双曲线的定义

1、1F2FM 平面内到平面内到两两个定点个定点F1、F2的距离之的距离之和和等于等于常数常数（大于大于|F1F2|）的点的轨迹叫做的点的轨迹叫做椭圆椭圆。 这两个定点叫做椭圆的这两个定点叫做椭圆的焦点焦点，两焦点间的距离，两焦点间的距离叫做椭圆的叫做椭圆的焦距焦距。 这两个定点这两个定点F F1 1、F F2 2的叫做双曲线的的叫做双曲线的焦点焦点, ,两焦点的距离两焦点的距离叫做双曲线的叫做双曲线的焦距焦距 MF1F2注意注意: （1 1）必须在平面内）必须在平面内. .（2 2）| |F F1 1 F F2 2|常数常数. .思考：思考：求曲线方程的方法步骤是什么？求曲线方程的方法步骤是什么

2、？求曲线方程的一般步骤：求曲线方程的一般步骤：1. 建系设点：建系设点：建立适当的坐标系，用建立适当的坐标系，用 M(x,y) 表示曲线上任意一点表示曲线上任意一点;. 列式列式：(列出限制条件列出限制条件) 写出满足条件写出满足条件p的点的集合的点的集合P = | p(M) ;. 代入：代入： 用坐标表示条件用坐标表示条件p(M) ，列出方程，列出方程 f (x,y) =0 ;4. 化简：化简：化方程为最简形式；化方程为最简形式；. 证明：证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。是曲线上的点。(习惯上加以补充说明习惯上加以补充说明)xyO),(

3、yxM怎样建立平面直角坐标系呢？怎样建立平面直角坐标系呢？2a2aMFMFMFMF2 21 1|双曲线的焦距为双曲线的焦距为2c(c0)，M与与F1、F2的距离的的距离的差差为为2aF F1 1(-c,0)(-c,0)F F2 2(c,0)(c,0)ac22 以以F F1 1、F F2 2所在的直线为所在的直线为x x轴，轴，线段线段F F1 1F F2 2的中点为原点的中点为原点建立直角坐系。建立直角坐系。MF1F2oxy 设设M(x,y)M(x,y)是双曲线上任一点，是双曲线上任一点，双曲线的焦距为双曲线的焦距为2 2c(c0)c(c0)，M M与与F F1 1、F F2 2的距离的差等于

4、的距离的差等于2 2a.a.则则F F1 1(-c,0)(-c,0)、F F2 2(c,0)(c,0)aycxycxMFMF2|222221： aycxycx22222 222ycxaacx 22222222acayaxac022ac0222bbac设： 0012222babyax，122222acyax0 0b ba a 1 1b by ya ax x2 22 22 22 2,0叫做叫做双曲线的标准方程。双曲线的标准方程。yoF1F2Mx它所表示的双曲线的它所表示的双曲线的焦点在焦点在x x轴上轴上，焦点是焦点是 ，中心在坐标原点中心在坐标原点的双曲线方程的双曲线方程 , ,其中其中12(,

5、0)( ,0)FcF c222bacyoF1F2MxbcbacOP22|令PxF1F2yoM 1 1b by ya ax x2 22 22 22 2 1 1b bx xa ay y2 22 22 22 20 0b ba a 1 1b bx xa ay y2 22 22 22 2,0.0)b0,(a1,bxay22220 0b ba a 1 1b by ya ax x2 22 22 22 2, 0双曲线的标准方程：双曲线的标准方程：*双曲线的两种标准方程的双曲线的两种标准方程的异同点异同点:同同:异：异：两种双曲线相对于坐标系的位置不同两种双曲线相对于坐标系的位置不同,它们的焦点坐标也不同它们的

6、焦点坐标也不同形状相同形状相同,大小相同都有大小相同都有a0，b0,ca0 , .222bca当当a=b时，双曲线称为等轴双曲线，时，双曲线称为等轴双曲线，1122222222axayayax，或，方程为：也可为：也可为：x2y2=a2，或，或，y2x2=a2.116922yx12514422xy112222mymx答：在答：在 X 轴。（轴。（-5，0）和（）和（5，0）答：在答：在 y 轴。（轴。（0，-13）和（）和（0，13）答：在答：在x 轴。（轴。（ -1 ，0 ）和（）和（ 1， 0）判断双曲线标准方程的焦点在哪个轴上的准则：判断双曲线标准方程的焦点在哪个轴上的准则： 焦点在正的

