第5章地壳应变应力分析-2014

1、地壳形变地壳形变武汉大学武汉大学 许才军许才军第第5章章 地壳应力与应变分析地壳应力与应变分析变形、应变概念变形、应变概念应力分析基础应力分析基础应变分析基础应变分析基础区域地壳运动应变分析区域地壳运动应变分析变形、应变概念变形、应变概念p 变形变形：当地壳中岩石体受到应力作用后，其内部：当地壳中岩石体受到应力作用后，其内部各质点经受了一系列的各质点经受了一系列的位移位移，从而使岩石体的，从而使岩石体的初初始形状、方位或位置发生了改变始形状、方位或位置发生了改变，这种改变通常这种改变通常称为变形。称为变形。p 位移的基本方式可以分为四种位移的基本方式可以分为四种：平移、旋转、体：平移、旋转、体

2、变和形变变和形变。 变形、应变概念变形、应变概念A. A. 平移平移 B. B. 旋转旋转 C. C. 形变形变 D.D.体变体变 平移和旋转平移和旋转是指刚体的平移和旋转，是物体相对于是指刚体的平移和旋转，是物体相对于外部坐标作整体的平移或旋转。这种位移外部坐标作整体的平移或旋转。这种位移并不引起并不引起物体内部各质点间相对位置的变化物体内部各质点间相对位置的变化，因此，因此平移和旋平移和旋转不会改变物体的形状转不会改变物体的形状。 体变和形变体变和形变使物体内部使物体内部各质点间的相对位置发生了各质点间的相对位置发生了改变改变，从而改变了物体的大小和形状，即，从而改变了物体的大小和形状，即

3、引起了物引起了物体的应变体的应变。变形、应变概念变形、应变概念 应变应变：是物体在应力作用下的形状和大小的改变是物体在应力作用下的形状和大小的改变量量( (有时也包含一定程度的旋转有时也包含一定程度的旋转) )，所以，所以应变可理应变可理解为是表示物体变形的程度。解为是表示物体变形的程度。 地应变地应变：地壳是具有一定弹性的，当作用于它的地壳是具有一定弹性的，当作用于它的地应力不超过地壳岩石的弹性强度时，就产生弹地应力不超过地壳岩石的弹性强度时，就产生弹性应变，称为地应变。性应变，称为地应变。2 应力分析基础应力分析基础 外力、内力外力、内力 应力的定义应力的定义 一点的应力一点的应力 主应力

4、、主方向主应力、主方向 应力场应力场p 外力和内力外力和内力 处于地壳中的任何地质体，都会受到相邻介质的作用力。这处于地壳中的任何地质体，都会受到相邻介质的作用力。这种种研究对象以外的物体对被研究物体施加的作用力称为外力研究对象以外的物体对被研究物体施加的作用力称为外力。由外力作用引起的物体内部各部分之间的相互作用力称为由外力作用引起的物体内部各部分之间的相互作用力称为内力内力。 外力和内力是一对相对的概念，当研究范围扩大或缩小时，外力和内力是一对相对的概念，当研究范围扩大或缩小时，外力可以变为内力，内力也可以变为外力外力可以变为内力，内力也可以变为外力。例如，当考察一例如，当考察一个岩体内的

5、某个矿物颗粒的受力时，周围颗粒对颗粒的作用个岩体内的某个矿物颗粒的受力时，周围颗粒对颗粒的作用力是外力；当研究对象是该岩体时，周围颗粒与该颗粒的相力是外力；当研究对象是该岩体时，周围颗粒与该颗粒的相互作用力变成了内力，而围岩对岩体的作用力是外力；当研互作用力变成了内力，而围岩对岩体的作用力是外力；当研究的对象扩展到该岩体所在板块时，围岩与该岩体之间的相究的对象扩展到该岩体所在板块时，围岩与该岩体之间的相互作用力又变成了内力，而相邻板块对该板块的作用力是外互作用力又变成了内力，而相邻板块对该板块的作用力是外力。力。 p 应力是作用于固体上的外力或使固体发生变形的应力是作用于固体上的外力或使固体发

6、生变形的其它因素在固体中所产生的内力的度量。其它因素在固体中所产生的内力的度量。 应力应力如图如图1 1（a a），），O O是地壳内的一点，在是地壳内的一点，在O O点上取一确定的方向点上取一确定的方向OPOP和与之成正和与之成正交的面积元交的面积元 。 朝朝OPOP方向的一方面称为正方，反方向的一方称为负方向的一方面称为正方，反方向的一方称为负方。方。 正方的质量作用于负方所有的力的合力为正方的质量作用于负方所有的力的合力为 ，当，当 趋近趋近于零时，于零时， 的极限称为的极限称为P P点上通过面积元点上通过面积元 （法线方向是（法线方向是OPOP）的）的应力，以公式表示为：应力，以公式表

7、示为： （1 1） 是一个向量。地壳中的每一点是一个向量。地壳中的每一点O O和通过和通过O O的每一方向，都存在一个的每一方向，都存在一个向量向量 ，它的作用方式是：如果通过，它的作用方式是：如果通过O O取一面积为取一面积为 、法线方向、法线方向为为OPOP的小平面，的小平面， 正方的质量将有一力正方的质量将有一力 作用于负方的质量作用于负方的质量，负方的质量也有一力，负方的质量也有一力 作用于正方的质量。作用于正方的质量。 AAAFAAFAOPPOPPAA图图1 1应力的定义应力的定义AFPAOP0limAPOPAPOP如图如图1 1（b b），过），过O O点取一直角坐标系点取一直角坐

