0.1, 0.1;x = minimax (fun, x0 )经过29次运算后，结果为：59x

16、= 4.0000 4.0000fun(x)ans = 0.0000 -16.0000 -2.0000 -8.0000 0.0000(2) 求上述问题的绝对值最小最大问题：即目标函数为： abs(f1(x), abs(f2(x), abs(f3(x), abs(f4(x), abs(f5(x)第一步：编写M文件 (与例一相同）第二步：求解x0 = 0.1, 0.1;options(15) = 5; %全部为绝对值最小最大分量x = minimax( fun, x0, options )经过39次运算，解为：x =8.7769 0.6613fun(x)ans =10.7609 -7.2391 -9

17、.4382 1.4382 604.8最小二乘最优nnls函数非负线性最小二乘求解非负线性最小二乘问题的一般形式目标函数：minxAx-b22约束条件：x0 nnls 功能：求解非负最小二乘问题 格式：nnls (A,b) % 求解上述非负最小二乘问题 nnls (A,b,tol) % 定义x的容许误差，缺省：tol = max(size(A)*norm(A,l)*esp x,w = nnls(A,b) x,w = nnls(A,b,tol) 举例：一个最小二成问题的无约束与非负约束解法的比较 第一步：输入系数 a = 0.0372 0.2869 0.6861 0.7071 0.6233 0.6

18、245 0.6344 0.6170 b = 0.8587 0.1781 0.0747 0.840561第二步：求解a b, nnls (a, b) = -2.5625 0 1.1106 0.6929norm(a*(ab) b), norm(a*nnls(a,b) b) = 0.6677 0.9119 4.8.3conls函数约束线性最小二乘求解线性约束最小二乘问题的一般描述：目标函数：minAx-b22约束条件：Cxd conls 功能： 线性约束最小二乘问题求解格式：x = conls(A, b, C, d) % 求解在约束c*xd下方程A*x=b的最小二乘解 x = conls(A, b,

19、 C, d, vlb) x = conls(A, b, C, d, vlb, vub) % 设置上下界 x = conls(A, b, C, d, vlb, vub, x0) % 设置初始解向量x0 x = conls(A, b, C, d, vlb, vub, x0, neqcstr) x = conls(A, b, C, d, vlb, vub, x0, neqcstr, display) x, lambda, how = conls (A, b, C, d,) % 同时返回拉格朗日乘子其中，A,b 为线性系统的系数 C,d 为线性约束的系数 62举例 ： 求解如下系统的最小二乘解 系统：

20、Ax = b 约束：Cxb; vlbxvub第一步：输入系统系数第二步：求解 x, lambda = conls (A, b, C, d, vlb, vub) 4.8.4 leastsq函数非线性最小二乘求解非线性最小二成问题的一般描述minxF(x)22 = if i (x)2 leastsq 功能：求解非线性最小二乘（非线性数据拟合）问题格式： x = leastsq (fun, x0) % 求解返回解向量x,初始解向量为x0 x = leastsq (fun, x0, options)x = leastsq (fun, x0, options, grad)x = leastsq (fun

21、, x0, options, grad, p1, p2,)x, options = leastsq(fun, x0,) x, options, funval = leastsq(fun, x0, )x, options, funval, Jacob = leastsq(fun, x0, )options(2)控制x的精度options(3)控制目标函数f的精度 63举例：求下述非线性最小二乘问题 ( 2 + 2k ekx1 ekx2 ) k=1,2,10 初始解向量为x = 0.3 0.4 由于leastsq函数要求传递的函数为向量形式且不具有平方和形式，因此对函数作以下变换：Fx(x) =

22、2 + 2k ekx1 ekx2 k=1, 2,10第一步：编写M文件function f =fun(x)k = 1:10;f = 2+2*k exp(k*x(1) exp(k*x(2);第二步：求解x0 = 0.3 0.4x = leastsq( fun, x0 )经过42次运算，得到以下结果x = 0.25783 0.25783sum (fun(x).*fun(x) % 求目标函数ans = 124.3622 64 fzero 功能： 求解单变量函数 格式： z = fzero(fun,x0) % 单变量函数fun求解, 并设置初始搜索点为x0 z = fzero(fun,x0,tol)

23、% 设置解的精度 z = fzero(fun,x0,tol,trace) z = fzero(fun,x0tol,trace,p1,p1,) tol为相对容许误差 1.9方程求解 fzero 采用数值解法求解非线性方程；fsolve函数则采用非线性最小二乘法求解线性方程组 65举例： 对下述函数求解： f(x) = x3 2x 5第一步：编写M文件function y = f(x)y = x.3 2*x 5;第二步：求解z = fzero(f, 2)z = 2,0946 1. fsolve 功能： 非线性方程求解非线性方程的一般描述：F(x) = 0 其中x为向量，F(x)为一个函数向量 格式： x = fsolve(fun, x0) % 非线性方程fun求根x = fsolve(fun, x0, opntions)x = fsolve(fun, x0, opntions, grad)x = fsolve(fun, x0, opntions, grad, p1, p2,) x,option