7、的那个轴上。焦点在正的的那个轴上。例例1 1 判定下列双曲线的焦点在？轴，并指明判定下列双曲线的焦点在？轴，并指明a2、b2，写出焦点坐标和焦距，双曲线上点到两焦点距离差：写出焦点坐标和焦距，双曲线上点到两焦点距离差：3、若、若M为双曲线为双曲线 上一点，上一点，F1、F2分别为双曲线分别为双曲线的左、右焦点，并且的左、右焦点，并且MF1=8,则则MF2= .116922yx2、已知双曲线的方程为：、已知双曲线的方程为： ，请，请填空：填空： a= ，b= ，c= ，焦点坐标为焦点坐标为 ，焦距等于，焦距等于 .1366422yx10 6820(-10,0)、(10,0)2 2或或141419

8、1622yx191622xy例例3动点动点P到两个定点到两个定点F1（5，0）、）、F2（5，0）的）的距离之差等于距离之差等于8，问点，问点P的轨迹是何种曲线？并求出它的轨迹是何种曲线？并求出它的方程。的方程。 .解：解： 双曲线的焦点在双曲线的焦点在x轴上轴上设它的标准方程为设它的标准方程为: 2a=8, 2c=10 a=4, c=5 b2=c2a2=5242=9所求双曲线的标准方程为所求双曲线的标准方程为 ) 0, 0( 12222babyax191622yxyoF1F2Mx 如果把上面的如果把上面的8改为改为12，其他条件不变，会出现什么情况？，其他条件不变，会出现什么情况？例例4 4

9、、已知双曲线的焦距为、已知双曲线的焦距为1212， 双曲线上任何一点到两个焦点的距离之差为双曲线上任何一点到两个焦点的距离之差为10,10, 求双曲线的标准方程。求双曲线的标准方程。1112522yx1112522xy例例4 4、已知双曲线、已知双曲线1616x x2 29y9y2 2=144=144右边一支上的点右边一支上的点P P到到 左焦点的距离为左焦点的距离为1515，求：，求：双曲线的焦点坐标和焦距；双曲线的焦点坐标和焦距；点点P P到到 双曲线右焦点的距离。双曲线右焦点的距离。解：解：把原方程两边除以把原方程两边除以144144，得到焦点在，得到焦点在x x轴上的轴上的 双曲线标准

10、方程：双曲线标准方程：116922yx于是于是 a a2 2=9, b=9, b2 2=16, c=16, c2 2=a=a2 2+b+b2 2=9+16=25=9+16=25c=5 2c=10c=5 2c=10焦点坐标焦点坐标 F F1 1(-5,0),F(-5,0),F2 2(5,0),(5,0),焦距为焦距为1010例例4 4、已知双曲线、已知双曲线1616x x2 29y9y2 2=144=144右边一支上的点右边一支上的点P P到到 左焦点的距离为左焦点的距离为1515，求：，求：双曲线的焦点坐标和焦距；双曲线的焦点坐标和焦距；点点P P到到 双曲线右焦点的距离。双曲线右焦点的距离。

11、解：解：由题意得知：由题意得知：PFPF1 1=15, a=3, 2a=6=15, a=3, 2a=6由双曲线的定义得由双曲线的定义得 PFPF1 1-PF-PF2 2=6=6PFPF2 2 = PF= PF1 1- 6 = 15 6 = 9- 6 = 15 6 = 9即点即点P P到到 双曲线右焦点的距离是双曲线右焦点的距离是9 9 11222mymx aMFMF2|21212122|FFaaMFMFm0012222babyax，0012222babxay，01，cF 02，cFcF，01cF，0200222bcacbac，cba ,双曲线定义双曲线定义图形图形标准方程标准方程焦点坐标焦点坐

12、标 关系关系21FF、a（ 为定点， 为常数1 双曲线的标准方程有几个？双曲线的标准方程有几个？答：两个。焦点分别在答：两个。焦点分别在 x 轴、轴、y 轴。轴。2给出双曲线标准方程，怎样判断焦点在哪个轴上给出双曲线标准方程，怎样判断焦点在哪个轴上答：在正的那个轴上。答：在正的那个轴上。CByAx223什么时候表示双曲线？什么时候表示双曲线？答：答：A、B 异号时。异号时。4求一个双曲线的标准方程需求几个量？求一个双曲线的标准方程需求几个量？答：两个。答：两个。a、 b或或a、c或或b、c 1、双曲线的定义（强调、双曲线的定义（强调2a|F1F2|） 和双曲线的标准方程和双曲线的标准方程 2、双曲线的标准方程有两种，注意区分、双曲线的标准方程有两种，注意区分 4、求双曲线标准方程的方法、求双曲线标准方程的方法 3、根据双曲线