8、标系O Oxyzxyz，设，设OPOP在在OxOx方向上，则方向上，则 在在yzyz平面上；向量平面上；向量 可以分解为成可以分解为成3 3个分量个分量 , , , 它们分别在它们分别在oxox，oyoy，ozoz方向上。分量方向上。分量 在在oxox方向上，与方向上，与 正交，正交，称为法向应力；称为法向应力； ， 在在 的平面上，称为切应力的平面上，称为切应力( (剪应力）剪应力）。p若通过一个面的法向应力为正，称为张应力，为负则称为压应力若通过一个面的法向应力为正，称为张应力，为负则称为压应力；张；张应力将该面正方的质量从负方的质量拉开，压应力使正方的质量向负方应力将该面正方的质量从负方

9、的质量拉开，压应力使正方的质量向负方的质量压缩。的质量压缩。AoxPxxyxzxAxyxzA图图1 1正面上沿坐标正向、负面上沿坐标负向的应力为正的应力；正面上沿坐标正向、负面上沿坐标负向的应力为正的应力；反之为负的应力。反之为负的应力。（图上所示均为正应力）（图上所示均为正应力）应力正、负规定应力正、负规定 x zxyzxyxzyxyzzxzy y切应力互等定理切应力互等定理0d)dd(d)dd(, 0yzxxzymyxxyzxyyx,zyyzxzzx同理同理*其他应力分量对其他应力分量对z轴合力矩为零，图上未标出轴合力矩为零，图上未标出 x y zxyyx相互垂直两微分面上的切应力（相互垂

10、直两微分面上的切应力（ 与与 ）大小相等，且同时指向或背向两面的交线。大小相等，且同时指向或背向两面的交线。称为称为切应力互等定理切应力互等定理，即，即 。ijjijiij如此，一点的应力状态由如此，一点的应力状态由6个个独立分量描述：独立分量描述：zxyzxyzyx, x y zxyyx平面应力状态平面应力状态当含有当含有z方向分量的应力都等于零时方向分量的应力都等于零时，称为，称为平面应力状态平面应力状态，此时的应力，此时的应力状态由三个分量描述：状态由三个分量描述：xyyx, x zxyzxyxzyxyzzxzy yx xy y yx o平面应力状态平面应力状态矢量是一阶张量矢量是一阶张

11、量矢量矢量A ，在在xy坐标系里可坐标系里可以用坐标（以用坐标（X，Y）表示，在表示，在xy坐标系里可以用坐标坐标系里可以用坐标（X，Y）表示。它在新、表示。它在新、老坐标系里的分量有如下的老坐标系里的分量有如下的转换关系：转换关系： y x y A o X Y x X YcossinXXYcossinYYX cossinsincos XXYY事实上，事实上，矢量是一阶张量矢量是一阶张量应力的国际单位为帕斯卡（应力的国际单位为帕斯卡（PascalPascal），简称帕（），简称帕（PaPa），）， 即即 。2/mN2cm2cm610510510410110 兆帕兆帕（MpaMpa）巴巴(bar

12、)(bar)大气压大气压(atm)(atm)公斤公斤/ /达因达因/ /帕帕(Pa)(Pa)1.0131.0139.8079.807常见应力单位换算成帕时的系数表常见应力单位换算成帕时的系数表应力的单位及其换算应力的单位及其换算p 应力矢量是与截面联系在一起的，通过地壳岩石中的应力矢量是与截面联系在一起的，通过地壳岩石中的任一点，可作出无数个截面，因而存在无数个应力矢任一点，可作出无数个截面，因而存在无数个应力矢量，一个应力矢量不能代表一点的应力。量，一个应力矢量不能代表一点的应力。 一点的应力一点的应力p 一点的应力状态是指某一瞬间作用于物体上的应力情一点的应力状态是指某一瞬间作用于物体上的

13、应力情况，即过一点的所有截面的全部应力矢量，才代表一况，即过一点的所有截面的全部应力矢量，才代表一点的应力状态。点的应力状态。应力矢的尾端构成应力椭圆应力矢的尾端构成应力椭圆 应力矢的首端构成应力椭圆应力矢的首端构成应力椭圆 p 应力分量应力分量地壳内一点地壳内一点O O的应力可以用下述的应力可以用下述9 9个应力分量完全描述：个应力分量完全描述： 由于由于 ， ， ，一点上的应力只需要用一点上的应力只需要用6 6个分量来描述个分量来描述。一点的应力一点的应力zzyzxyzyyxxzxyxzyyzxzzxyxxyp 二维应力二维应力 如图（如图（a)a)，过，过O O点作一平面点作一平面x=0

14、 x=0，该面右方质量作用于左方质量单位面积，该面右方质量作用于左方质量单位面积的力的分量为的力的分量为 和和 ；同样，如图（；同样，如图（b b），过），过O O点作一平面点作一平面y y0 0，通过，通过该面单位面积的力的分量为该面单位面积的力的分量为 和和 由于由于 ，这，这4 4个分量中只有个分量中只有3 3个是独立的个是独立的 .xxyyxyyxxy若通过若通过O O的平面的法线的平面的法线OPOP与与Ox Ox 轴成倾角轴成倾角 ，如图（，如图（d d），则通过该面的应力分量），则通过该面的应力分量 ， 可以用可以用 ， ， 表示为如下表示为如下(2)(2)式式(J.C.Jaege

15、r,1969)(J.C.Jaeger,1969) :xyxy u J.C. Jaeger, Elasticity, Fracture and Flow: With Engineering and Geological Applications, J.W. Arrowsmish Ltd., Bristal, Great Britain (1969). （2 2）若坐标轴若坐标轴oxox，oy oy 旋转了一个角度旋转了一个角度 ，成为，成为oxox，oyoy则相对于则相对于oxox，oyoy的应力分量的应力分量 ， 可利用（可利用（2 2）式分别就角度）式分别就角度 和和(90(90+ ) +

16、) 得得出：出： xy上面两式相加，得出上面两式相加，得出 这就是说，如果两轴旋转了一个角度，虽然这就是说，如果两轴旋转了一个角度，虽然 和和 本身都变化了，但本身都变化了，但 + + 保持不变。方程（保持不变。方程（2 2）式完全描述了一点上的应力随着方向）式完全描述了一点上的应力随着方向 变化的方式。变化的方式。 22sincossin2cosyxyx22sincoscossinxyxy22sincossin2cosyxyxx22coscossin2sinyxyxyyxyxyxxy平面应力状态分析平面应力状态分析 物体上物体上o点处于平面应力状态。沿点处于平面应力状态。沿 方向取方向取单元

17、体，其上应力由单元体，其上应力由 描述。描述。,xyxy yx, 若过该点取沿任意方位若过该点取沿任意方位 的单元体，其上的单元体，其上应力则由应力则由 描述。描述。x , y xyx y, 目的是建立目的是建立 与与 之间之间的转换关系。的转换关系。xyx y, xyxy, x xy y yxox y x y yxox 正正 平面应力状态下的任意斜截面上的应力平面应力状态下的任意斜截面上的应力解析法转换方程解析法转换方程xxyyxyxxyxxxyxyx yx面积面积 dAy平面应力状态的研究方法平面应力状态的研究方法解析法解析法图解法图解法AxdAyxdyx楔形分离体的平衡转换方程楔形分离体

18、的平衡转换方程力平衡方程：力平衡方程：张量关系：张量关系：222cossinsin cosxxyxy 的方向向量斜截面法向向量平面应力张量斜截面的面应力矢量xxyxxyyxcoscossinsin 注：此处的注：此处的x方向与截面方向与截面法法向向重合（一般无此条件）重合（一般无此条件） 下界面面积面积切向法向xyydAsindAsin0coscoscossin +sincos+sinsinxxxxyxyxxFdAdAdAdAdA 方位余弦方位余弦面积面积法向切向左界面方位余弦方位余弦面积面积切向法向下界面沿方向： 左界面面积法向面积切向xxydAcosdAcos楔形分离体的平衡转换方程楔形分

19、离体的平衡转换方程 左界面面积法向面积切向xxydAcosdAcos 下界面面积面积切向法向xyydAsindAsin力平衡方程：力平衡方程：张量关系：张量关系：注：此处的注：此处的y方向与截面方向与截面切切向向重合（一般无此条件）重合（一般无此条件）AxdAyxdyx22 sincoscossinx yyxxy ycoscossinsin22xxyx yxyy 的方向向量斜截面法向向量平面应力张量斜截面的面应力矢量 0cossincoscos +sinsin+sincosyx yxxyxyxyFdAdAdAdAdA 方位余弦面积面积方位余弦法向切向左界面方位余弦面积面积方位余弦切向法向沿方向

20、：下界面主应力主应力 、主方向、主方向微分（微分（2 2）式得）式得 22sincos2cossin2xyxyddyxxytg22令其为零可得令其为零可得此时法向应力为最大或最小；此时法向应力为最大或最小；而此时切应力为零。而此时切应力为零。 上式定义了成正交的两个方向上式定义了成正交的两个方向（主方向），（主方向），在这两方向上，在这两方向上，一点上一点上的法向应力一为最大，一为最小，切应力为零。的法向应力一为最大，一为最小，切应力为零。这两方向构成应力这两方向构成应力的主轴，的主轴，主轴上的应力称为主应力主轴上的应力称为主应力，通常用，通常用 和和 表示表示（ ）。）。 1212 上式有两

21、个根，记为上式有两个根，记为 和和 ，对应的极值记为，对应的极值记为 和和 。01 02012 I II 222xyxy() xy 2xy()/ 012 022 2xy()/ xy 012222xyxyxysin() 022222xyxyxysin() 0122222xyxyxycos() 0222222xyxyxycos() 主应力、主平面主应力、主平面0222tgxyxyxyxy()() / 222221121tgsintgtgcostg 222xyxy() xy 2xy()/ 012 022 2xy()/ xy 主应力、主平面主应力、主平面2222IIIxyxyxy() 将以上三角关系代

22、入将以上三角关系代入 的表达式得面内的的表达式得面内的最大、最小正应力：最大、最小正应力：x 012222sin()xyxyxy 0122222cos()xyxyxy 2222cossinxyxyxxy 2222III()xyxyxy 主应力、主平面主应力、主平面x xy y yxo0 I II面内最大切应力面内最大切应力及作用面及作用面22xysxy()/tan 将将 对对 微分，并令其等于零得：微分，并令其等于零得： xy 222 sincosxyx yxy 22xysxy()/tan 表明面内最大切应力作用面与主平面成表明面内最大切应力作用面与主平面成 夹角。夹角。4 0222S 04S

23、 由于由于 与与 的的正切成负倒数关系正切成负倒数关系，所以，所以 02 2S 022tg()/xyxy 面内最大切应力面内最大切应力及作用面及作用面00011122222 tg()sctgtgtg 面内最大切应力作用面与主平面成面内最大切应力作用面与主平面成 夹角。夹角。4 0 yxoxI II 主平面主平面最大切应力作用面最大切应力作用面xoxS I II 0 x4 4 s s 面内最大切应力面内最大切应力及作用面及作用面222IxyxyII() 2sxyavg 将将 代入正应力公式，最大、最小切应力作用面上代入正应力公式，最大、最小切应力作用面上的正应力为的正应力为s 记两个根为记两个根

24、为 和和 ，将，将 代入切应力公式，代入切应力公式，对应的切应力极值为对应的切应力极值为 1s 212ss s 面内最大切应力面内最大切应力及作用面及作用面求最大切应力求最大切应力 222210236 7122xyI,IIxy()()().MPa 最小、最大切应力处于与主应力成最小、最大切应力处于与主应力成 4545 的截面上。的截面上。 从后面讲的应力圆知识从后面讲的应力圆知识可知，最大主应力旋转可知，最大主应力旋转4545 的截面上，也就是的截面上，也就是与与 x x 方向成方向成58.358.3 的的截面上截面上, ,切应力为正。切应力为正。6.714.04.0-6.7131.7ox13

25、.3o45o45o应力状态的分类：应力状态的分类：(1).单向应力状态单向应力状态：三个主应力中，只有一个不为零简单 应力状态。(2).双向应力状态双向应力状态：三个主应力中，只有一个为零。(3).三向应力状态三向应力状态：三个主应力都不为零 复杂应力状态。dzdxdyXYZO y y z z zy yz yz zy yx yx xy xy x x zx xz zx xzdzdxdyXYZO 1 2 3如果已知一点上的应力状态，就可立即得出主轴方向和主应如果已知一点上的应力状态，就可立即得出主轴方向和主应力值；再力值；再把主轴取作参考轴，把主轴取作参考轴，来表达任一方向的应力来表达任一方向的应

26、力就简单就简单多了多了。若一平面的法线与若一平面的法线与x x轴成轴成 角，则通过该平面的法向角，则通过该平面的法向应力和切应力为：应力和切应力为： 2cos2121sincos212122212sin2121yx,拉为正，压为负。拉为正，压为负。 yxxy,单元体顺时针转时为正，逆时针转时为负。单元体顺时针转时为正，逆时针转时为负。 应力莫尔圆应力莫尔圆 应力分析中，有一种重要的图解方法，应力分析中，有一种重要的图解方法，称为应力莫尔圆，它能完整地代表一点称为应力莫尔圆，它能完整地代表一点的应力状态。如图表示的应力状态。如图表示点平面应力状点平面应力状态的应力莫尔圆，图中，横坐标代表正态的应

27、力莫尔圆，图中，横坐标代表正应力应力 ，纵坐标代表剪应力，纵坐标代表剪应力 ，图中，图中以以C C点为圆心，以点为圆心，以CMCM为半径的圆上的任为半径的圆上的任何一点的横坐标与纵坐标就代表了二维何一点的横坐标与纵坐标就代表了二维空间中某一截面上的正应力与剪应力。空间中某一截面上的正应力与剪应力。 221222122应力莫尔圆应力莫尔圆 讨论讨论1221212(,0)(,0)()/ 2),0)()/ 2,0)MNCC2121212121211()()cos22211()()cos2221()sin22ONNCCBAB 单元体顺时针转时为正，逆时针转时为负单元体顺时针转时为正，逆时针转时为负22

28、22cossin xyxyxxy222sincos xyx yxy 的表达式可写成的表达式可写成 , xx y222222xyxyxx yxy 两边平方并求加，消去两边平方并求加，消去 得得图解法应力莫尔圆图解法应力莫尔圆 2xyavga 222() xyxyR222222 xyxyxx yxy其中其中222()xx yaR 图解法应力莫尔圆图解法应力莫尔圆 上式为一圆方程，圆心上式为一圆方程，圆心为为 C C（a a，0 0），半径为），半径为 R R 。 取取 轴向右为正轴向右为正, , 轴轴向向下为正。在该坐标系中下为正。在该坐标系中作圆，称为作圆，称为应力莫尔圆应力莫尔圆。C222()

29、xyxyR 2xyavg ()x ()x y xy 2xy 222()xx yaR 图解法应力莫尔圆（一般情况）图解法应力莫尔圆（一般情况）作莫尔圆的步骤作莫尔圆的步骤：以以 C 为圆心，为圆心，CX 为半径为半径作作Mohr圆。圆。确定正确定正 x 面对应的应力点面对应的应力点 ； 确定点确定点 C (a,0) ； (,)xxyX132C2xyavg xy Xx Yxy y 2 yxx 2yx(,)xxyX(,)yxyY xy y莫尔应力圆莫尔应力圆C2xyavg xy Xx Yxy y 2 以以 C 为圆心，为圆心，CX 为半径作圆。为半径作圆。 连接连接X 和和Y ，与，与 轴交点为轴交

30、点为 C; 确定正确定正y 面对应的应力点面对应的应力点 确定正确定正 x 面对应的应力点面对应的应力点 xxyX(,) yxyY(,) yxx 2yx(,)xxyX(,)yxyY xy y或或 应力莫尔圆应力莫尔圆C2xyavg xy Xx Yxy y X2 oDA x xy xy xx x y xxyX(,) xxyX(,) 证明：证明：斜截面上的应力斜截面上的应力2cos, sinxyxyRR222X DRsin()R(sincoscossin)222xyx yxyX Dsincos 2222cossinxyxyxxyoD 22222xyxyoDoCCDR cos()R(coscossi

31、nsin) 因为因为所以所以C2xyavg xy Xx Yxy y X2 oDA x xy xy xx x y xxyX(,) xxyX(,) u 应力圆上的点应力圆上的点X的坐标为（的坐标为（ x， xy），），与单元体与单元体 x 面的应力相对应。面的应力相对应。u 应力圆上应力圆上X 的坐标为的坐标为（ x， xy），），与单元体的与单元体的x面上的应力相对应。面上的应力相对应。u 应力圆上应力圆上CX 与与CX 的夹角为的夹角为2 ，是，是x 轴与轴与x轴之夹角的轴之夹角的2倍。倍。应力圆应力圆例题例题例：某点应力例：某点应力 x =40MPa， y = -20MPa ， xy 30M

32、Pa。 试用解析法和图解法求主应力和最大切应力。试用解析法和图解法求主应力和最大切应力。1，解析法解析法01145 , 135arctan()arctan(1.0)22.5 , 67.52()/222ooxyooxy 2222max4020()3030 2MPa42.43MPa22xyxy xx222240204020()()30222252.43 1030 2MPa32.43IyyxyII 2，图解法图解法102MPaxyavga 222240203030 242 4322()MPa.MPaxyxyR =40MPa， = -20MPa ， 30MPax y xy x22.5 II I y x

33、yxxx” x”y” x”4545 xy Y(-20,- 30)X(52.43,0)X(40,30)C(a,0)45 X(10,-42.4)Y(10, 42.4)o45 Y(-32.43,0)三维应力状态下的最大应力三维应力状态下的最大应力三维应力状态三维应力状态是应力状态的一般形式，就其研究的方法而言，是应力状态的一般形式，就其研究的方法而言，同二维应力状态基本相似，下面通过例子来进行分析。同二维应力状态基本相似，下面通过例子来进行分析。如图所示：主平面单元体，其上的主应力均为已知，要求单如图所示：主平面单元体，其上的主应力均为已知，要求单元体内各截面的应力。元体内各截面的应力。（1）分析与

34、 3平行的任意斜截面abcd 上的应力。 用平面abcd将单元体一分为二，取左下部分为研究对象。对图b进行受力分析： 0n 0t2cos2221212sin221由上式可看出由上式可看出：1)斜面abcd上的应力 ,与单元体仅在 12结果完全相同，而与3无关，即仅取决于12我们可以得出：在 平面内，与该类斜截面对应的点于12所确定的应力圆上。作用下求得的。故而均位4)综上所述：综上所述：在 位于应力圆上，或位于由三个应力圆所构成的阴影区域内。平面内，代表任一斜截面上的应力的点或2)同理，可得出：同理，可得出：单元体中与 1平行的各斜截面上的应力位于同 、23所确定的应力圆上，与 2截面上的应力

35、位于平行的各斜、13所确定的应力圆上。由3)可以证明：可以证明： 对于与三个主应力均不平行的任意斜截面上的应力见单元体图中的efg平面它们在必位于上述三圆所构成的阴影区内。平面的对应点，ACBD123o1max3min 由右图可见：在三维应力状态三维应力状态下，最大，最小正应力最小正应力分别为最大，最小主应力，即：最大剪应力为：最大剪应力为： 231max又由于， 090DCA故 max位于与 13均成 045的斜面上。 注：注：上述结论，同样适用于单向和双向应力状态单向和双向应力状态。5) 讨论：讨论：目录目录应力应力场：场：受力物体内的每一点都存在与之对应的应力状态，物体内各点的应受力物体

36、内的每一点都存在与之对应的应力状态，物体内各点的应力状态在物体占据的空间内组成的总体，称为力状态在物体占据的空间内组成的总体，称为应力应力场。场。物体内各点的应力状态相同时，组成均匀物体内各点的应力状态相同时，组成均匀应力应力场，否则组成非均匀场，否则组成非均匀应力应力场。场。由于上覆岩石压力由于上覆岩石压力 （式中，式中， 是岩石密度，是岩石密度， 是重力加速度，是重力加速度， 是距地表的深度）是距地表的深度）随深度而变化及地壳岩石的非均匀性，地壳中不存在理想的均匀随深度而变化及地壳岩石的非均匀性，地壳中不存在理想的均匀应力应力场。场。构造构造应力应力场：场：由构造作用造成的由构造作用造成的

37、应力应力场称构造场称构造应力应力场。场。地应力：地应力：地壳岩石中存在的应力称为地壳岩石中存在的应力称为地应力地应力。地应力除了构造应力外，还有地应力除了构造应力外，还有非构造应力，如有重力引起的应力，地形引起的应力，开挖引起的应力，人非构造应力，如有重力引起的应力，地形引起的应力，开挖引起的应力，人工载荷引起的应力，等等。工载荷引起的应力，等等。 应力应力场场ghhgh古应力场古应力场：在地史时期作用的应力场称为古应力场在地史时期作用的应力场称为古应力场( (探讨地壳运动规律，探讨地壳运动规律，指导成矿预测等，具有重要作用指导成矿预测等，具有重要作用) )。现今应力场现今应力场：现今作用的应

38、力场称为现今应力场：现今作用的应力场称为现今应力场( (对于地震预报分析工作对于地震预报分析工作和工程场地稳定性评价，具有重要的意义和工程场地稳定性评价，具有重要的意义) )。 应力场的图示：应力场通常采用主应力迹线和主应力等直线、最大剪应应力场的图示：应力场通常采用主应力迹线和主应力等直线、最大剪应力等直线等来表示，有时也采用主应力矢量图表示。力等直线等来表示，有时也采用主应力矢量图表示。用应力迹线和应力等值线表示的应力场用应力迹线和应力等值线表示的应力场A. A. 剪应力分布（等值线单位为剪应力分布（等值线单位为MpaMpa） B B主应力迹线主应力迹线 C C最大剪应力迹线最大剪应力迹线

39、 主应力矢量图表示应力场主应力矢量图表示应力场非连续变形分析方法求得的华北地区主应力分布图非连续变形分析方法求得的华北地区主应力分布图3. 应变分析基础应变分析基础 应变的定义应变的定义 应变的度量应变的度量 均匀应变与非均匀应变均匀应变与非均匀应变 无限小应变分析无限小应变分析 二维应变张量二维应变张量应变的定义应变的定义 当一地块受到应力作用时，其中的质点系当一地块受到应力作用时，其中的质点系O O，P P，Q Q，R R的相对构形的相对构形将以某种方式发生变化。这种情况称为该地块经受应变。图中的将以某种方式发生变化。这种情况称为该地块经受应变。图中的实线表示质点系实线表示质点系O O，P

40、 P，Q Q，R R未受应变的位置，虚线表示它们应变未受应变的位置，虚线表示它们应变后的位置，向量后的位置，向量OOOO称为称为O O点的位移。点的位移。如果给出了一地块中每一如果给出了一地块中每一点的位移，那末该地块的应变状态就完全清楚了点的位移，那末该地块的应变状态就完全清楚了。在应变分析中，。在应变分析中，都是假定已知位移，来详细研究应变的性质及其随方向的变化。都是假定已知位移，来详细研究应变的性质及其随方向的变化。应当指出，这里所说的应当指出，这里所说的应变，是指地块内各质点相对构形的变化；应变，是指地块内各质点相对构形的变化；如果像刚体那样，如果像刚体那样，位移只是平移和旋转，就不存

41、在应变位移只是平移和旋转，就不存在应变。 应变有两种量度：一是一条线的长度变化，二是两条线（或一条应变有两种量度：一是一条线的长度变化，二是两条线（或一条线和一平面）之间的角度变化，分别称为线应变和切（剪）应变。线和一平面）之间的角度变化，分别称为线应变和切（剪）应变。 1 1、线应变、线应变 llldllll设设 是两相邻点是两相邻点O O和和P P之间的距离，之间的距离， 是应变后的相应点是应变后的相应点OO和和PP之间的距离，则线应变定义为之间的距离，则线应变定义为dl线应变线应变 的符号为正（伸张）表示张应变的符号为正（伸张）表示张应变 的符号为负（压缩）表示压应变的符号为负（压缩）表

42、示压应变 dl应变的度量应变的度量2 2、剪应变、剪应变变形前相互垂直的两条直线，变形后变形前相互垂直的两条直线，变形后其夹角偏离直角的量其夹角偏离直角的量称为角剪切应变称为角剪切应变 或简称或简称角剪应变角剪应变。其正切称为剪（切）其正切称为剪（切）应变应变 tg 物体内各点的应变特征相同的应变称为均匀应变物体内各点的应变特征相同的应变称为均匀应变。p 其特征是：其特征是：应变前的直线在应变后仍然是直线，一组平行线应应变前的直线在应变后仍然是直线，一组平行线应变后仍然互相平行变后仍然互相平行 。 物体内各点的应变特征发生变化的应变称为非均匀应变物体内各点的应变特征发生变化的应变称为非均匀应变

43、。p 其特征是：与其特征是：与均匀应变相反均匀应变相反，直线经应变后不再是直线，而成直线经应变后不再是直线，而成了曲线或折线，平行线应变后不再互相平行了曲线或折线，平行线应变后不再互相平行 。 非均匀应变又可分成连续应变（变形）和不连续应变（变形）：非均匀应变又可分成连续应变（变形）和不连续应变（变形）：如果物体内从一点到另一点的应变状态是逐渐改变的，则称为如果物体内从一点到另一点的应变状态是逐渐改变的，则称为连续应变（变形）；如果是突然改变的，则应变是不连续的，连续应变（变形）；如果是突然改变的，则应变是不连续的，称为不连续应变（变形）。称为不连续应变（变形）。均匀应变与非均匀应变均匀应变与

44、非均匀应变 非均匀变形非均匀变形连续变形连续变形 无限小应变分析无限小应变分析 定义的定义的 和和 是如此之小，以至它们的平方与乘积都可以忽视是如此之小，以至它们的平方与乘积都可以忽视 二维无限小应变二维无限小应变x按无限小应变假设，按无限小应变假设， 视为无限小，视为无限小，则上式趋向一个极限则上式趋向一个极限xuxxvxuxvuxSP112222xuxxxuxPSPSSPx1xux同样，可以导出一点在同样，可以导出一点在y y轴方向的线应变轴方向的线应变 如前图所示，线段如前图所示，线段PSPS和和PQPQ原来是垂直的，原来是垂直的，QPS=90QPS=90，形变后角度，形变后角度减小了减

45、小了 ，这两线段交角的变化（在此情况下也是两轴交角的，这两线段交角的变化（在此情况下也是两轴交角的变化）的正切，就是剪切应变，以变化）的正切，就是剪切应变，以 或或 表示，故表示，故 ba xyyx同样，可以导出同样，可以导出yvyvPQPQQPytgbtgabatgxyyutgbyuxvyxxy已知已知 ， 和和 ，可按下式求出任意方位角，可按下式求出任意方位角 上的线应变上的线应变(Jaeger):(Jaeger):xyxyn 第第1 1剪应变率剪应变率 ：代表形变中东西向伸长和南北向压缩的纯剪：代表形变中东西向伸长和南北向压缩的纯剪切部分，切部分，也可以认为是一个走向为也可以认为是一个走

46、向为N45N45W W的垂直面上的右旋剪切，的垂直面上的右旋剪切，或者是一个走向为或者是一个走向为N45N45E E的垂直面上的左旋剪切的垂直面上的左旋剪切。n 第第2 2剪应变率剪应变率 ：代表形变中北东：代表形变中北东- -南西向伸长和北西南西向伸长和北西- -南东向压南东向压缩的纯剪切部分，缩的纯剪切部分，也可以认为是一个走向为东西的垂直面上的右也可以认为是一个走向为东西的垂直面上的右旋剪切，或者是一个走向为南北的垂直面上的左旋剪切。旋剪切，或者是一个走向为南北的垂直面上的左旋剪切。 1222sincossincosyxyx2cos2sin90,xyyxyx135,451xy2 当第当第

47、1 1剪应变率为正时，表示地块受到东西向伸长、剪应变率为正时，表示地块受到东西向伸长、南北向压缩的形变；为负时则相反。南北向压缩的形变；为负时则相反。 当第当第2 2剪应变率为正时，表示地块受到北东剪应变率为正时，表示地块受到北东南西向南西向伸长、北西伸长、北西南东向压缩的形变；为负时则相反。南东向压缩的形变；为负时则相反。 3 3，面膨胀，面膨胀 矩形矩形PQRSPQRS的面积为的面积为 形变后的平行四边形形变后的平行四边形PQRSPQRS的面积为的面积为 yxFyxyxyxyxyxyyxxF111yxyxyxyxyxFFFFdF14 4，刚体旋转角，刚体旋转角 如图，如图，PEPE为直角为

48、直角QPSQPS的平分线；此直的平分线；此直角形变后成为角形变后成为QPSQPS，角平分线，角平分线PEPE形变后旋转到形变后旋转到PEPE的方向，所旋转的方向，所旋转的角度称为刚体旋转角的角度称为刚体旋转角 yuxvtgbtgabaabaSEPSPE212121459021Q:Q:刚体旋转角是否引起点的相对位移发生变化？刚体旋转角是否引起点的相对位移发生变化？ 最大最小主应变最大最小主应变 n 若平面坐标系的若平面坐标系的y y轴指北，则轴指北，则 ， 和和 分别表示一点上东西方分别表示一点上东西方向和南北方向的伸缩率（线应变）以及这两方向之间的角度的变化（切应向和南北方向的伸缩率（线应变）

49、以及这两方向之间的角度的变化（切应变），这是一组应变量。就任一地面点来说，在方位角为变），这是一组应变量。就任一地面点来说，在方位角为 的任一方向的任一方向以及与其垂直的方向上，都有一组应变量以及与其垂直的方向上，都有一组应变量 ， 和和 。按按弹性力学理论，在这许许多多成对的方向中，存在着一对互相垂直的特殊弹性力学理论，在这许许多多成对的方向中，存在着一对互相垂直的特殊方向，它们的线应变分别达到最大值方向，它们的线应变分别达到最大值 和最小值和最小值 ，称为主应变，称为主应变，按下式计算按下式计算 : :xyxy9090,12122211122xyxyxy122221122xyxyxy二维应

50、变张量（具体推导）二维应变张量（具体推导）),(yx根据弹性力学理论，已知一点的应变张量根据弹性力学理论，已知一点的应变张量 ,则在该点沿方向则在该点沿方向 的线应变为的线应变为 yxxyyyyxxxT222),(yx另有方向另有方向与与 重直重直, 则则 、 间的剪应变为间的剪应变为 )2(222Tyxxyyyyyxxxx )sin,(cos)cos,(sin如果如果 与与 x轴正向、轴正向、y 轴正向的夹角分别为轴正向的夹角分别为 和和 即即90二维应变张量二维应变张量则可得则可得2sinsincos22xyyx2cos2sin)(090,xyyx是否存在某个方向使得线应变取得极值？是否存

51、在某个方向使得线应变取得极值？根据线性代数理论知道，根据线性代数理论知道，这实际上可以转化为求实对称矩阵这实际上可以转化为求实对称矩阵 的特征值问题的特征值问题，即线应变的，即线应变的极值极值 与极值方向与极值方向 满足下列方程满足下列方程 0)(Ixyxy21Q:求极值的另一种方法！求极值的另一种方法！据此可得到据此可得到 的特征多项式的特征多项式 0212IIyxyyxx211yxI22xyyxI主应变的计算公式为主应变的计算公式为 222221)(212)(212yxxyyxyxxyyx 求地壳主应变的图解法求地壳主应变的图解法 2cos2221212sin)(122212221222圆

52、的方程圆的方程 最大剪切应变最大剪切应变 21m取主轴为坐标轴，则主应变取主轴为坐标轴，则主应变 和和 可以表示为可以表示为这一方程称为应变圆锥曲线。这一方程称为应变圆锥曲线。若若 和和 同符号，此曲线为椭圆；同符号，此曲线为椭圆；若两者反符号，则为双曲线；若若两者反符号，则为双曲线；若 ，则为等轴双曲线。，则为等轴双曲线。 12kyx22211212应变椭圆应变椭圆 最大和最小应变最大和最小应变 ， 分别是分别是应变椭圆的长半轴和短半轴应变椭圆的长半轴和短半轴, ,长轴长轴的方位角的方位角 按下式计算按下式计算 121yxxytg121三维应变张量三维应变张量zzwyywxxwwzzvyyv

53、xxvvzzuyyuxxuuyxzzyzxxzyzyyxzyxzxyxxyzyxwzxzyxvyzzyxu212121212121,.xux,.yuxvyxxy.2,.2yuxvzvywzx三维应变张量三维应变张量2222kxyzxyzzyxxyzxyzzyx应变二次曲面应变二次曲面，它的三轴是主应变轴，主轴方向上的线应变它的三轴是主应变轴，主轴方向上的线应变是是主应变主应变321,321zyx体膨胀体膨胀 三维应变张量三维应变张量112211221122xxyxzxyyyzxzyzz利用三维应变张量利用三维应变张量6个应变分量可以对地壳应变作全面的描述，个应变分量可以对地壳应变作全面的描述，

54、提供更有地球物理意义的信息提供更有地球物理意义的信息 ！应变场的图示应变场的图示：应变场通常采用面应变等直线、最大剪应变等直线或应变场通常采用面应变等直线、最大剪应变等直线或（以及）主应变矢量图等来表示。（以及）主应变矢量图等来表示。应变场的图示应变场的图示面应变等值线图面应变等值线图 非连续变形分析非连续变形分析最大剪应变等值线图最大剪应变等值线图 非连续变形分析非连续变形分析 有限元模型计算的中国大陆主应变场有限元模型计算的中国大陆主应变场 主应变主应变 非连续变形分析非连续变形分析Strain Rate of Blocks 区域地壳运动应变分析区域地壳运动应变分析1 1、应变分析中所用的

55、两种基本数据应变分析中所用的两种基本数据2 2、应变分析方法、应变分析方法3 3、有限单元应变分析法有限单元应变分析法4 4、地形变资料求解应变值的归化地形变资料求解应变值的归化 应变分析中所用的两种基本数据应变分析中所用的两种基本数据 (1) (1) 新、旧测量的原始观测资料，新、旧测量的原始观测资料， (2) (2) 根据新、旧测量结果的比较得出的位移场。根据新、旧测量结果的比较得出的位移场。两者优缺点两者优缺点利用原始观测资料时，要求新、旧测量的网形和观测量都相同，因而其适用利用原始观测资料时，要求新、旧测量的网形和观测量都相同，因而其适用性受到一些限制；其优点是，不依赖其他的观测量，避

56、免了监测网平差性受到一些限制；其优点是，不依赖其他的观测量，避免了监测网平差中因基准点设定不当等原因带来的影响。中因基准点设定不当等原因带来的影响。 利用位移场时，由于网中各点的位移向量是根据新、旧平差结果的坐标之差利用位移场时，由于网中各点的位移向量是根据新、旧平差结果的坐标之差得出的，为了使位移场能反映实际地壳应变，把残余的误差影响化为最得出的，为了使位移场能反映实际地壳应变，把残余的误差影响化为最小，必须采取特殊的平差方法，例如自由网平差和拟稳平差。其优点是，小，必须采取特殊的平差方法，例如自由网平差和拟稳平差。其优点是，所有的观测量都可用于应变分析，并不要求新、旧测量中的观测量都相所有

57、的观测量都可用于应变分析，并不要求新、旧测量中的观测量都相同，只是要求它们属于同一大地基准。此外，在求定位移场的平差过程同，只是要求它们属于同一大地基准。此外，在求定位移场的平差过程中，可以滤掉观测数据的粗差和估计观测质量；而且由各点位移向量的中，可以滤掉观测数据的粗差和估计观测质量；而且由各点位移向量的图解，可以看出各点位移的趋势。图解，可以看出各点位移的趋势。目前侧重于利用位移场目前侧重于利用位移场。 应变分析方法应变分析方法均匀应变场的位移分析法均匀应变场的位移分析法有限单元法有限单元法 （FEMFEM）样条函数拟合法样条函数拟合法不连续变形分析法（不连续变形分析法（DDADDA）数值流

58、形方法（数值流形方法（FEM+DDAFEM+DDA）均匀应变场位移分析法均匀应变场位移分析法 设质点设质点 P P（ ， ）无限接近的另一点）无限接近的另一点 M M（ , , ）经变形后）经变形后其位移分量的关系为其位移分量的关系为：xydxxdyy可推得位移与应变的关系为可推得位移与应变的关系为：yuxvyxxy2/ )(yuxvdxdydxvvdydydxuuyyxxyx2121dxdydyyuxvyuxvdxyuyuxvxvdxxvdydydyyuxvyuxvdyxvxvyuyudyyuzxyzxy21)()(21)21212121(21)()(21)21212121(而而dxxvdy

59、vdyyvdxxvvvdyyudxudyyudxxuuuyx其实用公式为：其实用公式为：xyxvvyyxuuyyxxyx2121xyxvvyyxuuyxyxyxyxxyxy2121因为Strain accumulation and rotation rate model(Jaeger, 1964) 应变累积和旋转率模型应变累积和旋转率模型xyxVvyyxVvnnennneneeeeRigid Body Translation Velocity of Blocks Strain Rate of Blocks Rotation Rate of Blocksu采用有限单元应变分析法，就是把一个大区域分割成采用有限单元应变分析法，就是把一个大区域分割成一些有限的小区。三角网和三边网的基本图形是三角一些有限的小区。三角网和三边网的基本图形是三角形，把它作为有限单元比较方便。分别对各三角形进形，把它作为有限单元比较方便。分别对各三角形进行应变分析，就可以得到接近于真实的地壳应变情况。行应变分析，就可以得到接近于真实的地壳应变情况。有限单元应变分析法有限单元应变分析法u在应用三角形直接计算应变时，根据公式我们可以直接看到在应用三角形直接计算应变时，根据公式我们可以直接看到计算的结果与三角形的大小有明显关系。另外，统计结果也计算的结果与三角形的大小